Si ta force est une fonction donnée de la vitesse

dv F*

soit F = I , l'équation fondamentale — = — donne , mdv

dt ■=. ~2 , et en intégrant

/'* dv

ce qui déterminera, soit t en fonction de v, soit les valeurs de t correspondantes à diverses valeurs de v.

Pour avoir de même x en fonction de v, on éliminera le temps entre les deux équations

dv ê !n| dx ,, , , mvdv

dt m dt ' ,f)„)

et en intégrant

C* vdv

^ vdv

On pourra donc assigner autant de valeurs simultanées qu’on voudra aux trois variables -n, t, x.

Réciproquement, si la distance x était donnée à priori en fonction de la vitesse v, on en conclurait l’expression de la force variable. Soit x = ^\v\, d’où dx z=z f \‘ 7 )\ dv.

En éliminant dx entre cette équation et dx = Wf, on a

dv V , mv

-= y^, et par conseiuen, F=y^.

Quant à l’expression du temps en fonction de v, on l'obtient par l’intégration de l’avant-dernière équation ^ r’ i'\v\dv

Si c’était le temps t qui fût donné en fonction de v, on trouverait aussi facilement la force. Soit d’où

dt =: O \v\dv; on en conclut F z= : et quant à la

‘ tp j ï) j ^

distance x, on l’obtient en éliminant dt entre l’avant-der-

rl.v

nière équation et dt = — , ce qui donne

dx = v<f' V dv, d’où X — x^

\dv.

175. Dans certaines questions, la force est donnée en fonction de plusieurs variables x, v, t. Soit, par exemple , F = ^1 j; , I . L’équation fondamentale du mouvement sera alors

— = — 9\ x,v , dt rn ' ’ '

, dx

ou , en mettant pour -v sa valeur —, dt m \ dt )

c’est une équation différentielle du second ordre qui pourra , dans certains cas, être intégrée, c’est-à-dire fournir une relation entre x et t, par les méthodes enseignées dans les traités spéciaux de calcul intégral. Il est rare que de telles questions se présentent dans la mécanique industrielle.

§ 9 . Applications.

1° Mouvenient vibratoire d'üne tige verticale élastique soutenant un corps pesant (*}.