CENTRE DE GRAVITÉ

plan considéré. Si celui-ci passe par le point , le moment e.st nul. Les moments de deux points matériels par rapport à un plan qui passe entre eux deux, sont de signes contraires.

94. Théorème. Quel que soit un système de points matériels en mouvement ou en repos, indépendants ou liés par des actions mutuelles, il y a à chaque instant un point géométrique tellement situé , que le produit de la masse entière du système par la distance de ce point à un plan quelconque est égal à la somme algébrique des moments des masses élémentaires pris au même instant par rapport au même plan.

Ce point géométrique s’appelle le centre de gravité du système matériel (’). Le produit de sa distance à un plan par la

(*) L’existence du centre de gravité a été découverte par la considération de l’équilibre des corps solides , et la définition qu’on eti donne ordinairement suppose la solidité du système. Le centre de gravité d’un corps est , dit-on, \epoinl du corps par lequel passe continuellement la résultante des actions de la pesanteur sur ses éléments , de quelque manière que le corps soit tourné dans l’espace. Cette définition a plusieurs inconvénients : i" elle peut induire en erreur en faisant croire que le centre de gravité est un point matériel faisant partie du corps considéré, ce qui n’est pas (exemple, une sphère creuse, un anneau); et même dans le cas où l’on modifierait la définition pour éviter cette erreur, elle ne s’applique pas immédiatement et sans explication à un corps variable de forme, à un liquide, a un système de plusieurs corps; il y a alors quelque difficulté à faire bien comprendre ce qu’on entend par la résultante des actions de la pesanteur.

La définition que nous adoptons, à l’exemple des géomètres du dix-huitième siècle, est plus générale et n’est sujette à aucune fausse interprétation.

I..e théorème ( 9 /i)qui sert de fondement à cette définition est proprement une proposition de géométrie qu’on pourrait énoncer en ces termes : Quel que soit un système de points géométriques occupant à un instant quelconque des positions déterminées, si ton affecte a chacun de ces points un nombre quelconque, il existe à chaque instant un point géométrique tellement situé que 1e prochiit de sa distanee ii un plan queleonque par la somme des nombres assignés à tous les points est égal h la somme des produits partiels de la distance (positive ou né-

masse entière du système s'appelle le moment de la masse du système par rapport à ce plan.

Démonstration, i® Soient deux points materiels dont les masses sont m', m", occupant les positions A', A" {fig. 9).

Leur centre de gravité ne peut être que sur la droite A' A", car, autrement, par rapport à un plan passant par ce point et laissant A' et A" d’un même côté , le moment de la masse totale serait nul sans que la somme des moments élémentaires le fût.

Soit G” le centre de gravité dont la position est inconnue, et dont l’existence même est à démontrer. Si l’on abaisse sur un plan quelconque les perpendiculaires A'B', A"B", G"C désignées par X , x" , X", il faudra que l’on ait

( m' + m" ) X" = m' x' m" x " , ou

Si l’on mène N'N" parallèle à B'B", on a

X"— x' = A'N' et x" — X" = A"N".

Ainsi pour que le point G" jouisse de la propriété énoncée,

il faut et il suffit que l’on ait iw':»!'': :A"N'': A'N' ,

ce qui revient à w'iot": : A"G": A'G”;

c’est-.i-dire que le centre de gravité de deux points matériels est sur la droite A'A" qui joint ces deux points et la partage

gativc) de chaque point au meme plan multipliée par le nombre propre à ce point. (Si par exemple les points divers dont il s’agit sont les centres des communes d’un département, et qu’on leur assigne des nombres représentant les populations de ces communes, le point dont l’existence est indiquée parle théorème est le centre de la population du département.) La démonstration de ce théorème ne différerait de celle que nous donnons qu’en ce que les masses partielles seraient remplacées par les nombres représentant l’importance des points du système sous un point de vue quelconque. Si les lecteurs trouvaient quelque obscurité dans les notions précédemment établies sur les masses des corps, que la deuxième section éclaircira , ils pourraient considérer provisoirement les masses comme représentées par des nombres affectés aux éléments d’un système matériel.

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en lieux parties A'G", A"G" réciproquement proportionnelles aux (leux masses rn\ m".

Le point G" étant ainsi déterminé , l’équation

a lieu, quelle que soit la situation du plan de comparaison , pourvu qu’on ait égard aux signes des ordonnées x', x", X". C’est ce que nous laissons au lecteur le soin de vérifier.

Soient deux systèmes matériels quelconques dont les masses totales sont M', M". Supposons qu’il existe pour chacun d’eux un centre de gravité, c’est-à-dire un point satisfaisant à la propriété énoncée par le théorème, et soient A', A” ces deux centres de gravité. Le raisonnement précédent s’appliquera exactement pour démontrer l’existence du centre de gravité G" de l’ensemble des deux systèmes, et pour faire voir qu’il partage la droite A' A" en deux parties A'G", A"G", réciproquement proportionnelles aux deux niasses M', M". Car dans l’équation ( M' -4- M" ) X" = M'.r' + M"a:"

à laquelle ce point satisfera, quel que soit le plan B'B", les produits M'a:', M"a:'' réuniront, d’après l’hypothèse, les moments de tous les éléments des deux systèmes.

3° Soient trois masses élémentaires m, m", m”’ occupant les positions A', A", A”. On peut partager leur ensemble en deux parties dont l’une soit formée du système des deux éléments rn, m"' •, l’autre sera l’élément Donc, d’après la remarque que nous venons de faire, le système total a un centre de gravité G'" qui est sur la droite G'' A'" joignant le centre de gravité G" des deux premiers éléments à la position A"' du troisième , et il partage cette droite en deux parties réciproquement proportionnelles aux niasses ?«' -H et rn"'.

Cette démonstration, qui s’étend facilement à un nombre quelconque de points, prouve l’existence du centre de gravité tel qu’il a été défini , et indique le procédé géométrique pour le trouver.