ÉQITILIBRE DES CORPS PLONGÉS OU FLOTTANTS

d’un liquide, sur le fond d’un vase non cylindrique, est tantôt plus grande, tantôt plus petite que le poids du liquide contenu dans le vase.

§ 6. Équilibre des corps plongés on flottants.

451. Lorsqu’un corps est plongé en totalité ou en partie dans un liquide pesant, en repos, qui entoure complètement la partie immergée , les pressions que ce fluide exerce normalement à la surface du corps ont une résultante unique passant par le centre de gravité du fluide déplacé, et égale, mais directement opposée au poids de ce même fluide. Cela résulte des n°* 448 et 449 ; mais cela se reconnaît aussi a priori , car rien ne serait changé aux pressions si le corps plongé était remplacé par le fluide qu’il déplace, et alors la proposition serait une conséquence des principes de la Statique. Il est bien entendu que le fluide environnant est en contact avec toute la surface qui limite le corps considéré au-dessous du plan de niveau où cesse le fluide. Celui-ci peut d’ailleurs être composé de couches horizontales de diverses densités ; mais alors il faut prolonger par la pensée 'ces couches dans l’intérieur de la partie immergée, pour avoir le poids du fluide déplacé et son centre de gravité. La .résultante des pressions du fluide sur le corps qui y est immergé s’appelle improprement la perla de poids du corps due h son immersion.

Comme les composantes horizontales des pressions élémentaires se font séparément équilibre (448) , la résultante de toutes ces pressions peut être considérée comme se réduisant à la résultante de leurs composantes verticales, c’est-à-dire, à une résultante de forces parallèles. Par cette raison, le centre de gravité du fluide déplacé par le corps immergé peut s’appeler le centre des pressions que ce corps supporte.

452. Une conséquence immédiate de la proposition qui vient d'être établie, c’estquepour l’équilibre d’un corps entièrement plongé dans un liquide homogène, il faut :

1 ° Que son poids soit égal à celui d’un volume égal de liquide ;

292 SFXT. IV. ^ ü.

a" Que le centre de gravité du corps et celui de son volume soient sur une même verticale.

Quant à la seconde condition, il y a une distinction importante à faire. Lorsque le centre de gravité G du corps solide {fig. 68 a) est au-dessous du centre de pression G, l’équilibre est stable , ce qui signifie que si , par une cause quelconque, le corps solide est momentanément incliné (^. 68 ^) , et ensuite abandonné , sans vitesse initiale , à l’action de la pesanteur et à celle des pressions du liquide environnant, ces forces tendent à le ramener à la position d’équilibre dont il s’agit. Eu effet , puisque le corps est solide, on peut ( 4 oa), sans rien changer à son mouvement, remplacer les forces auxquelles il est sou* mis par leurs résultantes , savoir, la force P représentant son poids , appliquée au centre de gravité G , et la force R verticale ascendante, égale à P, mais appliquée au point G. La résultante de translation de ces deux forces étant nulle, le centre de gravité G reste immobile (a83) ; mais en vertu de la force R(4o8) le corps tourne autour de ce point G , vers la position où G est verticalement au-dessus de G.

Dans le cas où, au contraire, le centre de pression G serait verticalement au-dessous du centre de gravité G {fig. 68 c), l’équilibre serait instable , c’est-à-dire que si le corps venait à être tant soit peu incliné (ce qui est inévitable dans la pratique), et était ensuite abandonné aux seules forces P et R, il tournerait en s’écartant de plus en plus de la position d’équilibre primitive , pour prendre la position opposée.

453. Pour l’équilibre d’un corps flottant, c’est-à-dire, incomplètement plongé dans un liquide , il faut i” que son poids soit égal à celui du liquide déplacé ; a" que le centre de gravité du corps et le centre de pression soient sur une même verticale. L’équilibre est encore stable si le centre de gravité est au-dessous du centre de pression ; mais cette condition toujours suffisante n’est pas nécessaire. Un exemple simple va démontrer cette vérité.

Soit ABGD ( fig. 69 ) un corps solide terminé par une surface cylindrique de révolution dont l’axe est horizontal. Il est enfoncé dans un liquide dont la surface libre est dans le plan

KQLlLIBKE DES COUPS PLONGÉS OU fLOlTANTS. 293

AC appelé plan de flottaison. Le lest fixé vers B fait que le centre de gravité du corps flottant est en G , plus bas que l’axe O. Le centre de gravité du volume du liquide déplacé , et par conséquent le centre de pression , est en G'. Dans la situation d’équilibre ( fig. 69a ), le poids du corps solide est égal à celui du liquide qu’il déplace, et les deux centres de gravité G, G', sont sur une même verticale passant par l’axe O. Maintenant, si l’on incline le corps par une petite force de manière qu’il ne s’enfonce pas davantage , la droite BD, primitivement verticale, devenant inclinée ( fig. 69^), contient toujours le point G, centre de gravité du corps flottant , tandis que le centre de gravité du liquide déplacé est en G'„ sur la verticale passant par l’axe O.

Dans cet état, le corps étant soumis à deux systèmes de forces, dont les unes, constituant le poids du corps flottant, ont une résultante verticale de haut en bas, passant par G, et les autres, qui sont les pressions du liquide, ont aussi une résultante verticale, mais de bas en haut, et passant par G',, il s’ensuit que le corps flottant tend à tourner et à revenir à sa première position. On voit qu’il suffit pour cela que le centre G soit au-dessous de l’axe O , quoique supérieur au centre G'. Au reste, plus le point G sera bas, plus le corps tendra à revenir rapidement à la position d’équilibre.

454. Considérons maintenant un cylindre droit à base de figure quelconque {fig. 70) qui flotte en ayant ses arêtes horizontales. Si on le fait tourner en satisfaisant toujours à cette côndition et de manière que la quantité de liquide déplacée reste la même, quoique son volume change de forme , le centre de gravité G' de ce volume décrit , par rapport au corps flottant, une courbe G'G'. qui n’est plus un arc de cercle comme dans le cas précédent, mais qui jouit d’une propriété remarquable : c’est que dans chaque position du corps flottant, cette courbe a sa tangente horizontale au point même où se trouve actuellement le centre <le gravité du liquide déplacé. En effet, soit AB le plan de flottaison auquel correspond la position G' de ce centre de gravité, si l’on veut avoir un autre point de la courbe voisin de celui-là , il faut considérer un au

SKCT. IV. § 7.

tre plan de ilottaison A, B, tellement situé que l’aire A,DB, soit égale à l’aire ADB, et que par conséquent l’aire BCB, soit égale à l’aire ACA, ; or il s’ensuit nécessairement que le centre de gravité G', du volume A,DB, sera au-dessus de G'H parallèle à AB et actuellement horizontale; et cette conclusion est indépendante de la situation du point G', à droite ou à gauche du point G'. Donc G'H est la tangente en G', et la verticale G'V est la normale en ce même point à la courbe G'G',.

Cela posé, imaginons que la courbe G'G, soit tracée aux environs du point G' correspondant à la position d’équilibre du corps flottant , et désignons par M le centre de courbure de cette courbe pour le même point G' {Géom. anal., 260). Ce centre de courbure M s’appelle le métacentre du corps flottant, et joue un rôle analogue à celui du centre du cylindre à base circulaire considéré au n“ précédent. En effet, dans la position d’équilibre ( fig. 70a) , la verticale G'M doit contenir le centre de gravité G du corps flottant , et si ce corps s’incline infiniment peu, par exemple vers la droite {.fig. yoi), la verticale passant par le nouveau centre de pression G', passe infiniment près de M , et pour que le corps tende à revenir à sa position d’équilibre, il suffit , comme le montre la figure 70 b, que le centre de gravité G soit au-dessous du métacentre M , sans qu’il y ait nécessité qu’il soit au-dessous du centre de pression G'.

455. Remarque sur la condition essentielle de V immersion. Pour que les propriétés mentionnées dans ce paragraphe soient réalisées, il faut que la surface qui termine le corps au-dessous d’un certain plan soit tout entière en contact avec le fluide considéré. Quand cette condition n’est pas remplie, il faut traiter les questions relatives aux pressions d’après les théorèmes énoncés aux paragraphes 4 et 5. Cette observation s’applique à divers genres de soupapes.

§ 7. Du calcul de la hauteur des montagnes diaprés les oljscrvatinns barométriques.