CHAPITRE III

DD HODTEMERT d’dN FOIRT HATÉBIEL , BELATIVEHEHT A UN STSTÈME GÉOMÉTRIQUE SOUDE QDI EST Ln-HÉME EN MOUVEMENT.

255. Reportons-nous aux considérations qui ont été précédemment exposées (n°* 34 et suivants) sur le mouvement d’un point matériel relativement à un système géométrique solide, qui est lui-même en mouvement; et imaginons qu’un observateur, entraîné à son insu dans le mouvement de ce système, considère un point qui se meut d'une manière quelconque, en vertu de sa vitesse initiale et de forces qui modifient à chaque instant son mouvement absolu dans l’espace.

Non -seulement cet observateur prendra pour la vitesse réelle du mobile ce qui ne sera que sa vitesse relative (3y) , mais encore il attribuera ce mouvement apparent à des forces en général différentes de celles qui agissent réellement. Si , par exemple, le système géométrique de comparaison tourne uniformément autour d’un a\e fixe, et que le point observé soit immobile dans l’espace, ce point paraîtra décrire un cercle autour de l’axe fixe avec une vitesse uniforme, et, par conséquent, paraîtra sollicité par une résultante centripète constante ( 234 ) , tandis que la résultante des forces qui peuvent agir sur ce point est absolument nulle. Cette remarque conduit aux questions traitées dans les deux paragraphes de ce chapitre.

§ I". Des force .1 apparentes dans le cas où le système géométrique solide de comparaison a un mouvement de translation.

256. Deux propositions préliminaires nous sont nécessaires. 1" Théobèsie. Si plusieurs points matériels, possédant a un

certain instant des vites.ses égales parallèles et de même sens , •sont, à partir de cet instant , sollicités par des forces parallèles

de même senS et d'intensités proportionnelles aux masses des points auxquels elles s'appliquent , le système aura un mouvement de translation ( 44 )- C’est ce qu’il est facile de voir eu se rendant compte de l’effet de chaque force sur le point qu’elle sollicite (208). Par exemple, divers corps qui seraient lancés simultanément dans le vide avec des vitesses initiales égales, parallèles et de même sens , puis abandonnés à l’action de la pesanteur, auraient un mouvement commun de translation.

257 . 2® Théorème. Si, à un instant initial, la -vitesse d’un point matériel est la résultante de deux -vitesses u , -w, et que la force totale qui le sollicite soit la résultante de deux forces F et F", supposées constantes pendant un temps 0 , la corde AM (Gg. 39) du chemin parcouru pendant ce temps par le mobile est la droite résultante des chemins rectilignes u0, ivft,

- —0’, - —0*, dus aux seules vitesses u, -w.et aux seules •À ni % m

forces F', F"^ pourvu qu’oii entende par droite résultante de plusieurs droites composantes, celle qu'on obtient en faisant sur ces dernières les mêmes constructions que s’il s’agissait de la résultante de forces représentées par ces droites.

En effet, soit v la vitesse initiale et absolue, résultante de u et de w, et soit R la force résultante de F et F". La cordé AM sera (208) la diagonale du parallélogramme construit

sur AB égal à iiO et AC égal à - — 0 ’. Or on voit aisément

que AB est la droite résultante de «0 et w 0 (Sj), tandis que

AC est celle de 0 et de 0 (200): d’où résulte le théo-

2 2 wi ' '

rème énoncé, qui s’étend évidemment à autant de vitesses composantes et de forces qu’on voudra.

25 S. Passons maintenant à la question qui fait l’objet de ce paragraphe.

Problème. Trouver la relation entre la résultante des forces réelles qui sollicitent un point matériel, et la force totale apparente qui convient a son mouvement relatif dans le cas où le système des axes géométriques a un mouvement de translation déterminé.

FORCKS APPARENTES. MOUVEMENT DE TRAIfSLATIOW. 167

Dans le cas particulier où le point matériel serait en repos relatif, et par conséquent entraîné clans le mouvement de translation des axes, il faudrait (a56), i“ qu’à un instant considéré comme initial, il possédât une vitesse acquise égale à la vitesse commune de tous les points liés aux axes à cet instant ; a” qu'à partir de cet instant, le point matériel fut réellement sollicité par une force capable d’imprimer à son mouvement acquis l’accélération et la courbure du mouvement commun (aSp). Cette force A' entraînement , constante ou variable suivant l'espèce de mouvement des axes, sera représentée dans ce qui suit par F,.

Cela posé, revenons à la question proposée dans toute sa généralité.

Soit A {fiÿ. 4o) la position du mobile à l’instant considéré; soit V sa vitesse absolue décomposée en ’V, , vitesse d’entraînement du système des axes, et V,, vitesse relative actuelle du mobile (38). Soit F la force totale absolue (ou résultante des forces qui sollicitent réellement le point matériel), décomposée en deux, dont l’une soit la force d’entraînement cidessus définie; l’autre composante, désignée par F.., sera déterminée en intensité et en direction ( 207 b • D’après le théorème du n" 2 D 7 , on aura la position M du mobile après un temps 6 (pendant lequel les forces F, F,, F., sont supposées constantes) en construisant le polygone ABCDM, dont les côtés sont parallèles aux vitesses et aux forces composantes, et égaux aux quantités

Or, pendant ce temps, le point géométrique A, considéré <!omme lié aux axes, sera transporté en C , comme le serait un mobile de masse m en vertu de la vitesse initiale V, et de la force F,; et les axes du système, qu’on peut supposer menés par A à l'instant initial, seront transportés en C sans avoir changé de direction (puisque le mouvement des axes est un mouvement de translation). Donc le mobile paraîtra pour l’observateur emporté avec les axes s’être transporté de l’origine C en M en vertu de la vitèsse initiale 'V, et de la force F,.

t68 SECT. H. CHAH. III. § a.

La force est donc la force totale apparente qu’il fallait déterminer.

259. La force F, relative ou force totale apparente dans le mouvement relatif, peut être considérée comme la résultante de la force totale' existante F et d’une force — F, égale et opposée à la force de l'entraînement F,. Ainsi , dans l’espèce de mouvement que nous supposons pour le système solide de comparaison, l’observateur dont nous avons parlé au n° a55, s’il connaît la résultante F des forces qui agissent réellement, sera obligé de la combiner avec la force — F, pour s’expliquer le mouvement du point considéré.

2G0. Remarques. Si le mouvement des axes de comparaison était rectiligne et uniforme, la force F, serait nulle ; le mouvement relatif ne différerait du mouvement absolu qu’à cause de la vitesse initiale. Si dans ce cas la force F était constante d'intensité et de direction, la parabole réellement décrite dans l’espace serait remplacée par une autre dont l’axe principal resterait parallèle à la force.

Si la force F était nulle , et par conséquent le point en repos ou en mouvement rectiligne uniforme, le mouvement des axes étant varié, la force apparente F, se réduirait à — F,.

§ 2 . Des forces apparentes dans le cas où les axes mobiles de comparaison ont un mouvement de rotation.

26 (. Déterminer la Jorce apparente qui convient

au mouvement relatif d'un point matériel lorsque le système mobile des axes de comparaison tourne uniformément autour d'une droite fixe.

Soit (I) la vitesse angulaire du système des axes de comparaison tournant autour de la droite projetée en O ^fig. 4i). Soit A la position initiale du mobile, r sa distance à la droite fixe O.

Dans le cas particulier où le point matériel serait en repos relatif, et par conséquent entraîné dans le mouvement de rotation autour de la droite O, il faudrait:

1 ° Qu’à l’instant considéré comme initial, il possédât ime.

vitesse acquise égale à w perpendiculairement au rayon AO, et dans le sens du mouvement du système ;

2 ° Qu’il fût constamment sollicité par une force centripète imoV (238) qui serait la force A’ entrainement.

262. Considérons maintenant le cas où le point matériel aurait un mouvement absolu rectiligne et uniforme, c’est-àdire qu’à partir de l’instant initial, ce corps possédant une ceitaine vitesse précédemment acquise, ne recevrait plus l’action d’aucune force.

Soit V cette vitesse absolue, et supposons-la dirigée dans un plan perpendiculaire à la droite fixe O; ce plan sera celui de la figure. Décomposons V en deux vitesses, dont l’une V, soit la vitesse d’entraînement dirigée suivant la tangente AB et égale à ur; l’autre composante sera la vitesse relative V, suivant une droite Ax.

Après un temps infiniment petit dt, le point matériel ayant parcouru l’espace rectiligne AM égal à Vrfr, occupera la position M extrémité de la ligne brisée ABM, dont les côtés sont AB=(iirdt suivant V,, et BM égal à V^dt parallèle à V,.

263. Supposons qu’à l'instant initial, l’un des axes de comparaison soit Ax dirigé suivant V,. Après le temps dt, l’origine A sera passée en A', l’arc AA' étant égal à tardt comme AB; et l’axe Ax aura pris la position A'x, faisant avec le rayon A'O un angle OA'x' égal à l’angle OAx, d’où il suit que les droites Ax, A'x' font entre elles un angle égal à AOA' ou lùdt.

Pour un observateur emporté dans le mouvement de rotatior) des axes de comparaison, le point matériel paraîtra avoir décrit une. courbe A'M tangente en A' à l’axe A'x' en apparence immobile; car la vitesse initiale du mouvement relatif est dirigée suivant Ax devenu A'x'.

Prenons sur A'x' une longueur A'M' égale à BM ; traçons M'N égale et parallèle à A' B', et joignons N à M par l’arc de cercle NM ayant B pour centre. Nous aurons

A'M' = y,dt.

Maintenant, d’après le. théorème du n" aSy, un observateur

SKCT. II. CHA.P. III. § a.

qui considérera le transport du mobile de A' en M comme un mouvement absolu , le regardera comme produit par la vitesse initiale V, qui seule lui ferait parcourir A'M', et par une force capable dans le temps dt de le transporter de M' en M , en partant du repos , ou par deux forces composantes dont l’tine P le transporterait de M' en N, et l'autre F" de N en M. Ces forces devraient satisfaire aux équations

M'N = --dt, NM = i — (U.