FORCES DANS UN PLAN

= F'a, et le rapport de x' à x" serait obtenu par une troisième équation des moments ¥'x' = ¥"x" , Ces deux dernières équations sont implicitement contenues dans les deux précédentes , et s'en déduiraient par l’élimination de x' pour l’une, et de R pour l’autre.

383. Remarques, t”. Un couple n’a pas de résultante, car une troisième force ne peut pas être en équilibre avec les deux forces du couple, puisque la résultante de translation du système des trois forces ne serait pas nulle. Donc les dernières formules ne sont pas applicables au cas où l’on aurait F" =: F'; aussi donneraient-elles x' — x" = l’infini.

a"'. Les deux cas de la résultante de deux forces parallèles sont compris, pour toutes les hypothèses possibles, dans les deux formules trouvées d’abord

R = F’ -f- F" et J\x' = F"a ,

en convenant de donner des signes contraires aux forces dirigées en sens opposés, et en tenant également compte, à l’aide des signés, du sens dans lequel sont portées les distances a et x', à partir du point pris sur F'.

384. Autant de forces données qu’on voudra , situées dans un plan, quand elles ne sont pas en équilibre, se réduisent à une seule équivalente ou à un couple. On trouvera aisément dans le premier cas l’intensité de la résultante; dans le second cas, on trouvera le moment du couple.

En effet, soit d’après le théorème n" 36o, soit par la composition successive, les forces se réduisent à deux équivalentes, et si celles-ci ne forment pas un couple, elles ont une résultante.

En désignant alors cette résultante par R, ses projections sur deux axes rectangulaires par R, et R,., sa distance à l’ori- • gine par r, on a

Rx = 2^* > = 2^'V »

R ^l/R/ q- R,’, cos(R,j:)= ^% cos(R,.r) = ;

-t- 'Vjn. F

± Rr = plLo=F , d'où t =— .

244 SKcr. III. CHAI', ii. § lo.

Ou aura ainsi, i” l'intensité absolue de la résultante, la direction d'une parallèle de même sens, 3° la distance de la résultante au point choisi pour origine, 4" le signe ou sens de son moment, ce qui achèvera de déterminer complètement la résultante cherchée.

Si les équivalentes forment un couple , on a 2 P. =

2 F,. = O , et la quantité 2^o.F est le moment du couple équivalent, dont la position est d'ailleurs arbitraire dans le plan des forces ou dans tout autre plan parallèle (373).

38.5. Thbohbmb. St les forces qui sollicitent un corps solide se réduisent à deux systèmes de forces situées dans deux plans parallèles, il faut pour l'équilibre que la résultante de translation de chaque système soit nulle.

En effet, si aucune des résultantes de translation n'était nulle, chaque système aurait une résultante; toutes les forces se réduiraient à deux non directement opposées : il n’y aurait pas équilibre (364).

Si une des résultantes de translation était nulle, l'autre ne l’étant pas , toutes les forces se réduiraient sbit à une force unique, soit à un couple et une force ; il n’y aurait donc pas équilibre (3y3).

Ainsi ce cas d'équilibre est celui de l’équilibre de deux couples (3y3), à moins que les forces de chaque plan ne soient séparément en équilibre.

§ I O. Cas particulier des forces parallèles dans l’espace.

386. Si autant de forces parallèles qu’on voudra sont tenues en équilibre par une autre force, cette dernière leur est parallèle; car sa projection sur tout axe perpendiculaire à la direction des premières forces est nulle (348).

387. Si autant de forces qu’on voudra, appliquées à un corps »

solide, sont parallèles, ce fait équivaut à trois des conditions d’équilibre, et il ne reste qu’à vérifier les trois autres. En effet,

si l’on prend l’axe Oz parallèle aux forces, et les axes Ox, Oj perpendiculaires à Oz, les projections sur Ox et Oj .seront nulles, et les moments par rapport à Oz le seront aussi. Les

FORCKS parallèles.

coiulitions qui restent nécessaires et suffisantes pour l’équilibre consistent dans la nullité de la somme algébrique des projections sur Taxe Oz, et des sommes des moments par rapport aux axes Oar, Oj.

Si l'on convient, i“ de représenter par F l’une quelconque des forces, prise avec le signe -H ou — , selon qu’elle sera dans le sens Oz ou en sens contraire ; a° de prendre les axes Oj:, 0/ perpendiculaires entre eux, et de représenter par x, y les coordonnées positives ou négatives d’uti point quelconque de la droite suivant laquelle agit la force F ; les trois conditions à vérifier seront exprimées par les équations

= 2*^a: = o, 2^7=0; [tii]

c’est ce qu’il est facile de reconnaître, en faisant sur le sens et la position de la force F toutes les hypothèses possibles.

388. Si les forces parallèles ne satisfont pas aux trois conditions précédentes [m], elles se réduisent à un couple ou à une résultante unique, suivant que 2^ n’est pas nulle.

C’est à (^oi conduiraient évidemment les compositions successives faites d’après les règles établies au n" 38a, a' partie.

i" CAS. 2P = o- En supposant le système réduit à deux équivalentes parallèles aux z, l’une S, suivant l’axe Oz, l’autre T, ayant a;, et y, pour coordonnées d’un quelconque de ses points, on aura (365)

S + T = O , Tx. = 2K-T , Tj. == 2Er ;

trois équations pour quatre inconnues. Le problème est indéterminé, et doit l’élre, puisqu’un couple peut être remplacé par un autre, même sans changer la direction de l'une des forces.

Tt 5

Le plan du couple sera déterminé par le rapport — = «

et son moment par la quantité

Enfin, on pourra donner à T le sens et le signe qu’on voudra, pourvu qu’on fasse S de sens opposé, et qu’on donne alors à X, et r, les signes qu’exigent les équations

Tx. = ^Pi, Tr, = SVy.

SECT. III. ClIAP. II. ^ lO.

a' CAS. Si diffère de zéro, les deux équiv.ilentes paallèles ont une résultante. En appelant R cette résultante, et a:, , 7 , , les coordonnées d’un quelconque de ses points, on aura (365) , dans les trois équations

la solution d'un problème déterminé, qui comprend, comme cas particulier, celui de la composition de deux forces parallèles.

389. Connaissant les positions d’autant de points qu’on voudra par lesquels passent des forces parallèles , d’intensités connues et de même sens, on peut , sans connaître la direction de ces forces, assigner un ^oint par lequel passe nécessairement leur résultante.

Cela est déjà établi (SSa) pour deux forces F', F"; car, si l’on appelle M', M" deux points pris sur leurs directions , la résultante R” de ces deux forces passe en un point N" situé sur la droite M'M", et partageant cette droite eu parties réciproquement proportionnelles aux forces. De même la résultante R'" de R" et d’une troisième force F'", passantqiar M'", passe en un point N"' qui partage la droite N" M"'en deux parties réciproquement proportionnelles aux forces F'-f- F" et F'".

En procédant ainsi de suite, on arrivera, sans connaître la direction des forces, à trouver un point N, par lequel passe nécessairement leur résultante.

Ce point s’appelle le centre des forces parallèles dont il s’agit.

Si F représente une quelconque des forces du système, x la distance de son point d’application à un plan quelconque, X la distance au même plan du centre des forces parallèles, on peut, sans changer la position de ce point, supposer les forces parallèles au plan considéré, et l’on a par conséquent, comme au numéro précédent ,

R = 2F , RX = 2 F. 2 : , d’où X = .

Kn opérant de même par rapport à deux autres plans , on aura

ATTRACTION DK DKOX SPHÈRES. 247

Ainsi l’on aura les trois coordonnées du centre des forces parallèles, en fonction de celles de leurs points d’application.

Il est facile de voir que la même propriété et les mêmes formules subsistent lorsque les forces parallèles se partagent en deux groupes de sens opposés.

390. Lorsque les forces parallèles sont les poids de points matériels dont se compose un corps solide, le centre de ces forces n’est autre chose que le centre de gravité du corps; car on peut, dans les formules ci-dessus, substituer aux forces F ou aux poids des points matériels, leurs masses qui leur sont proportionnelles, et les formules sont alors celles du n" p5.

De là un moyen de déterminer expérimentalement le centre de gravité d’un corps solide, soit en le suspendant par deux points différents, ce qui fournit deux droites, dont l’intersection est le centre cherché, soit en posant le corps en équilibre sur un couteau horizontal , et en répétant l’expérience en divers sens, ce qui fournit plusieurs plans contenant le point dont il s’agit.

§ 11 . Attraction mutuelle de deux sphères formées de couches homogènes.

391. La proposition suivante trouve son application dans la physique, et se déduit de la propriété fondamentale de la résultante de plusieurs forces concourantes.

Théorème. Deux sphères matérielles, composées de couches homogènes , dont tous les points s'attirent en raison directe de leurs musses et en raison inverse du quarré de leur distance, exercent l’une sur Vautre des forces dont la résultante est la même que si la mati'ere que chacune éC elles contient était réunie en son centre.

Pour le démontrer, considérons d’abord l’attraction d’une couche sphérique homogène, dont le centre est O fig. 5a), sur un point matériel situé en A hors de cette couche.

Soit i l’épaisseur très-petite de la couche, et soit r son rayon ; son volume sera l(RT*i.

Soit f l’attraction qu’exerceraient l’un sur l'autre deux

shcr. ni. cii&H. II. § II.

points matériels ayant l’unité de musse et situés à un mètre de distance l'un de l'autre. Soit m la masse du point matériel situé en A. Soit p. la masse de la couche sous l’unité de volume, de sorte que sa masse totale est

4itr®ip, que nous désignerons par M.

Si l’on désigne par a l’aire d’une très-petite portion de la couche, et par z sa distance au point A, son volume est ou, sa masse poi , et sa force attractive sur A est, d’après la loi

. , , . . fm\mi

exprimée dans I énoncé, — — •

La résultante de toutes les forces pareilles pour une zone entière quelconque, comprise entre deux plans MM,, M'M',, perpendiculaires à OA, étant évidemment dirigée suivant AO, sera (ao4) égale à la somme des projections sur cet axe des

forces élémentaires. La projection sur AO de

est

appelant x la distance AP, projection du rayon AM.

La somme des valeurs de cette quantité pour tous les éléments a qui forment la zone décrite par l’arc très-petit MM', donnera l’attraction de cette zone, et s’obtient (puisque tous ces éléments a ont le même x et le même z) en mettant pour a la surface de cette zone, savoir, ii^rdsc, en faisant PP' =dx. Cette attraction est donc

2 fnmri^ .-^dx ou

.. »iM xdx

en mettant M à la place de 4'^r’i^.

Cette quantité exprime également la résultante des actions du point A sur la zone solide MM'M'.M,, puisque toutes ces actions sont respectivement égales et opposées aux composantes de l’action de la zone sur le point A.

L’intégration de l’expression ci-dessus donnera la force totale exercée par la couche sphérique sur le point A , et réciproquement la résultante des actions du point A sur la couche sphe'i'ique.

Les variables x, z étant foiiclioii l'une de l’autre, il faut en

ATTKACTION DE DEUX SPHI^KES.

éliminer une. Or on a r' = a’ + a’ — 2 ax, en appelant a la distance OA, d'où

et dx =

zdz

•ka '■a

L'expression ci-dessus de l’attraction delà zone [ 112 ] devient donc

dont l’intégrale indéfinie est

fl* — r'

4rfl*

[ti3]

Si le point A est extérieur, comme dans la figure 5a, l'intégrale définie doit être prise entre les limites Zg=a — r et 2jz= a r.

L'intégrale indéfinie étant de la forme <p(a)-|-C, l’intégrale définie, ou la force cherchée, est <p(Z) — <p(*o) » o*'

/mM f £j’ r* . a’ — ,

tira' V a -J- r ' '

se réduisant à : on voit qu’elle est la même que si toute

la matière de la couche était réunie au centre O.

Le théorème proposé est donc démontré pour le cas où l’une des sphères se réduit à une couche très-mince, et l’autre à un point matériel extérieur.

392. Corollaire. Un corps composé de couches sphériques homogènes, dont tous les points attirent un point extérieur en raison inverse du quarré des distances, exerce sur ce point la même action que si toute la matière était réunie au centre ; et, suivant la remarque faite plus haut, il en est de même de la résultante des forces que le point extérieur exerce sur le corps sphérique.

393. Si le point A était intérieur, l’analyse précédente s’appliquerait encore, sauf les limites de l’intégrale [n3], qui seraient r — a et r-+-«. Cette intégrale serait donc

yi/lM ( r' — a'

se réduisant à zéro.

SKCT. III. CIIAP. II. § II.

Donc, dans la même loi d’attraction , l’action du corps composé de couches sphériques homogènes sur tout point situé à l'intérieur, se réduit à l’action de la matière enveloppée par la surface sphérique qui passe par le point intérieur ; car ce point devient extérieur par rapport à cette sphère, tandis que l’action de toutes les couches qui l’enveloppent est nulle.

394. Cette dernière proposition se démontre par des considérations géométriques. Soit pris pour plan de la figure 53 un plan quelconque passant par OA; soit MN un arc infiniment petit dans ce plan ; soit MP la perpendiculaire abaissée sur OA. La surface de la zone décrite par MN tournant autour de OA sera MN X a^ïMP; mais si l’arc, au lieu d’une révolution entière, n’en fait qu’une très-petite fraction exprimée par

l’aire décrite sera — . MN X MP, et comme elle sera infinin

ment petite en tous sens, on pourra prendre AM pour sa distance au point A. Donc la force attractive correspondante à cette portion de la couche, dont l’épaisseur très-petite est /, aura pour intensité

, .air MN X MP

Tm~ '

Soient prolongées les droites MA, NA jusqu’en M', N'. L’ai'c M'N', pendant le petit mouvement de rotation ci-dessus défini, décrira également une petite portion de zone dont l’attraction sur le point A aura l’intensité exprimée par