D’après la définition du n° 1, si l’on nomme

e une certaine portion de l’espace linéaire parcouru par le point dont il s’agit,

i le temps écoulé pendant ce parcours,

e une autre portion quelconque d’espace parcouru par le même point ,

t le temps écoulé pendant le parcours de l’espace le mouvement du point considéré est uniforme, lorsqu’on a

et ce

La première de ces deux équations exprime l'égalité de deux nombres abstraits, indépendants du choix des unités d’espace et de temps : elle indique simplement que si le temps t est le

double, le triple, le quadruple , la moitié, le tiers, le

quart , les deux tiers , les trois quarts du temps l\ l’es-

pace linéaire e est aussi le double , le triple, etc., de l’espace e'. Ija deuxième équation ci-dessus exprime l’égalité de deux quantités dont l’énonciation numérique varie selon le choix des unités. Elle suppose au moins que les temps t et t' sont rapportés à une même unité, d’ailleurs quelconque, car on ne comprendrait pas, sans cette opération préalable, la significa-

. tion des quotients ^ j D’ailleurs, la deuxième équation est

homogène comme la première, c’est-à-dire que si elle est vérifiée pour certaines unités d’espace et de temps, elle le sera également quand on changera ces unités.

Si l’on désigne par a le quotient y, , la propriété du mouvement uniforme se trouve exprimée par l’équation

- = a ou e ■=. at ,

dans laquelle a est une constante, tandis que e et / sont des variables.

La quantité a qui, pour un mouvement uniforme donné, dépend du choix de L’unité de temps, est, d’après la dernière formule, l’espace parcouru dans l’unité de temps, ou au moins celui qui serait parcouru dans l’unité de temps si le mouvement était suffisamment prolongé en restant toujours uniforme.

Cette quantité o ou y s’appelle l'intensité ou la grandeur

absolue de la vUesse du point considéré.

Ainsi fa 'vitesse dans le mouvement uniforme est mesurée en grandeur absolue par l’espace parcouru dans riinilé de temps,

MOUVEMENT UNIFORME d’uN POINT.

OU plus généralement parle quotient d’un des espaces parcourus divisé par l'expression numérique du temps employé a parcourir cet espace. Nous donnerons plus loin (9) une définition plus générale et plus complète de la vitesse.

4. L’expression numérique de la vitesse exige le choix des deux unités de temps et de longueur. L'unité de temps adoptée généralement dans les formules de la mécanique est la seconde., c’est-à-dire la 864oo‘'"" partie du jour moyen solaire. L’unité de longueur ou d’espace dont nous ferons usage dans les exemples sera le mètre. On exprime cette double convention en disant que la vitesse est calculée en mètres par seconde. Néanmoins, on se sert quelquefois d’expressions telles que celles-ci : vitesse de tant de pieds par minute, de tant de lieues par heure. Ün mouvement uniforme étant défini sous une telle tonne, il est aisé d’en conclure la vitesse en mètres par seconde. Par exemple, la vitesse d'une lieue (de 4 kilomètres) par heure et celle de loo pieds anglais par minute re-

viennent en métrés par seconde, 1 une a — = i -1 — , 1 autre

' 36 oo 9

a O.DOO ( J.

5. On conçoit que, pour définir le inouvement uniforme d’un point sur une ligne donnée, ce n’est pas assez de faire connaître l’intensité de sa vitesse; mais il faut encore en exprimer le sens. Or il suffit d’avoir compris l’usage des signes algébriques dans l’expression de la position d’un point sur une ligne donnée {Géom. anal.., 3), pour étendre leur emploi à la détermination du sens de la vitesse, comme nous allons le faire en résolvant la question suivante.

Problème. Connaissant 1 ° la position^\„ qu’occupe à un certaininstant un point mobile sur une ligne déterminée Os (fig. i);

(’) Dans la navigation maritime runité de vitesse est le noeud. Le nombre de nœuds que file un vaisseau en mer est égal au nombre de milles géographiques qu’il parcourt en une heure. Le mille géographique est le tiers d’une lieue marine, ou un soixantième de degré terrestre : sa longueur est donc à peu près de mètres, .\insi, un nœud répond à une vitesse de i85a"' par heure, ou de o'”,5i4'l'ar seconde.

SKCT. I. CUAP. I. § I.

a° La vitesse de ce point animé d'un mouvement uniforme ; 3° Ij 6 sens de ce mouvement , soit de M„ vers s, soit à l'opposé ; il s'agit (T exprimer la position M du mobile après un certain temps écoulé depuis l'instant ou il se trouvait en M„. Pour le faire de la manière la plus générale, on nommera t le temps écoulé à partir de l'instant où le mobile était en M„ (*), instant qui est dit initial parce que c’est à lui que commence le temps désigné par t dans les calculs ;

(*) la distance du point M„ à un point O, appelé origine des distances, et supposé connu sur la ligne Oa ; cette distance a, doit être comprise algébriquement, c’est-à-dire que c’est une longueur affectée d'un signe qui sera -t- ou — , selon qu’elle sera portée à partir de O dans le sens adopté pour positif, ou dans le sens contraire ; le point M„ que détermine la quantité a„ s’appelle position initiale du point mobile, et par là il ne faut pas entendre que le mobile est parti de cette position , mais il faut entendre qu’il l’occupait au commencement du temps t;

y la vitesse du mobile, quantité constante, mais positive ou négative selon que le mobile marche dans le sens positif on en sens contraire;

A la distance du mobile à l’origine O après le temps ï, distance dont le signe fera connaître le sens dans lequel elle devra être portée.

Il est facile de voir qu’on aura

A = A„-hVr. [i]

Cette équation , dont on vérifiera aisément l’exactitude pour toutes les hypothèses possibles relatives aux valeurs et aux signes des quantités qui y entrent, s’appelle \'équation du mouvement du mobile considéré dans l’énoncé. C’est donc l'équation générale du mouvement uniforme d'un point, c’està-dire qu’elle s’applique à un cas quelconque, pourvu qu’on donne aux constantes a„ et V les valeurs qui conviennent à ce cas.

6. Phoblème. Connaissant les positions du mobile a deux instants donnés , et sachant d'ailleurs que son mouvement sur

(*) Prononcez 31 indice zéro, S indice zéro.

MUUVKAIEHT UNIFORME d’uN POINT. 9

une ligne connue est uniforme, trouver l'équation de ce mouvement.

L'équation cherchée est encore de la forme j = + Vï [i] ;

mais les quantités constantes et V ne sont pas données immédiatement par l’énoncé de la question ; il s’agit de les calculer. A cet effet , on prendra à volonté l’origine des distances et celle du temps.

et s, étant les distances à l’origine O, des deux positions connues,

t, ett, étant les temps écoulés depuis l’instant initial jusqu’aux instants qui correspondent à ces deux positions,

l’équation générale [i] ci-dessus doit être satisfaite quand on y substitue pour j et /, les valeurs simultanées s, et t, , puis J, et f, ; on a donc deux équations pour calculer les inconnues et V, savoir :

d’où

J, = -t- Yt,

et l’équation du mouvement, c’est-à-dire celle qui donne la position du mobile à chaque instant , est obtenue en substituant ces expressions de V et de dans l’équation générale [i]. On a ainsi

Ce même mouvement serait également exprimé par l'équation

obtenue en éliminant d’abord s„ par soustraction entre les deux équations j = j , ==#„ -f- V/, , ce qui donne

puis en écrivant que cette dernière équation est satisfaite par les valeurs simultanées s, et t,, d’où l’on conclut

qu'on substitue dans l’equation precedente. Mais dans la formule à laquelle on parvient ainsi, la distance initiale n'est plus en évidence (*).

§ 2 . Du mouvement varié d’un point.

7. Lorsque le mouvement d’un point n’est pas uniforme , il est dit varié. 11 est périodiquement uniforme^ si certains espaces successifs égaux sont parcourus dans des temps égaux, sans que la même condition soit remplie par les parties de ces espaces. Exemples : l’aiguille d’une montre à secondes , la marche d’un animal, le mouvement d’un point à la circonférence d’une roue hydraulique dont les aubes reçoivent périodiquement le choc de l'eau motrice.

8. Le mouvement varié d’un point , sur la ligne droite ou courbe qu’il parcourt , est déterminé dès qu’on a pour chaque instant la relation entre la distance s du mobile à un point fixe de cette ligne , et le temps t écoulé à partir d’un instant initial. Cette relation peut en certains cas s’exprimer analytiquement par une équation qui s’appelle l’équation du mouvement du point considéré.

Quand on raisonne en général sur une telle équation , on l’exprime quelquefois par la notation

la lettre F désignant une fonction quelconque.

9. Il importe de bien comprendre ce qu’on entend par la vitesse d’un point à un instant déterminé dans le mouvement varié.

Soit M la position de ce point à un certain instant, et soit MN l’espace qu’if parcourt ensuite pendant un certain temps 0 qu’on peut prendre assez petit pour que pendant tout ce temps le mobile s’éloigne constamment de la position M. Si l’on divise la longueur MN par l’expression numérique de 6,

(*) On remarquera l’analogie de celle qucslion et de celle où l’on demande l’cqiialion d’iinc droilc passant par deux poinls donnés. ^ Géom. anal. , 92. )

MOUVEMENT VARIÉ d’uN POINT.

le quotient — peut être appelé la vitesse moyenne, avec laquelle l’espace MN est décrit.

Or, si dans ce calcul on fait décroitre indéfiniment 6, et, par • conséquent, l’espace MN partant toujours du point M, le quotient finira par tendre vers une limite déterminée. Cette

limite est ïintensilc de la vitesse du point mobile à l’instant où il occupe la position M- et cette intensité, affectée du signe qui convient au sens du mouvement, donne l’expression algébrique de la vitesse. C’est ce qu’on exprime d’une manière abrégée, en disant que la vitesse d'un point en une position déterminée est le quotient de t espace infiniment petit , positif ou négatif, qu’il décrit a partir de cette position, divisé par l’expression numérique du temps infiniment petit employé a le décrire.

D’après cette définition, et d’après les notions élémentaires du calcul différentiel [Géom. anal.. 220 ), si l’équation du mouvement (8) est s — T{t), et si l’on appelle v la vitesse à la fin du temps t, on a

quantité positive ou négative, selon que le point marche à cet instant dans le sens positif des s, ou en sens contraire.

Rapprochons cette définition de celle qui a été donnée (3) pour la vitesse dans le mouvement uniforme. Quel que soit alors l’espace parcouru qu’on divise par la durée du parcours, le quotient est toujours le même; et, par conséquent, en appliquant à la vitesse, dans ce cas, la définition générale qui vient d’être donnée, on la trouvera égale à l’espace décrit dans chaque seconde. Mais, dans le mouvement varié, il faut bien voir que la vitesse n’est plus un espace réellement parcouru dans l’unité de temps. On peut la considérer comme l’espace qui serait décrit dans une seconde, si le mouvement qui a lieu pendant le temps infiniment petit, suivant ou précédant l’instant considéré, était prolongé uniformément pendant une seconde.

12 SüCT. 1. CHàP. I. § 2.

10. Une autre quantité importante en mécanique naît de la considération des valeurs successives d’une vitesse variable. Si V est la vitesse après le temps t, et î; + \v la vitesse après * le temps ï + Af, compté à partir du même instant initiai, il en résulte que Aw, quantité positive ou négative, est l'accroissement algébrique que la vitesse a acquis pendant le temps Ar.

Le quotient ^ est l'accroissement moyen de la vitesse , par

unité de temps, pendant le temps At.

A mesure qu’on fait diminuer Af, ce quotient approche autant qu’on veut d’une limite qui s’appelle Y accélération

par unité de temps, ou simplement Y accélération (*) à l’instant

considéré, c’est-à-dire à la fin du temps t.

. . . tlv Av .

Lette quantité ^ peut , comme , être positive ou ne-

(*) Quelques personnes disent accélération de vitesse : cette locution semble être un pléonasme , car le mot accélération , dans le sens vulgaire, signifie augmentation de vitesse. Dans le sens mathématique que nous adoptons l’accélération est une variation de vitesse comparée au temps, et cette variation est positive ou négative.

La quantité ^ qui depuis quelques années a reçu le nom d’accélération , est appelée dans les traités de mécanique analytique force accélératrice. Ce terme a pourles commençants l’inconvénient de donner à un effet un nom qui convient à une cause ; nous croyons qu’il importe de n’en point faire usage dans l’enseignement.

.Si l’on suppose que l’équation du mouvement d’un point sur une

* • • ds

ligne droite ou courbe , soit f = F(t), on aura la vitesse v — —e\.

dv

l’accélération == — • Cette dernière notation de la dérivée du at at

second ordre de s par rapport à t se remplace ordinairement par

celle-ci , — , qui ne signifie pas autre chose : nous ne nous en servirons pas dans cet ouvrage.

MOUVEMENT VARIÉ d’uN POINT. 13

gative : elle est positive, si, pour un accroissement du temps aussi petit qu’on veut , la vitesse actuellement positive ou négative devient algébriquement plus grande, c’est-à-dire, s’approche de l’infini positif et s’éloigne de l’infini négatif ; l’accélération est négative, si, au contraire, la vitesse devient algébriquement plus petite. Il est aisé de voir que lorsque la vitesse et l’accélération sont de même signe, le mouvement est accéléré dans le sens vulgaire de ce mot , et que , dans les cas contraires, il est retardé.

■Ces considérations générales vont être éclaircies par des exemples.

il. Exemple. Mouvement uniformément varié. Le mouvement d’un corps sphérique homogène abandonné à l’action de la pesanteur, et roulant sur un plan incliné, appartient au genre le plus simple de mouvement varié; l’expérience constate que si l’on compte l’espace parcouru et le temps écoulé à partir du point et de l’instant où le corps, d’abord en repos, est abandonné simplement à l’action de la pesanteur, l’espace variable, décrit par le centre de la sphère parallèlement au plan, est proportionnel au carré du temps. Ce mouvement peut donc être exprimé par la formule

e = bf'.

Si l'espace est mesuré à partir d’un point O quelconque de la droite sur laquelle se meut le centre de la sphère, et si l’on commence à compter le temps à un instant différent de celui du départ, l’expression de la distance du point mobile à l'origine O, après le temps I, est de la forme

qui convient encore, moyennant des signes convenables donnés aux constantes s^^a, è, au cas où le corps, avant d’être abandonné à lui-même, reçoit d’un moteur quelconque un mouvement, soit ascendant, soit descendant, suivant la ligne déplus grande pente du plan incliné.

Il n’est pas question d’expliquer ici pourquoi l’équation cidessus a lieu ; mais , en la regardant comme l’expression d’un

SECT. I. CHAP. I. § a.

fait expérimental (*), il s’agit défaire comprendre, à l’aide de cet exemple, ce qu’on entend par la vitesse dans le mouvement varié ; et nous le ferons d’abord sans recourir au calcul différentiel.

Si l’on considère une valeur déterminée de t , on aura , par la formule j at -f- la valeur correspondante de s, qui

fait connaître la position du mobile à la fin de ce temps. Soit 6 un petit temps écoulé à la suite du temps r, et soit la distance du mobile à l’origine des à la fin de cet accroissement du temps. On aura pour déterminer j, l’équation :

s, =: -H rt (r + 6) -I- i (t + 6)’ ;

la différence j, — s sera l’espace décrit pendant le temps 9; son signe indiquera le sens du mouvement, et, en divisant cet espace par 6 , on aura la vitesse moyenne pendant ce temps. Ainsi

— = vitesse moyenne =:«-+- ai? i9.

A mesure que 9 diminue , cette quantité s’approche indéfiniment de a-\-ibt^ qui est par conséquent ( 9 ) la vitesse cherchée. C’est ce qui s’écrit ainsi :

v = a-\- %bt.

On serait parvenu immédiatement à ce résultat par la formule •w= ^ appliquée à l’expression [ 4 ] de s en fonction du

temps, suivant les règles les plus simples du ealcul différentiel.

12. Quant à l’accroissement moyen de la vitesse, par unité de temps, pendant un temps Ar (lo), on le trouvera au moyen de deux équations,

ai = a + lit et v + = a 2 b{t At),

. Av ,

don \7—

(*) On le reconnaît en constatant que les distances ^ du mobile à un point fixe O, après des temps en progression arithmétique, forment une série dont les différences secondes sont égales , d’où il suit que s est une fonction du second degré de t. (Céom. anal., 1 29.)

MOUVEMENT VARIÉ ü’üN POINT. 15

Cette quantité est constante ; par conséquent l’accélération

est aussi constante dans ce cas, et égale à ai.

13. On conclut, de ce qui précède, i" que dans le mouvement exprimé par l’équation j «r -f- i/’ la vitesse varie

à chaque instant;

a” Que sa valeur, quand le temps t commence, est a , quantité positive ou négative, qu’on appelle vitesse initiale et que nous désignerons souvent par ;

3° Que la vitesse s’accroît par unité de temps de la quantité ai positive ou négative, mais constante, qui s’appelle accélération constante, et qui sera souvent désignée dans ce Cours par la lettre j.

1 4. La propriété d’accélération constante a fait nommer le mouvement dont il s’agit mouvement uniformément varié. Le mouvement uniformément varié est donc caractérisé par les trois équations

s = s„ + vJ +

v = v„-\- jt,

dans lesquelles chaque lettre a une signification dont 'il importe de se bien pénétrer, en se rappelant que s„, et j sont des constantes positives ou négatives.

Les lecteurs feront bien de répéter sur la première de ces équations le calcul du ii° 11, en donnant à s^, v„ et y des valeurs numériques, tantôt positives , tantôt négatives , et en se rendant compte graphiquement du mouvement.

15. Remarques. i° Des trois équations ci-dessus, les deux dernières ont été déduites de la première. Réciproquement, on peut de la dernière conclure les deux autres , sauf les valeurs des constantes v„et s„ qui restent arbitraires. En effet, en intégrant les deux membres de l’équation dv =. jdt, à partir de r = O, on a

■V — v„ =jt-,

puis mettant pour v sa valeur ^ dans cette dernière équation

16 SF.CT. I. CHAP. I. § a.

qui devient

ds zzz v^dt jtdt, et en intégrant , on obtient

J — =vj + - /t*.

2° L’équation v = v„ + jt donne pour une certaine valeur de t, une valeur nulle à la vitesse v. Il faut bien remarquer qu’««c vitesse nulle n'est pas toujours la même chose que le repos. Un point est en repos lorsque, pendant un certain temps fini, il occupe constamment la même position. Un point en mouvement a une vitesse nulle à un instant déter-

miné, lorsque la vitesse moyenne

succède à cet instant , devient aussi petite qu’on veut à mesure qu’on fait décroître 6 (*).