La formule T = vy - , applicable aux très-petites

oscillations, montre, i° que, pour un même pendule, ou pour deux pendules de même longueur, les oscillations trèspetites sont isochrones, c’est-à-dire, de même durée, indépendamment de ramplitnde ; 2“ que , pour denx pendules différents, les durées des oscillations sont comme les racines quarrées des longueurs ; 3 ° qu’on peut , à l’aide d’un pendule formé d’une petite sphère lourde, suspendue par un fil léger, mesurer approximativement l'accélération g due à la pesan-

. , TC*/ ■K'^n^l , ,

teur, puisqu on a g= = — qT ~ > appelant n le nom-

bre des oscillations qui ont lieu dans un temps 6. Et comme l’observation constate que le nombre ^ d’oscillations par seconde est le même pour tous les pendules de même longueur, quelle que soit la nature du corps qui oscille , il est prouvé par là que l’accélération g est la même, dans un même lieu , pour tous les corps soumis à cette expérience.

Ces résultats théoriques deviendront complètement applicables quand on aura étudié (dans une autre section de ce cours) le mouvement du pendule composé.

251 . La similitude des formules obtenues aux n°* 178, 241 et 248, donne lieu à un rapprochement remarquable.

Nous avons vu (i 85 ) que lorsqu’un point matériel dont la masse est/n , est sollicité par une force fx proportionnelle à sa distance x à un point géométrique de la droite qu’il parcourt , son mouvement est oscillatoire , et la durée d’une oscillation double , c’est-à-dire , le temps qui s’écoule entre deux retours consécutifs du mobile à la même extrémité de sa course ,

est 2ir

Dans le pendule simple, le point se meut sur l’arc de cer-

PF.NÜULE SIMPLE.

de qu'il parcourt, comme il .se mouvrait sur une droite en vertu de la force tangentielle. Cette force, à l’instant où le mobile occupe la position M ^Jig. 34), est égale au poids mg multiplié par le cosinus de l’angle de la verticale avec la tangente en M ; c'est donc mg sin MOG ; et attendu que ce dernier angle est très-petit , on peut très-approximativeinent remplacer son sinus par le rapport de l’arc MC au rayon MO ou l. Si donc nous représentons l’arc MG par a;, la force

tangentielle se trouve exprimée par elle est donc de

la forme fx , en posant ^ =f, d’où y = ^. En substituant cette valeur dans la formule générale y du

n° i85, on trouve la durée d’une oscillation double égale , comme l’a donnée le calcul direct au n° a4S>

a atri

Dans le pendule conique (a4t)> le point matériel décrit un cercle horizontal, sous l’action de deux forces, l’une verticale mg^ poids de ce point ; l’autre , tension du fil , dirigée vers le point d’attache fixe de ce fil. Ces deux forces ont leur résultante x horizontale , dirigée du point matériel mobile vers le centre du cercle qu'il décrit. Cela posé , imaginons que, pendant le mouvement, ce point soit à chaque instant projeté sur un même diamètre ML du cercle {Jig. 36). La projection N se meut(aop) comme un point ayant la masse m, et sollicité par une force égale à la projection dexsurML.

Or, cette projection est exprimée par ^ , en appelant x la

distance BN, et r le rayon BN' ou BM. Le mouvement oscillatoire de la projection N est donc celui qui aurait lieu

en vertu d’une force de la forme fx , en posant f =

— . La durée T d’une oscillation double est donc

Maintenant rappelons-nous que les forces x et mg

sont proportionnelles aux côtés MB , AB du triangle ABM ; nous aurons ainsi

■ ,, , mr h

mg . h : r, d ou — = - >

et par suite

comme on l’a trouvé plus directement au n“ 241.

§ g. Du mouvement dun point matériel pesant sur la cycloide supposée sans frottement.

252 . Les propriétés singulières de ce mouvement ont beaucoup occupé les géomètres du dix-huitième siècle. Nous les exposerons succinctement, à cause de leur célébrité, quoiqu’elles soient sans application pratique.

Soit ABC 37) une cycloide située dans un plan vertical ; la base AC est horizontale ; le sommet B est le point leplusbas. On suppose qu’un point pesant parti de la position H, descende sur la courbe sans frottement, de sorte qu’il soit seulement soumis à l’action de la pesanteur et à la réaction normale de la courbe. On demande la durée de la descente de ce mobile de H en B, durée qui est égale à celle de son ascension de B en H', sur la seconde moitié de la cycloïde, les points H et H' étant sur la même horizontale.

La vitesse du corps, à son passage en un point M de la courbe , sera en appelant y la distance PI du point

M au-dessous de l’horizontale HH' (244)*

Représentons par s l’arc HM de la courbe, et soit ds , représentée par MM', l’arc infiniment petit parcouru pendant le temps dt. On a donc

J = ou [80]

Pour éliminer la variable .r, menons l’horizontale MP et la petite verticale M'L, qui représentera la différentielle dy. Traçons la normale MN et la tangente MT, dont les intersections N, T, avec les horizontales AC , BT, seront aux extrémités du diamètre vertical NT du cercle générateur de

PÏNDULE CYCLOIDAL.

la cycloïde, passant par le point M. L’arc MM' pouvant être considéré comme se confondant avec la tangente MT, les deux triangles semblables MM'L, MTQ, donnent la proportion MM' : LM' : : MT : TQ, ou en représentant TQ par z, et le diamètre TN par ar,

ds : dy : : irz : z , d’où di = 5 [8>]

ce qui étant substitué dans [8o], donne

dy

Cette équation étant semblable à la formule [77] du n° 248 , quand on y fait a = i , et / = 4^, puisque y ^\. z variables avec le temps , ont encore ici leur somme constante et égale à BI , il s’ensuit que l’intégration faite au n° 248 s’applique au cas actuel , et que par conséquent la durée d’une oscillation, c’est-à-dire, du parcours de H en H', sera [79]

comme dans le pendule simple circulaire, avec cette différence que, pour la cycloïde, l'amplitude des oscillations peut embrasser une portion quelconque de la courbe, sans que leur durée change, tandis que la formule [79] suppose les oscillations très - petites. Cette propriété a fait donner à la cycloïde la qualification de courbe tautochrone (de même durée).

Lorsque les oscillations sur la cycloïde sont très-petites , on peut les regarder comme sensiblement circulaires , en remplaçant la courbe ABC par son cercle oscillateur au point B. Or, on sait que le rayon de courbure en ce point est égal au double du diamètre ( 5 i); il faudrait donc, dans la formule [79] du n" 248, faire 1= 4^> ce qui est conforme à ce que nous venons d’obtenir.

253 . La formule [81] conduit à une relation remarquable entre la longueur de l’ai-c BM de la cycloïde et sa projection verticale BP. Soit BM = «’; MM' représente — ds , et M'L

représente — dz. Faisant donc dans [81] ds ■=■ — ds , et dy = — , on a

ds'=^^‘^.dz ou l/âr^.z’rfz; et en intégrant depuis z = o ,

s' =z a 1 / arz ou 1 '* z= 8rz .

Telle est la formule de la rectification de la cycloïde. Si l’on fait on a la longueur de la demi-cycloïde BA = 4^,

double diamètre TN.

254. On a déjà vu ( 248 > Remarque) que la descente d’un point pesant de' A en G {fig. 34), suivant un arc de cercle dont la tangente en G est horizontale, est plus rapide que suivant la corde de cet arc. Mais quelle serait la courbe de la plus vite descente possible ? Telle est la question proposée, en 1696, par Jean Bernoulli. Voici , sauf quelques changements de rédaction , la solution donnée par Jacques Bernoulli, frère aîné de Jean {Jacobi Bernoulii opéra, iy44, tome II, p. 769).

Soient M , M', M" [^fig. 38) trois points de la courbe cherchée, infiniment rapprochés entre eux. Soient y et/' les distances verticales des points M et M' à l’horizontale AG passant par le point de départ, sans vitesse initiale, du mobile.

Le temps de la descente de M en M" sera, suivant la formule [80] , exprimé par