MOUVEMENT DE DEUX CORPS LIÉS ENTRE EUX

directement opposée à la première, et par conséquent attractive ou répulsive comme elle. On demande la loi du mouvement relatif des deux corps considérés comme deux points matériels, et celle de leurs mouvements absolus.

Nous traiterons d'abord ces questions en général ; nous prendrons ensuite pour exemple deux sphères unies par un fil parfaitement élastique.

Désignons par L la distance ù laquelle l’action mutuelle des deux corps a une valeur supposée connue. Si cette distance des deux corps devient h -i- x, leur action mutuelle est une fonction de x : représentons-la par ^\x \ .

Soient au même instant v et v les vitesses des deux corps ; V —V est leur vitesse relative ; désignons-la par u. Ainsi

Cette vitesse relative dépend simplement de la variation de la distance L -f- x par rapport au temps :

on a “ = [43]

En considérant séparément le mouvement de chaque corps , et supposant la force ^\x\ attractive, on a les accélérations

dv

dt m

dv' — ^1^1

dt m

Les quatre relations [ 42 ], [43], [44], [45], entre les cinq variables v, v , m, x, t, constituent la mise en équations du problème proposé.

195 . De l’équation [ 42 ] on conclut en y substituant les valeurs [44] et [45], on a

dt \m m J

Puis , en éliminant dt de cette équation combinée avec l’équation [43], on obtient

udu — — -f- \ ■ dx-^

l 18 SECT. II. CHAP. I. § 9 .

d’où, en intégrant et en appelant la vitesse relative à Tins-, tant où X est

!(«> - ,0 = - + i) • dx. [46]

Supposons que cette intégrale puisse être obtenue sous une forme générale , on tirerait alors de l’équation [ 46 ] « en fonction de x : soit

n — §, ja:

On en conclurait, à cause de [43], (ix

dt =

dx x| '

Ces équations [ 47 ] et [48] renferment la loi denwndée du mouvement relatif des deux corps.

196. Pour déterminer le mouvement absolu de chaque corps, il faudrait, dans les équations [44] et [45], substituer la valeur ci-dessus de dt en x el dx : on aurait

dv =.

dx [ 49 ]

et

dv =

La détermination de et v en fonction de x serait donc réduite à une question de quadrature 5 et en combinant avec l’équation [ 48 ] les résultats obtenus, on pourrait calculer tant de valeurs simultanées qu’on voudrait de ^>, de v et de t.

197. Supposons, par exemple, que la force attractive ^\x\ étant exercée par un ressort consistant en un fd élastique d’une longueur primitive L, dont on néglige la masse, soit proportionnelle à l’accroissement x de cette longueur, et

» 'fl KA

qu’on ait, comme au 11 ° 176 , îfjarj =z x.

L’équation [ 46 ] deviendra alors

équation qui exprime la loi suivant laquelle la vitesse relative U diminue à mesure que la distance L. + x augmente.