Exemple. Mouvement non uniformément varié
Soient AB, CD, EF, GH {Jig. 2) les positions successives d une droite verticale mobile dont l'extrémité supérieure se meut d'un mouvement uniforme sur le cercle ACEG. L'intersection de cette droite avec une horizontale Ox se transporte donc alternativement de O c/t N et de N en O. On demande les équations du mouvement de ce point d'intersection (**). Soient
(*) Exercices. — Théorèmes à démontrer.
1 ° Dans le mouvement unifoiraéraent varié, la vitesse moyenne pendant un certain temps ( telle qu’elle est définie au n“ 9 ) , est la moyenne arithmétique des vitesses aux deux instants extrêmes de ce temps.
2 ° Dans le meme mouvement, la vitesse h un instant quelconque est la vitesse moyenne du mobile pendant un temps dont le milieu est l'instant considère.
3° Ces propriétés n’auraient pas lieu pour un autre mouvement varié, tel que celui qui serait caractérisé par l’équation s = ats.
(**) Ce mouvement est à peu près celui du piston d’une machine à vapeur, lié par une bielle à une manivelle tournant uniformément , lorsque la bielle est assez longue, comparativement au bras de la manivelle, pour ne former jamais qu’un petit angle .avec l’axe du cylindre à va|)cnr.
MOUVEMENT VARIÉ ü’uN POINT.
V ia vitesse constante sur le cercle ; r le rayon O' A de ce cercle ;
CD une position quelconque de la verticale mobile, coupant en M l’horizontale Ox;
t le temps écoulé pendant que la verticale passe de AB en CD;
X la distance OM ;
V la vitesse de l’intersection mobile M sur Ox.
On a d’abord OM=AO' — LO' ou x=.r — rcosAO'C;
angle AO'C = ^ j d’où x — r — cos — \
La vitesse w ou ^ s’obtient en difTérentiant cette fonction : at
on trouve {Gcom. anal., 2 3 5)
w = V sin — ou V = Y sin AO'C.
La vitesse v est donc nulle quand la verticale mobile est en AO, ou en GH. Son maximum est V, et a lieu quand la verticale passe par O'. Elle devient négative quand l’extrémité supérieure de la droite mobile se trouve au-dessous du diamètre AG.
L’accélération déduite de l’expression ci-dessus de v, est
dv
~dt
ou -7- = — COS AO C.
dt r
Cette quantité varie donc, en valeur absolue, entre — et zéro. En rapprochant les deux formules qui donnent la vitesse v et l’accélération et en assignant à l’angle AO'C diverses valeurs successives, on se rendra compte de toutes les circonstances du mouvement du point M. Le tableau suivant présente un abrégé de cette discussion»
