MM' — ML LM" — ■ M'M
Maintenant, menons LP perpendiculaire sur MM', et M'Q perpendiculaire sur M"L. On peut, dans la dernière équation, mettre pour ML sa projection MP, qui n’en diffère que d’une quantité infiniment petite par rapport à LM' (na); par la même raison, on peut substituer à M'M" sa projection M"Q sur LM". Le numérateur du premier membre de l'équation [83] devient ainsi M'P ou LM', cos MM'N , et celui du second membre devient de même LQ ou LM' cos M"M'N". Donc, en supprimant le facteur commun LM', cette équation se réduit à
cos MM'N eos M"M'N" ro
Cette relation conduit aisément à une équation différentielle de la courbe cherchée. Pour cela, les longueurs MM', M'M", étant deux éléments successifs de cette courbe, et les distances NM', M'N", étant leurs projections horizontales , posons
MM' = rf5, M'M"=<^i', NM' = <ir, et M'N"=rfx'; on en conclura
dx
cos MM'N =
ds
et cosM"M'N"
ds
et l’équation [84] se transformera par conséquent en I dx I dx .
\7ÿTs~\PÿdP
d’où il résulte évidemment que, pour un point quelconque de
, , , . . i dx
la courbe, la quantité est une constante.
Or, cette propriété caractérise la cycloïde dont l’origine A
SECT. U. CHAP. II. ^ l).
37 ) est au point de départ du mobile. En effet, pour un élément MM' quelconque, on a (même 3y) la proportion
