QUATRIÈME SECTION

HYltBOSTATIQUE OU CONDITIONS DE L’ÉQUII.IBBE DES FLUIDES.

§ 1 . Propriétés caractéristiques des Jluides.

409. Un fluide est un assemblage, en apparence continu, de points matériels qui cèdent à de très-faibles efforts tendant à les séparer ou à les faire glisser les uns sur les autres. On distingue les fluides en liquides et en gaz ou fluides aérijormes. Les liquides ne se compriment que sous des pressions extrêmement grandes, et s’appellent souvent par cette raison fluides incompressibles . Les gaz ou fluides aériformes sont compressibles et doués , dans certaines limites , d’une parfaite élasticité ; c’est pourquoi on les nomme aussi fluides élastiques.

410. Le caractère essentiel de la fluidité parfaite., dans les liquides comme dans les gaz, consiste dans l’absence de tout frottement, soit entre les parties du fluide, soit entre elles et les corps environnants. Cette propriété n’existe pas d’une manière absolue dans la nature, mais on peut l’admettre comme une approximation conforme à l'expérience, surtout quand il s’agit de fluides en repos, ou n’ayant que des mouvements lents relativement aux corps qui les toucbent.

411. De ce principe fondamental en hydrostatique se déduit, comme conséquence necessaire , une autre propriété que, dans les traités sur cette matière, on regarde communément comme un résultat d’expérience ; savoir ;

Lm pression rapportée h l’unité de surface pour chaque point du fluide est égale en tous sens.

Pour s’en former une idée précise, il faut définir ce que l'on entend par la pression en un point d’un corps fluide. Un corps lie ce genre étant supposé enfermé de toutes parts dans une enveloppe polyédrique, si l’on considère une portion plane de

cette enveloppe, on voit qu’elle reçoit de la part du fluide une infinité de petites forces agissant du dedans an dehors ; si le fluide est parfait, la résultante de ces forces, qui constitue la pression totale supportée par la portion d’enveloppe considérée, est toujours perpendiculaire à cette surface, tandis que s’il s’agit d’un liquide plus ou moins visqueux, les actions qu’il exerce peuvent être obliques à l’enveloppe comme dans le frottement des corps solides entre eux.

Si en subdivisant la surface pressée, en parties de plus en plus petites, on trouve que la pression totale sur chaque partie décroît dans le même rapport, on peutdire que la pression est uniforme; et si l’on divise une pression totale évaluée en kilogrammes, par l’aire qui la supporte, exprimée en son rapport au mètre quarré, on a , pour la surface dont il s’agit , ce qui s’appelle la pression par mètre quarré ou la pression rapportée au mètre quarré.

Si les pressions sur les subdivisions de la surface pressée ne sont pas proportionnelles aux aires, le quotient de la pression totale divisée par l’aire totaledonne la pression moyenne par mètre quarré; et la limite dont on s’approche en appliquant ce calcul à une aire de plus en plus petite dans laquelle se trouve un point déterminé , est en ce point la pression par métré quarré.

Cette notion s’applique à un point intérieur d’un fluide. Si par ce point on imagine une portion de plan , les deux parties adjacentes du fluide exercent des actions mutuelles qu’on peut se représenter comme les pressions égales que supportent les deux faces de ce plan ; l’une de ces pressions divisée par l'étendue superficielle sur laquelle elle s’exerce est la pression moyenne., et la limite de la pression moyenne à mesure qu’on réduit cette étendue en y comprenant toujours le point considéré, et en conservant au plan sa direction , est lu pression par unité de surface au point dont il s’agit, et perpendiculairement à la direction adoptée.

Cela posé , Y égalité de pression en tous sens pour un même point y consiste en ce que la pression par unité de surface en un point pris arbitrairement dans un fluide est la même en quelque sens qu’on la considère, c’est-à-dire quelque direction qu’on

PHOPRIÉTÉS CAhACTÉniSTIQUJiS DtS fLUlUKS. 2G I

donne à la petite portion de plan dont nous venons de parler, pourvu qu’elle comprenne toujours le même point.

Pour le démontrer, faisons passer par ce point M {ftg. 54) deux plans quelconques MM'N, MM'L, et menons dans ces plans , perpendiculairement à leur intersection , les quatre droites MN, M'N', ML , M'L', égales entre elles et à la longueur MM' prise sur l’intersection. Considérons le fluide contenu dans le prisme droit triangulaire MLNM' ainsi déterminé. Les forces extérieures sous l'action desquelles il est en équilibre consistent i" dans les pressions normales exercées sur les cinq faces, a° dans les actions analogues à celle de la pesanteur qui sollicitent toutes les molécules de la portion du fluide considérée. Mais à mesure qu’on diminue dans un même rapport les dimensions MM', MN, ces dernières forces deviennent aussi petites qu’on veut relativement aux pressions sur les faces, parce que les unes deviennent proportionnelles au volume du prisme et par conséquent au cube de MM', tandis que les autres deviennent proportionnelles au qiiarré de cette même longueur. Supposons, par exemple, que MM', MN', etc,, déjà très-petites, soient rendues encore dix fois plus petites : la face MN' étant réduite à un loo"’* de son aire, sa pression est diminuée peu près dans le même rapport; le poids du prisme devient à peu près un looo"" de ce qu’il était; le rapport de ce poids à la pression sur MN' se trouve approximativement dix fuis plus petit; il décroît donc à peu près proportionnellement aux dimensions du prisme. Concluons qu’en approchant de la limite les forces analogues à la pesanteur deviennent de plus en plus négligeables, et que par conséquent l’équilibre doit finir par exister entre les seules pressions. Or, si l’on projette ces forces sur un axe parallèle à LN, on voit que les pressions normales aux faces NL', LMN, L'M'N', disparaissent comme perpendiculaires à cet axe, et qu’il ne reste que les pressions sur les faces MN', ML', qui, faisant des angles égaux avec LN, doivent être égales pour que leurs projections le soient; et comme ces faces sont égales , il en résulte que les pressions rapportées à une même unité de surface, suivant les deux directions perpendiculaires aux plans quelconques MN', ML', sont égales.

262 si'Cr. IV. i.

Lorsqu'il s’agit d'un fluide aérit'orme , lu pression est souvent appelée force élastique; on lui donne aussi, assez improprement, le nom de tension , qui devrait être exclusivement cH>nsacré à des actions mutuelles attractives.

412. Une seconde conséquence de la nullité du frottement entre les parties des fluides, c’est que dans un fluide en repos, quand les forces extérieures se réduisent à lu pesanteur et aux pressions des parois environnantes , toute couche horizontale , ou de niveau , non interrompue, a dans toute son étendue la même pression et la mémo densité.

i“ Elle a la même pression ; car si, entre deux points quelconques, on considère dans la couche un filet prismatique horizontal , il est également pressé à ses deux extrémités , sans quoi il se mouvrait en vertu de la nullité du frottement (4 lo). Or, si les pressions sont égales dans le sens horizontal, elles le sont dans des sens quelconques (4t >)'

2 ° Une couche horizontale continue a la même densité dans toute son étendue- En effet, soient deux plans AB, A'B', irèsrapprochés {fig. 55 ) ; la pression dans l'étendue de chacun d’eux considéré à part est uniforme, comme nous venons de le voir. Or, la pression sur un élément /«' est égale à celle qui a lieu en m augmentée du poids de la colonne verticale mm' , puisqu'il n’y a pas de frottement sur les faces latérales de celte colonne; il en est de même pour une autre colonne m,m,' ; ces deux colonnes ont donc même poids , sous le même volume , d'où résidte la proposition énoncée.

Si la couche est discontinue, il peut en être autrement: lorsque deux vases communiquent entre eux, il peut se faire que l’égalité de pression et de densité n’ait lieu que dans les couches qui s’étendent sans interruption dans ces vases ; telle est la couche AB ou la couche CD ; tandis que la pression et la densité peuvent être inégales quand on passe de la couche AB à la couche ah située au même niveau.

413. Lorsqu’il s’agit d’un fluide incompressible et homogène, en repos, la différence des pressions par mètre quarré, en deux plans horizontaux différents, a une expression simple, * pourvu qu’on puisse passer d’un plan à l'autre sans sortir

PROPUlÉTlis CARACTÉRISTIQUES J>£S FLUIDES. 2G3

du liquide. Si h est la distance verticale des deux plans , et si n est le poids d’un mètre cube de liquide , la différence dont il s’agit est IIA ; de sorte qu’en désignant par la pression par unité de surface dans le plan supérieur, et par 9 la quantité analogue dans le plan inférieur, on a

En effet, supposons d’abord que les deux plans soient disposés comme A„B„ et A'B' {Jig. 56), de manière qu'on puisse descendre de l’un à l’autre suivant une colonne liquide verticale m'n, dont nous appellerons la hauteur A'. Désignons par a l’aire de la section droite de cette colonne cylindrique. La pression sur la base supérieure est la base inférieure supporte en outre le poids de la colonne liquide ; lequel est Wah’. La pression totale sur la base inférieure est donc ®„a-|-n(7A', d’où il suit que la pression par unité de surface sur cette base, et par conséquent dans le plan A'B', est ®„-t-IlA'.

Maintenant , quels que soient les deux plans horizontaux AoB„, AB, dont la distance est A, il sera toujours possible d’interposer d’autres plans A'B', A"B", A"'B'", tels qu’on puisse aller d’un niveau au suivant par une verticale sans sortir du liquide; et en appliquant à chaque intervalle la formule précédente, on trouvera les différences successives des pressions par unité de surface , d’où l’on conclura la différence totale , conforme à la règle énoncée, entre les plans extrêmes.

Si les deux couches AJB^, AB, étaient au même niveau, comme AB, ab {fig. 55), la pression par unité de surface y serait la même, A devenant nulle, pourvu qu’on pût aller d’une couche à l’autre par une ligne telle que qrst sans sortir du liquide homogène.

414. On arrive également à la formule [ii4] parle théorème del’effet du travail, en admettantque, dans les mouvements lents d’un liquide, le travail total des actions mutuelles soit nul, ce qui est une conséquence de l’incompressibilité et de l'absence du frottement. Soit l’aire d’une très-petite portion de paroi A„B„(^^. 5y), et la pression par in. q. qui s’y exerce; soient rt et les quantités analogues pour la paroi AB. Imaginons

8*cr. IV. § I.

qu'on remplace ces parois par des pistons mobiles chargés des pressions totales îa, le reste de l’enveloppe étant rendu immuable; qu’alors on augmente la i'orce d’une très-petite fraction de sa valeur ; les pistons A„B„, AB, prennent un mouvement très-lent qu’on peut arrêter après un très-petitdéplacement en supprimantia force additionnelleen .\„B„, et enjoignant une force aussi très-petite à la force résistante qui agit en AB. Les pistons ayant ainsi parcouru les petits chemins s„ s, appliquons le théorème derefleldu travail, en observant que le travail des forces additionnelles , étant aussi petit qu’on veut par rapport aux autres, peut être négligé, et que la puissance vive est nulle au commencement et à la fin, Le travail sur le piston AJio est sur AB, il est — - *îas ou — puisque les volumes ABCD, A„B„C„l)„, sontégaux,à causedel’incompressibilité, et sont exprimés l’un par ai, l’autre p4ar a^s„. Le travail dû à la pesanteur est égal au poids du liquide occupant l’un de ces volumes, multiplié par la différence du niveau de AB au-dessous de AoB„ (ia5). Si A est cette différence, et II le poids d’un mètre cube du liquide, le travail dont il s’agit est IlnoS^A. Enfin le travail des autres forces extérieures, c est-à-dire des pressions exercées parles parois immobiles de l’enveloppe, est nul. L’équation de l’effet du travail est donc

®o«o'»o + — ®«o»o = O > «l’o»' ® =®o + nA.

415. Si dans cette formule on suppose *S^=o, c’est-à-dire que la hauteur A soit comptée à partir d’un plan où la pressiotr est nulle, on a $ = HA, ou A.

Par cette raison, si l’on divise une pression ® rapportée à l'unité de surface, par le poids II de l’unité de volume d’un liquide, le quotient s’appelle la hauteur de ce liquide représentant la pression 9.

416, Lorsque plusieurs liquides différents et non mélangés sont en repos dans un même vase, la condition de l'homogénéité des couches de niveau (4i^) subsiste, et il s’ensuit que la surface de séparation des deux liquides voisins est un plan horizontal. Mais il faut distinguer deux cas : si de deux liquides voisins l’inférieur est plus dense que le supérieur, leui;

l•UOPBliTl■;S CARACTÉKlSiigUliS 1)KS FLUIDES. 2(î,>

équilibre sous l’action de la pesanteur est stable, c’est-à-Uire que si l’équilibre est dérangé par une cause accidentelle, l’état primitif tendra à se rétablir dès que cette cause cessera; dans le cas contraire, le moindre dérangement dans l'horizontalité de la surface de séparation suffira pour faire descendre le liquide le plus dense à la position inférieure.

En effet, soit ABC.(/î^. 58) la surface de séparation, et imaginons suivant cette surface un diaphragme solide, trèsmince, sans pesanteur; supposons qu’en B les deux faces de cette cloison soient également pressées , ce qui devrait avoir lieu dans toute son étendue pour que l’équilibre eût lieu. ‘J? étant la pression par mètre quarré en B, celle qui s’exercera en A sur la face supérieure de la cloison sera $-1-11^, le poids du mètre cube du liquide supérieur étant FI, et la différence de niveau de B à A étant h (4i3). La pression en A sur la face inférieure de la cloison sera ®-f-n'A, le poids du mètre cube du liquide inférieur étant II'. Donc, si H' est plus grand que O, les molécules liquides situées en A, étant plus pressées en dessous qu’en dessus, tendront à remonter au niveau de B, dès que lu cloison cessera d’exister ; en même temps les molécules situées, comme G , à un niveau plus élevé que celui de B tendront à y descendre. Le contraire aura lieu si II est plus grand que II'; la cloison supprimée, le liquide supérieur descendra en A, le liquide inférieur montera en C.

Il est clair que cette propriété s’applique à un fluide pesant quelconque dont la densité peut varier d’une couche à l’autre, soit brusquement, soit d’une manière continue.

417. Un fluide étant composé de couches de différentes densités , si, partant d’un point A„ où la pression par unité de surface est pour arriver au point A où la pression est $, on traverse, sans sortir du fluide, diverses couches dont les poids par mètre cube sont H', II", H'". . . et les hauteurs verticales. h', h", h'". . . , on a

les hauteurs A', A", A'" . . . étant comptées positivement quand les couches sont traversées en descendant, et négativement dans, le cas contraire. C’est une conséquence évidente du n®4*3.

2()(j StCT. IV. § U.

§ a. Appareils fondes sur les propriétés précédennnent expliquées.

4 1 8 . Presse hydraulique. Cette machine, décrite dans les traités de physique, présente une application de la transmission de la pression et du travail (4i4) p^r l'intermédiaire d’un liquide. On remarquera que, bien qu'une petite pression en produise une trè.s-grande, le travail moteur est toujours supérieur au travail utile, à cause du frottement.