IMPULSION ET QUANTITÉ DE MOUVEMENT

lui opposant une force constante , la même équation donnera l’impulsion résistante exercée par l’obstacle sur la balle en mouvement. On fera

vz=zo, -2<„ = 42o, / 7 ii>o = 1,071, et l'on aura Flz= — ijOyi,

produit négatif, parce que la force est de sens contraire à la vitesse qu’elle détruit. Si l’on suppose, par exemple, que l’obstacle ait détruit la vitesse du mobile dans un temps de o'',ooi, on en conclura que la force a été de 1071 kilog.

On remarquera que nous appliquons à un corps de dimensions appréciables ce qui n’est encore établi que pour un point matériel. On verra plus tard (aSS) que cette extension est permise, et nous ne l’indiquons ici que pour rendre sensible par des nombres la signification de la formule mv — tnVg — F<.

1 56 . Le produit mv de la masse d'un point matériel par sa vitesse à un instant déterminé joue un rôle important dans la Mécanique, et s’appelle la quantité de mouvement de ce corps à l’instant considéré ; expression bizarre que nous emploierons parce qu’elle est généralement adoptée.

157 . On conclut aisément de la formule [26] que dans le mouvement rectiligne les quantités de mouvement acquises par deux points matériels, pendant un même temps , sous l'action de forces constantes pour chaque corps, sont proportionnelles à ces forces. Soient, en effet, m et ni les deux masses, v — et v' — les vitesses acquises, pendant le temps t, par l’effet des forces constantes F et F'; on aura [26]

mv — mv., = F< et ni v — m’v'„ = F't,

,, . mv — mv„ F

dou —

mv — mv a r

Si l’on suppose que les deux corps soient partis du repos , au commencement du temps t, la proportion se réduit à

mv F

^iv F'

Ainsi, les quantités de mouvement de deux points matériels

SECT. II. CliAP. I. § G.

différents sont proportionnelles aux forces constantes qui ont pu les produire dans un même temps (*).

158 . Nous allons étendre la relation [26] ci-dessus établie au cas où le point serait soumis à des forces diverses et successives, agissant toujours suivant la droite que suit le mobile en sens positif ou négatif.

Soient, pour un point dont la masse est m,

sa vitesse à un instant pris pour instant initial ;

F, la force positive ou négative agissant dès cet instant ;

e, la durée de l’action constante de F,;

2», la vitesse à la fin du temps 9 , ;

F, la force qui succède à F,;

6, la durée de l'action de F, ;

v, la vitesse à la fin de cette seconde période ;

f’j» ®3> quantités analogues pour une troisième période;

F»? ®/i> '^1 quantités analogues pour la /!**“' et dernière;

On aura, d’après le n“ i 55 ,

Pour la première période mv, — mv„ = F, 9 , ;

Pour la seconde mv^ — mv,:=F,i,i

Pour la troisième m-v, — mv, = F„Ô„;

Pour la et dernière période mv — /mw„,=F„9,;

d’où, en ajoutant, on tire

mv — mv„ = F.e. + F,6, -F Fae, -4- + F,. 9 „,

ce qui S’écrit, pour abréger, de cette manière mv — mv„ = 2F6.

159 . Cette dernière équation subsiste, quelque petits que soient les temps 6. Donc, si l’on suppose que la force varie d’une manière continue, on aura [Géom. anal., 267)

(') A une époque où l’on admettait l’existence de forces instantanées (70) on disait que la quantité de mouvement d’un point matériel exprimait la force de ce corps ou lui était proportionnelle (Laplace, Exposition du système du monde, liv, 3 , chap. 3 ). Ce langage ne peut se concilier avec la définition actuelle du motyorcc.

TRAVAII. F.l l'tüSSANCK VIVK.

ntv — mVa — [*7]

Ce résultat s’obtient imiiiécliatement , mais d’une manière moins élémentaire, en intégrant l’équation mdv = Fdt. (i55)

160. D’après la définition ( 71 ) de l’impulsion, les trois cas auxquels sont relatives les équations des n“ i56‘, i58 et iSg, sont renfermés dans un énoncé commun, que nous aurons occasion de rappeler sous la désignation de théorème de la relation entre l’impulsion et la quantité de mouvement, ou, plus simplement, théorème de l’effet de l’impdlsion dans le mouvement rectiligne d’un point matériel.

La variation de la quantité du mouvement est numériquement et algébriquement égale à l’ impulsion des forces dans le même temps.

161. En considérant les deux cas particuliers où l’une des vitesses v est nulle, on voit que la quantité de mouvement possédée par un point matériel est :

1 ° De même valeur et de même sens que l’impulsion totale qu’il a reçue depuis qu’il est sorti du repos;

2 ° Égale et de sens contraire à l’impulsion nécessaire pour réduire ce point au repos.

162. Il est évident que si le mobile était soumis à des forces simultanées, agissant, soit dans le même sens, soit dans les deux sens contraires , mais toujours suivant la même droite, le même théorème s’appliquerait sans modification ; dans ce cas, la force F, qui entre dans les calculs et formules ci-dessus, est la somme algébrique de celles qui agissent, et le résultat est le même , soit qu’on multiplie cette somme par l’élément du temps, soit qu’on fasse la multiplication avant d’effectuer l’addition des forces.

§ 7 . Relation du travail et de la .puissance vive dans le mouvement rectiligne.

163. Les deux dernières des équations [a 5] du n° i53, savoir;

n = V. t et :c — = uj -1 — t ,

III " " a '

comluisent à un résultat remarquable quand on élimine le

temps t. Pour cela , on peut élever les deux membres de la

première au quarré et multiplier ceux de la seconde par

a — : on a ainsi m

d’où Ton tire

^niv^ — ^ /«%’ = F (a: — ar„). [a 8 ]

Ainsi , lorsqu’un point se mept en ligne droite sous l’action d’une seule force constante, si l’on calcule à deux instants quelconques la moitié du produit de sa niasse par le quarré de la vitesse , la variation de cette quantité aura même valeur et même signe que le produit de la force totale multipliée par l’espace dont le mobile s’est avancé dans le sens de cette force, produit qui , d’après la définition du n° y 4 observations

des n°* 76 et 78 , est le travail de cette même force.

Prenons, pour exemples, les mêmes données qu’au n° 156.

i” -t;. = 0, V =: A10 , = — - mil’ = aa 4 , 8 .

’ ’ kog ^

Donc, si l'on admet que depuis l’instant du départ jusqu’à celui où la vitesse de 4^0 mètres a été acquise, la force ait été constante, en appelant x l’espace parcouru depuis cet instant, on a

Fa; = aa4'“" ,8 ; donc , suivant que la force a agi

dans une étendue a: de i"; a"*; 3"; etc.

son intensité F en kilog. a été .. . aa4,8; lia, 4; 74>9j «te.

a” a»„z= 42 o, -wz=o, ^ aa 4,8 ;

Fa; = — aa4,8 :

travail négatif, parce que la force est de sens contraire à la vitesse initiale, et, par conséquent, au chemin x. Si l’on suppose, par exemple, que l’obstacle n'ait permis au mobile que