MOUVEMENT DE DEUX CORPS LIÉS ENTRE EUX. H

Le maximum de l’allongement du fil répondra à m = o, c’est-à-dire , à l’instant où les deux corps auront la même vitesse absolue. Soit X cet allongement ; on aura

et la tension du fil , qui est en général — j — , deviendra

Si cette quantité excède l’effort au delà duquel les allongenients cessent d’être proportionnels aux tensions , il y aura danger de rupture, et le fil se rompra certainement, si cette même quantité excède le poids qu’il peut supporter sans se rompre.

La rupture pourra avoir lieu bien avant que la vitesse relative ne soit nulle, ou que la vitesse v de la masse m ne soit devenue égale à la vitesse v de la masse m . Pour le reconnaître, il suffit de mettre dans l’expression de la tension 1 r valeur de x tirée de l’équation [5i]; on a

quantité qui peut être grande, même lorsque « diffère peu de « 0 , si la roideur ~ est considérable.

Cette théorie fait comprendre par analogie comment une balle de fusil fait un trou dans une planche ou dans un carreau de vitre, en n’imprimant qu’une vitesse très -petite à la partie qui reste intacte. Cette vitesse, quoique presque insensible, a été acquise dans un temps si court, qu’elle a exigé, entre la partie enlevée et l'autre, une force égale à celle sous laquelle le bois ou le verre se rompt.

Le calcul du temps pendant lequel le fil passe de la Ion-

gueur L à la longueur L -f- x se fait en substituant -j- à u

120 SECT. II. CUAP. 1. § 9.

dans l’équation [5i], et tirant dt^ qui se présentant sous la dx

forme — ■. est facile à intégrer ( Géom. anal. ,

296, ou Méthode géométrique du n° 178 ).

198. Quelle que soit la relation exprimée par ^\x\ entre l’action mutuelle des deux corps et leur distance, pourvu que cette relation soit connue, on pourra résoudre approximativement les questions précédentes.

On construira une courbe qui , ayant les diverses valeurs de X pour abscisses, aura pour ordonnées celles de la force ; le calcul des aires de cette courbe donnera les valeurs

successives de / j x { . , d’où l’on conclura , d’après

J Xa

l’équation [46]» les valeurs correspondantes de u.

Pans le cas où l’action serait exercée par un fil

extensible, on verra si la vitesse relative m peut devenir nulle sans supposer à x une valeur plus grande que l’allongement qui précède la rupture , sinon le fil se rompra.

Ayant les valeurs de « , on calculera celles de - ou j-7 — : ;

on construira une courbe ayant pour ordonnées ces valeurs, et en calculant ses aires, on aura, suivant l'équation [4^] » les valeurs de t correspondantes à celles de x. La même méthode appliquée aux équations [49] et [5o] complétera la solution du problème.

199. On trouvera dans \' Introduction a la Mécanique industrielle de M. Poncelet, page 345, les données nécessaires pour faire des applications de la théorie précédente.

Voici, par exemple, les allongements subis par le fil de fer sous diverses charges.