PN : PM : : PM : PT

d'où PN = r.^ ou —‘dx — Ydy\

•' dx u’ J J 1

et en intégrant , on a y' = ^ Xy équation d’une parabole.

On voit aisément que la surface de révolution dont il s’agit a la forme qu’affecte un liquide pesant dans un vase auquel on imprime un mouvement de rotation uniforme autour d’un axe vertical.

243. Problème. Un point matériel pesant M, lié par deux fils MA, MA' (fig. 3a) à deux points fixes A, A', décrit un cercle horizontal dont le rayon est MB ou r, avec une vitesse V ; on demande les tensions des fils MA, MA'.

La force centripète y. ou est la résultante de deux

forces inconnues F, F', et du poids p ou mg, force verticale. Désignons les angles DMA , BM A' par a et a', et nous aurons (ao3)

r. xri / ’nV'

P co s a P co s a = >

mg + F' sin a! — F sin a = o ,

deux équations du premier degré qui renferment la solution du problème. Si dans un cas particulier les données conduisaient à une valeur négative pour l’une des forces F, P'', par exemple, pour la force F, cela signifierait que le fil correspondant pousserait le point M dans le sens A'M, et, par conséquent , devrait être rigide.

On obtiendrait les mêmes équations si l’on disait que les trois forces F, F', p sont en équilibre avec la force centrifuge; ce qui est évident, puisque cette dernière force est égale et opposée à la force centripète résultante de F, F' et p.

244. Mouvement circulaire d’un point pesant dans un plan vertical. Un point matériel M {fig. 33) est assujetti à rester

SECT. II. ClIAP. II. § '].

à une distance constante r du point fixe O au moyeu d’un fil OM ; quand il passe à la position culminante A , il possède une vitesse a ; il est d’ailleurs sollicité par la pesanteur. 11 s’agit de déterminer sa vitesse et la tension Q du fil dans une position quelconque M.

L’équation de l’effet du travail donne (ai6 et 222), en appelant X la distance AB de l’horizontale MB au-dessous de A,

- m-v' — ma' = px ou 2;’ = «’ -f- ^gx ,

attendu que la force Q, effort du fil sur M, dirigée suivant MO perpendiculairement au chemin décrit à chaque instant , ne produit point de travail (77).

Il faut que les composantes orthogonales suivant MO des des deux forces Q et p aient leur somme algébrique égale à

puisque cette somme est la force centripète (a33).

On a donc, en appelant a l’angle MOA,

« mv „ r — X

Q -4- /> cos a = — ou Q + ^

ou , en mettant pour v' sa valeur a* ^gx ,

pv'

d’où

HpX r ^

Cette équation, jointe à v' = a'-i- 2 gx, résout la question proposée.

L’expression de Q fait voir que cette force peut être négative, c’est-à-dire, agir dans le sens OM, au lieu du sens MO que suppose le calcul. Dans ce cas, le fil devrait être rigide.