Définition. Le produit que Von obtient en inulti

pliant la projection P d’une force F sur un plan perpendiculaire à un axe par la distance p de la force a l’axe, et en affectant le résultat du signe qui convient au travail de la force dans le mouvement de rotation de son point d’application autour de Vaxe, s'appelle le moment de la force F par rapport à cet axe. De cette définition et de la formule précédente étendue à un nombre quelconque de forces, résulte la proposition que voici :

Tréorèmb. La somme des travaux élémentaires des forces appliquées a un système solide, pendant le mouvement de rotation de ce système autour d’un axe fixe, est égale au déplacement angulaire infiniment petit du système , multiplié par la somme des moments des forces par rapport à l’axe de rotation.

C’est ce que nous exprimerons parla notation suivante :

en désignant par le moment d'une des forces F par rapport à l’axe A.

122. Remarque. Le moment Pp d’une force F d’intensité quelconque est nul quand la force F est dans un même plan avec l’axe A; car on a p=o si la force rencontre l’axe, et P = o si la force est parallèle à cet axe. La réciproque de cette proposition est également vraie.

§ 3 . Du travail dû h la pesanteur dans le mouvement (fun système matériel quelconque,

1 23. Comme nous l’avons dit (88) , le poids d’un corps, dans un lieu déterminé, est une force constante. Sa direction est verticale et son intensité varie avec la latitude et la distance au centre de la terre. Mais, dans les cas ordinaires, et particulièrement dans ceux de la mécanique industrielle, le poids d’un point matériel en mouvement peut être considéré comme une force constante en intensité, et parallèle à une même direction. Pat conséquent, à cette force s’applique l'observation faite au n° j8, et déduite de la définition générale du travail d’une force. De là résulte cette règle aussi simple qu’utile :

Si parmi les causes quelconques du mouvement d'un point

THAVAIL DU A LA PKSAMTEÜR.

matériel on considère séparément son poids, le travail de cette force entre deux positions quelconques Mo , M {fig. t^'),de son point d’application est égal au produit de l’intensité constante de cette même force par la hauteur MN , dont le point, dans sa seconde position, se trouve au-dessous du plan horizontal passant par la première position, quelle que. soit d’ailleurs la courbe M„M. Si le point M est plus élevé que M„ , le travail dont il s’agit est négatif.

Ainsi , en désignant par p le poids du point matériel considéré, par h la hauteur dont ce point s'est définitiTcment abaissé, quantité négative quand le point s’est élevé , le travail dû à la pesanteur dans ce déplacement est ph.

Autrement, si l’on représente par z„ et z les ordonnées du point dans ses deux positions, initiale et finale, par rapport à un plan horizontal, le sens positif de ces ordonnées étant pris de haut en bas, le travail du poids p est p[z — z„).

1 24. Cherchons maintenant l'expression du travail dû à la pesanteur dans un système matériel quelconque eu mouvement, quelles que soient les autres causes de ce mouvement. Nous ne ferons aucune hypothèse sur la nature de ce système, qui peut être solide , ou flexible, ou liquide, ou même composé de parties n’ayant entre elles aucune liaison.

Si les poids des divers points du système sont p', p", p'", si leurs ordonnées initiales et finales, prises verticalement de haut en bas, par rapport à un plan horizontal, sont z^ , z", z|,'', ..., z', z", z'". . . ; le travail total dû à la pesanteur, pendant que le système passe de la première position à la dernière, sera

p'{z’- z',) -^p"{z"- z") +p"\r- z"') + . . . . ou bien :

pz+p z -\-p z -t- — \pz^-\-p z^-\-p Z„-\-....)',

ce que nous exprimons en abrégé par l’équation

En désignant par Z, et Z les ordonnées, initiale et finale, du centre de gravité, et par P le poids total du système, cette for-

mule se transforme (g8) eu celles! :

2 e:/?=Pz— pz„ ou 2 ®/> = P(z — z„). [ 19 ]

Donc, dans un système quelconque, en mouvement, le travail dû à la pesanteur est égal au poids total du système multiplié par la hauteur dont le centre de gravité s’est abaissé.

Il est bien entendu que si ce point s’est élevé, la hauteur est négative ainsi que le travail.

125. Cas ou le calcul du travail dû à la pesanteur se simplifie. Soit un système abcd {fig. i5), partagé dans sa position initiale en deux groupes efdc, abef, dont les poids sont P', P", et dont les centres de gravité ont les ordonnées Z' , Z". On a ( 98 ) P = P' -H F' et PZ, = P'Z; F Z^.

Si le système, dans sa position finale EFIH, peut se partager en deux groupes nouveaux EFDC, CDIH/ dont les poids soient encore P' et P", et si , en outre , Tun de ces groupes a son centre de gravité au même lieu ou seûlement au même niveau que le groupe de même poids dans la première position, de sorte que les ordonnées des centres de gravité des deux nouvelles parties du système soient Z' , Z", on a : PZ = FZÔ -H P''Z".

Donc le travail P(Z — Z„) se réduit à P"(Z" — Z"), c’est-à-dire, au produit du poids P" commun aux deux groupes abef, CDIH, dont les centres de gravité, l'un initial et F autre final, ne sont pas au même niveau, multiplié par leur différence de niveau.

Le travail dù à la pesanteur est donc le même, dans ce cas, que si les éléments du groupe initial abef étaient venus prendre la position finale CDIH.

Ce cas se rencontre dans plusieurs questions d'Hydraulique.