COMPOSITION DES FORCES CONCOURANTES
203. De là et d’une proposition connue .sur la projection d'un
contour polygonal {Géom. anal., aa), il résulte que si l’on représente par R,, F^, Fj' les projections de la résultante R
et de ses composantes F', F",. . . . sur un axe Oar, quel que soit le plan coordonné , on a
r,=f,-4-f;'-4- -hF;->,
ou, ce qui signifie, en abrégé, la même chose ,
c’est-à-dire que la projection sur un axe quelconque de la résultante de plusieurs forces concourantes est égale à la somme des projections des composantes sur le même axe.
204. Connaissant les intensités des forces F, F",. . . . F^"’, et leurs angles avec trois axes rectangulaires, on aura l’intensité et la direction de la résultante par les formules
R cos(R,a:) = 2F cos(F,a:) \
R cos(R^J') = 2F cos(F,y) /
R cos(R,z) = 2F cos(F,z) |[54]
R=l/ (2F cos(F,a;))* (^F cos(F,y))' ■+■ (2F cos(F,z))* |
dont la dernière se tire des trois autres élevées au quarré.
Dans ces équations R est essentiellement positive comme les forces F.
En prenant l’axe des x suivant R, ce qui est permis, puisque le système des trois axes rectangulaires est arbitraire , on a
R = 2 F cos(F,R) , j 2Fcos(F^) = o, [55]
2F cos (F,z) = o ; )
c’est-à-dire que V intensité de la résultante de plusieurs forces concourantes est égale à la somme algébrique des projections des composantes sur la direction de la résultante , et la somme algébrique des projections des mêmes composantes sur un axe perpendiculaire a la résultante est nulle.
205. La résultante de trois forces non situées dans un même plan est la diagonale du parallélipipède construit sur les trois
126 SKCT. II. CIIAP. II. § 1 .
composantes. De là se déduit la décomposition d'une force en trois autres de directions données.
20G. Si les trois forces F', F', F"', sont perpendiculaires entre elles, on a, comme cas particulier des formules [54],
F = R cos (U, F'), F' = R cos (R, F"), F" = R cos (R, F"),
d’où se tirent R et ses trois angles avec les composantes.
207. Si R est la résultante de deux forces F', F", le triangle ABM {fig- 20 ), dont les côtés sont proportionnels et parallèles aux trois forces et de même sens, donne ÿGéom. anal., 6^), en remarquant que l’angle ABM est supplément de l’angle des forces F', F", que, par conséquent, ces deux angles ont le même sinus, tandis que leurs cosinus, égaux en valeurs absolues, sont de signes contraires ,
R' = F" + F"> -I- aFF" cos (F, F") ;
F' V" R sin(F',R) sin(F',R) sin(F',F")
Si les deux composantes sont égales, en désignant leur intensité par F et leur angle par « , on a , d’après la première
des formules [55] , R aF cos ^ a.
En général, on peut se proposer sur les trois forces F, F", R, et sur leurs angles, toutes les questions de la trigonométrie. On les résout, soit graphiquement, soit par le calcul.
§ a. Mouvement d'un point sous l’injluerwe d’une ou de plusieurs forces quelconques. — Projection de ce mouvement sur un axe.
208. Si des forces divergentes agissent sur un point matériel partant du repos, et l’accompagnent pendant son mouvement en conservant leurs intensités et restant parallèles à leurs premières directions, on vient de voir que le mouvement de ce point est rectiligne et facile à déterminer en substituant la résultante aux composantes.
Mais si le mobile possède une vitesse précédemment acquise
MOUVEMENT CUUVIUGNE. 127
dont lu direction ne soit pas sur lu même droite que celle de lu résultunte, le mouvement qui a lieu est curviligne, et sa détermination repose, comme nous allons le montrer, sur le principe expérimental énoncé au n" ida, et t[ui a déjà servi (i33) à établir que, dans le mouvement rectiligne, sous l’action de forces dirigées suivant la même droite que lu vitesse, l’accélération est indépendante de la vitesse acquise, et reste constante si la somme algébrique de ces forces ne varie pas.
On considérera d’abord ici le cas où les forces sont constantes d’intensité et de direction, c’est-à-dire qu’elles se transportent parallèlement à elles-mêmes avec le point matériel auquel elles s’appliquent ; telle est, par exemple, l’action de la pesanteur sur un corps lancé avec une vitesse oblique à l’horizon.
Soient 21 ) :
R la résultante des forces actuellement agissantes,
A la position initiale du mobile,
AX la direction de la vitesse initiale z>„, produite par l’action antérieure de forces quelconques ,
AY la direction de la résultante actuelle R ,
AB = X le chemin que parcourrait le mobile dans le temps t si la vitesse z>„ existait seule, sans la force R, de sorte qu’on a
AC=Y le chemin qu’il parcourrait dans le même temps <, en vertu de la force R, si la vitesse initiale n’existait pas,
d’où résulte (i54) Y z=z - — f*.
Si l’on imagine une enveloppe mobile douée de la vitesse v„, la droite AC, considérée comme une suite de points géométriques liés à cette enveloppe, se trouvera au bout du temps t transportée en BM, droite parallèle et égale à AC. Or pendant ce temps le point matériel dont il s'agit devra, en vertu de son mouvement relatif, passer successivement par ces mêmes points géométriques; donc il se trouvera finalement en M. On en conclut :
1 ° Que le point M ne sort pas du plan déterminé par les directions initiales de la vitesse et de la force ;
SECT. II. CHAP. II. § a.
2 ° Que ses coordonnées, par rapport à ces directions AX, AY, étant désignées par X et Y, après un temps t quelconque sont exprimées par les équations
d’où, en éliminant t, on trouve
^mv
pour l'équation de la courbe parcourue par le mobile rapportée aux axes AX, AY. C’est une parabole tangente à la direction AX de la vitesse initiale, et ayant son axe principal parallèle à la direction AY de la force constante R {Géom. anal., 124 ). Il est facile de la construire par points.
On voit qu’il faut se garder de croire que le mobile décrit la diagonale du parallélogramme ABMC, comme si la vitesse était une force constante, agissant en môme temps que celles dont la résultante est R. On ne doit pas non plus dire que le mouvement du point matériel de A en M est dù à une résultante de la force actuelle R, et de la force antérieure qui a produit la vitesse \ car on ne peut combiner ou composer plusieurs forces pour en conclure une résultante, que dans le cas où ces forces agissent simultanément.
209. Les axes AX, AY nous ont été naturellement fournis, l’un par la direction de la vitesse initiale, l’autre parla direction de la résultante. Mais il est souvent utile de considérer le mouvement d'un point rapporté à des axes coordonnés quelconques.
Imaginons donc un axe Ox situé d’une manière quelconque dans l’espace, et supposons que, pendant que le point parcourt la courbe AM , on projette sur cet axe Ox les positions successives du mobile par des droites parallèles à un plan quelconque yOz. Cela posé, cherchons la loi du mouvement de la projection mobile qui est en P., à l’instant initial, et en P à la fin du temps t.
Appelons
X l’abscisse variable OP,
MOUVEMENT CURVIMCNE PROJETÉ. 129
sa valeur initiale OP,,
la projection de la vitesse initiale v, sur l’axe des x,
R, la projection de la force R sur ce même axe.
En remarquant, i° que P,P est la somme algébrique des pro* jections de AB et de BM ou AG ;
Que AB étant vJ, sa projection peut s’obtenir en multipliant la projection de v, ou par le nombre t;
3” Que AC étant ~ projection s’obtient en muiti-
pliant la projection de R ou R., p.Tr - —, attendu que AG
et R ayant la même direction, on peut poser la proportion projection de AC : AC : : projection de R : R ;
4° Que R, est égale à 2 »
on a X — x„ + H ’ t' ,
ou X = Vj + ,
équations dans lesquelles les quantités x, x, , R,, F,,
doivent être prises algébriquement , c’est-à-dire avec leurs signes.
En comparant cette équation à la dernière du n° i53 , avec laquelle elle a une analogie évidente, on arrive à cette proposition très-remarquable :
Théorème. Si un point matériel se meut dans Vespace en vertu (F une vitesse initiale v„ et tous l action de Jorces F constantes, et si on le projette a chaque instant sur un axe quelconque, sa projection s'y mouvra comme un corps qui, ayant même masse que le mobile dont il s'agit, aurait pour vitesse initiale la projection de la vitesse initiale v„ , et pour force agissante la somme algébrique des projections des forces Y ou la projection de leur résultante.
210. 11 est aisé et il importe beaucoup de reconnaître que ce théorème subsiste quand les forces sont variables, soit en intensité, soit en direction. Il suffit pour cela de concevoir le temps partagé en intervalles infiniment petits, pendant chacun desquels toutes les forces peuvent être considérées commi*
SECT. II. CHAP. II. § a.
constantes; la courbe décrite est alors assimilée à une suite d’arcs de parabole, très>petits et tangents deux à deux, mais pouvant être dans des plans difTérents ; et, pendant que chaque petit arc est parcouru, la projection du mobile sur nu axe se meut suivant la loi qui vient d'étre énoncée.
311. D’après le théorème du n* aop ainsi étendu, on peut appliquer au mouvement curvibgne les théorèmes établis pour le mouvement rectiligne, en substituant aux vitesses et v, et aux forces agissantes F leurs projections sur un axe quelconque.
Ainsi, 1° la formule fondamentale de l’accélération (t54 donne
= Sf ou mdv, = OH md • ^ = 2 >
dt m XX" ^ ^ 1
ce qui démontre ce Théorème : L'accélération du moiwement de la projection sur un axe est égale à la somme algébrique des projections des forces sur cet axe , divisée par la masse du mobile.
2° La formule de la quantité de mouvement ou de l’effet de l’impulsion donne (1^9 et 160)
3’ Et celle dé l’effet du travail (166 et 167) donne
ou
213. La deuxième des équations [57] se traduit comme il suit en un théorème dont celui du n’ 160 n’est qu’un cas particulier :
Théorème. Si un point matériel se meut d’une manière quelconque dans l'espace^ Caccrvissement de sa quantité de mouvement projetée sur un axe quelconque est égal h In somme al-
F.FFKT DFS FOHCMS SUR tV vItESSB DANS LE MOUV. CURV.13I
gébrique det impulsion» des forces projetées sur le même axe et calculées pour le même temps.
Les équations [58] pourraient se traduire d'une manière analogue en langage ordinaire.
§ 3. Mouvement (Tun point considéré indépendamment de la courbure de la ligne qu'il décrit. Effet du travail des forces quelconques. Effet de la force tangentielle.
213. Supposons d’abord qu’une courbe soit décrite par un point matériel sous l’influence d’une résultante R dont la direction soit constante, c’est-à-dire que celte force se transporte parallèlement à elle-même avec son point d’application , son intensité étant d’ailleurs quelconque, constante ou variable.
Prenons l’axe des x de même direction que R, et appliquons à ce cas l’équation [58] du n" an, nous aurons
Pour deux autres axes rectangulaires entre eux et avec l'axe des a:, la même formule donne, attendu que les projections R,, et R, sont nulles dans ce cas ,
- mv' — - mv' O ,
' - m7>* — - WW.Î = <) .
En ajoutant ces trois équations, en remarquant qu’on a (3o) ■U,’ -J- vj -h v,’ = t;’ , et + vj , = ■»„*,
et en remplaçant dx par ds cos {ds^ x) ou <fîcos(R, ds'), on obtient
* mv' — ^ mv' = J' Kds cos (R,«fj),
équation qui, d’après la définition du n° 74 * signifie que l’accroissement de la puissance vive du point matériel pendant un certain temps est égal au travail total de la résultante des forces qui le sollicitent pendant le même temps.
214. Cette proposition vient d'étre établie en supposant que la direction de la force R soit constante. Dans le cas où cette direction serait variable, on pourrait la considérer comme constante pendant des petits temps ô, , d,. . . pour chacun desquels on aurait une équation pareille à la dernière du numéro précédent. Ainsi en désignant les travaux successifs de R par 6, R , 6,R, ... on a
pour le temps 6 ^ mv^ — ^ mv^ ■=. E,R ,
pour le temps 0, — ^/nv,’ = 6,R ,
pour le dernier temps 0, . . . . ^ mv' — ^ mv^,‘ =r G„R ;
d’où, en ajoutant et remarquant que la somme des seconds membres est le travail total de la résultante variable R, on conclut
- mv' — - niv' — 6R a a
ou i mv' — i mv^‘ = ds cos(R,«is),
équation dont l’énoncé est le même qu’au numéro précédent, mais sans aucune hypothèse sur la direction des forces.
215. Si F', F", F'"... sont toutes les force.s quelconques qui agissent sur le point matériel , on a , d’après la propriété générale de la résultante (aoa), et par analogie avec les formules du n° ao4 ,
Rcos(R,<ir)=F'cos(F',^A)-|-F' cos (F", <&)-|-F'''cos(F"»-H...
En multipliant par ds, puis en intégrant, on obtient yRrf5Cüs(R, ds)= f¥'dscos(y,ds)-{- f¥"dscoi{P',ds)-\-...\6o]
C’est-à-dire que le travail de la résultante de plusieurs forces est égal a la somme algébrique des travaux de ces forces.
216. La proposition démontrée aux n°*ai3 et ai4, et dont celle du n° i68 n’est qu’un cas particulier, peut donc s’énoncer ainsi :
KFFJiT DES FOItCES SUll LA VITESSE ÜA^S LE MOlJV. CLRV. 133
Théorème. L’accroissement de la puissance vive d’un point matériel soumis à des jorces quelconques, est égal à la somme algébrique des travaux de toutes ces forces entre les mêmes instants extrêmes.
C’est ce que nous appellerons le théorème de l’effet du travail total des forces qui agissent sur un point matériel.
Sa notation abrégée est
^ mv* — i mv„' = 2 GF . [6i]
