La quantité -mi^y moitié du produit de la masse un

point matériel multipliée par le qiiarré de sa vitesse à un instant déterminé, entre dans les principaux théorèmes relatifs au calcul de l’effet des machines : elle s’appelle dans ce traité (92) la puissance vU’e des points dont il s’agit à l’instant considéré.

1 65. Avant de chercher à justifier cette dénomination, il faut étendre la relation [28] ci-dessus obtenue au cas où la force totale F n’est pas constante.

Eq conservant les notations du n° i58, et de plus en désignant par (T, , <7,, 5, (T„ les chemins parcourus pendant les temps 9,, 9^ , 9, 9„, qu’on peut toujours

prendre assez petits pour que dans chacun de ces temps la vitesse ne change pas de signe, on aura, d’après le 11° 161 ,

Pour la i'® période. mvt — ^ = FiHi.

Pour la 2® période - mv^ — - mv' — F,(r, ;

Pour la 3® période - mv^ — — mv,^ = F,®,:

*■ ai

Pour la ra'*'"' et dernière ^ mv' — ^ mv'^, = F,a„-,

d’où, en ajoutant, on tire

-mv^ — - mv^ — F,<t, H- F.<r, -f- FjCTj H- -f- F„(t, ;

ce qui s’écrit, pour abréger, de cette manière

- mv' — - mv^ = 5 Fff ; ou bien , suivant la notation du n® ^3,

- mv' — - mv^ z=. GF ;

c’est-à-dire que, dans ce cas comme au n° i63 , la variation de la puissance vive est égale au travail de la force totale supposée variable d’une manière discontinue .

StCT. II. CIIAl*. I. § "j.

16G. Cette égalité subsiste, quelque petits que soient les chemins a. Donc, si la force varie d’une manière continue, en prenant la droite parcourue pour axe des x qui seront les distances variables du mobile à une origine quelconque, et en donnant à la force F le signe qui convient au sens suivant lequel elle agit, on aura

^ mvj=^ Fdr, ' [29)

ou encore

- mv' - mv' — GF.

Ce résultat se déduit immédiatement , mais d’une manière moins élémentaire, de l'équation du n“ i54, mdv—Fdt, en

< • (ijc , , ■

. la multipliant membre à membre par zi=— , pour éliminer

dt, ce qui donne /nWw = Fdj;, et en intégrant.

167. Si le mobile était soumis à deux forces simultanées, soit de même sens, soit de sens contraires, la force F, qui entre dans les calculs précédents, serait la somme algébrique de ces forces, et le travail de F, pour chaque élément de chemin, serait égal à la somme algébrique des travaux des forces partielles. On peut donc écrire

^ mv' — ^ mv' = 2 [3o]

en désignant alors par F les forces partielles.

168. D’après la définition générale du travail d’une force (74)5 divers cas qui viennent d’être considérés sont renfermés dans un énoncé commun que nous appellerons théorème de la relation entre le travail et la puissance vive , ou plus simplement théobème de l,’bffet du travail dans le mouvement rectiligne d’un point matériel ;

La variation de la puissance vive est numériquement et algébriquement égale au travail des forces dans le même temps.

169. En considérant les deux cas particuliers où l’une des vitesses , v est nulle, on voit que la puissance vive possé-