m a rn

Or, M'N égale à A' B peut être, sauf une erreur qu’on rendra aussi négligeable qu’on voudra (en prenant dt assez petit), égalée à la projection AP de BA' sur le rayon AO; d’où , en regardant l’arc AA' comme se confondant avec sa corde, on conclut

M'N = — = - id‘rdt.

ir a

D’autre part, la corde NM se confondant avec son arc, et les angles MBN , AOA', étant égaux , on a

NM : BM :: AA' : AO ou NM : :: tardt : r\

d’où NM=V,w^!

(’es deux expressions de M'N et de NM, substituées dans, les deux équations précédentes, donnent les forces chercbées :

F' = «iû)V' — mtd’V, , et F" = sotwV,. .

264. La résultante des forces F' et P' est la force relative ou apparente cherchée.

La première P est égale en intensité à la force centripète (a38), capable de retenir le point mobile en repos apparent, pendant le mouvement de rotation des axes; mais elle lui est directement opposée, car la droite A'B fait avec le rayon A'O un angle aussi rapproché qu’on veut des deux droits. Cette force a donc l’intensité, la direction et le sens de la force centrifuge (a35) due à la vitesse angulaire w, à la masse m et à la <1istance variable r.

La seconde composante F" ayant l'intensité 2 /muV, est, comme la conle NM , perpendiculaire à la direction A'x' de la

FORCES APPARF.NTES. MOUVEMENT DE ROTATION. 171

vitesse relative , et en même temps perpendiculaire à l’axe de rotation O. Le sens de l’action de celte force est d’ailleurs , comme NM, opposé au sens de la rotation de la droite A.x dirigée suivant la vitesse apparente du point mobile.

265. Examinons maintenant le cas où la vitesse V n’est pas, comme nous l’avons supposé (a 6 a), perpendiculaire à l’axe de rotation O. Elle peut alors se décomposer en trois , la première V, suivant AB, la seconde dans le plan de la figure, perpendiculaire à l’axe fixe O, la troisième W, parallèle à cet axe et se projetant en A (les deux vitesses U,, W,. faisant un angle droit sont les composantes de la vitesse relative). Si la composante U, est dirigée suivant t\x et a l'intensité représentée au n“ 26 a par V,, le mouvement du point matériel ne différera du cas précédent qu’en ce que le point M de la figure sera la projection de ce mobile après le temps dt sur le plan OAa:, plan dont le point matériel, en vertu de la vitesse W,., sans l’intervention d’aucune force, se sera écarté de la quantité Donc les forces apparentes F' et F" parallèles à ce plan seront encore les mêmes , c’est-à-dire exprimées par

F' = »iuV = /wu)V, , et F" = 2 /nwU, . [65]

266. Enfin si le point matériel est sollicité par des forces réelles ayant une résultante F , son mouvement relatif paraîtra dû tout à la fois à la vitesse relative initiale, et à la force F prise à chaque instant dans sa véritable direction, et combinée avec les forces apparentes F' et F". En effet, en comparant la position du mobile après le temps dt , dans ce cas, avec celle qui aurait lieu si la force F était nulle, on voit que la distance

qui sépare ces deux positions est - — (dt)' dans la direction-

et le sens de la force F ; or cette quantité étant infiniment petite par rapport à l’angle wrff des axes A.v, K'x\ il n’y a pas lieu , quant à l’effet de la force F , de tenir compte de la variation relative ou apparente de sa direction , pendant chaque petit intervalle de temps durant lequel cette direction est supposée constante dans l’espace absolu (i). (*)

(*) La découverte de cette belle théorie appartient à Coriolis , qui

172 SECT. II. CHAP. III. § a.

267. La théorie générale qui précède se vérifie aisément dans deux cas particuliers très-simples.

i" Si le point matériel est en repos relatif (261), la vitesse absolue est V = &>/• ; la force existante est F = /noiV dans le sens AO. La vitesse apparente U, étant nulle, on a F" = o. Il ne reste donc que F' = /«uV dans le sens opposé à AO à combiner avec la force F : la résultante apparente est nulle, ainsi que cela doit être.

2° Si le point est en repos absolu , la force F est nulle ; la vitesse relative est wr = U, dans le sens opposé au mouvement de rotation ; la force F” devient 2»z(oV, et se trouve dirigée suivant AO ; de sorte qu’en composant cette force avec la force centrifuge F' égale à /«wV, on trouve pour force apparente définitive une force centripète ww’r, résultat évident à priori , puisque l’observateur emporté dans le mouvement de rotation des axes attribuerait au point matériel un mouvement circulaire avec la vitesse tor.

268. La révolution annuelle de la terre autour du soleil est due à une vitesse initiale et à l’attraction que cet astre exerce continuellement sur toutes les parties de notre globe. Lorsqu’il s’agit des phénomènes mécaniques ordinaires , on peut considérer cette attraction comme produisant à chaque instant sur tous les points matériels du globe terrestre des forces parallèles et proportionnelles à leurs masses, d’où il suit (i32) que l’on peut en faire abstraction sans rien changer aux mouvements relatifs que nous observons. On peut également supprimer par la pensée la vitesse acquise par le centre de la terre, laquelle vitesse est d’environ 3oooo mètres par seconde ; car cela revient à composer chacune des vitesses réelles avec cette vitesse de 3oooo mètres prise en sens contraire, ce qui ne change rien

l’a démontrée avec la généralité que comporte l’analyse inlinitésimalc. J’ai tâché d’en rendre la démonstration élémentaire en me bornant au seul cas utile dans la théorie des machines, relui du mouvement de rotation autour d’un axe fixe.

Les recherches de Coriolis sur cette matière sont insérées dans le Journal de V Ecole polYtcchnique , cahiers xxi et xxiv.

au mouvement relatif ; dès lors l’axe de la terre qui , en réalité, se meut à très-peu près parallèlement à lui-même, est considéré comme fixe , et la partie solide du globe forme un système tournant uniformément autour de cet axe.

La durée de chaque révolution accomplie dans ce mouvement de rotation s’appelle jour sidéral, et vaut 86164", c’està-dire qu’elle est de 236 “ plus courte que le jour moyen solaire. On a donc dans ce cas

air 3,1416

d’où il suit que pour les vitesses V.. que nous avons l’occasion d’observer, la force F" égale à auaoU, ou à 2 — uU,.est ordinairement une fraction très-petite du poids p , et peut être négligée. Une expérience connue où son influence se manifeste, consiste à faire tomber un corps sphérique très-dense d’une grande hauteur sans lui imprimer aucune vitesse initiale; on sait qu'il tombe à une petite distance vers l’est du pied de la verticale du point de départ.

Si l’on néglige F”, il ne reste plus, pour obtenir la force totale apparente qui convient au mouvement relatif d’un point matériel , qu’à combiner les forces réelles avec la force centrifuge F'. Or c’est précisément ce que nous faisons lorsqu’au lieu de la force que la gravitation terrestre exerce sur un corps, nous substituons la force que nous appelons le poids de ce corps, qui n’est réellement que la résultante de la force attractive et de la force centrifuge.

Lorsque nous disons qu’un corps lancé dans le vide est -abandonné à l’action de son poids, et descend de la hauteur

^ gC dans le temps t, ce n’est qu’une double fiction qui répond à l’apparence du phénomène. En réalité (même en admettant la fixité de l’axe de la terre), quand un corps est abandonné dans le vide, la force qui s’exerce sur lui est plus grande que le poids du corps ; mais aussi il parcourt en tombant un espace plus grand dans le sens vertical que celui que nous observons, puisque, pendant la durée de la chute, le point de

SECT. II. CHAP. III. § a.

départ, considéré comme point géométrique, entraîné dans ia roUtion de la terre, descend lui-itiéme d’une certaine quantité au-dessous tlu plan horizontal primitif. Les deux erreurs se compensent, comme nous l’avons annoncé d’avance, au n° i38.

Désormais nous continuerons d’employer, comme nous l’avons fait, le langage ordinaire qui suppose la terre fixe.

269. Calcul de l'influence du mouvement de la terre sur la pesanteur. Nous venons de voir que le poids d’un corps est la résultante de la force attractive de la terre et de la force centrifuge. Bornons-nous, pour simplifier, à considérer le cas où le corps est situé à l’équateur : les deux forces sont alors de sens opposés, et en désignant par A l’attraction terrestre sur le point dont la masse est m , et dont le poids à l’équateur est P, on a P= A — moi'r, r étant le rayon de l’équateur terrestre.

Or, premièrement, en désignant par T le jour sidéral 86164”,

on a (i> ^ ; secondement, on connaît la circonférence

de la terre à l’équateur, savoir 2xr = 40070000 mètres à moins d’un kilomètre près; troisièmement, l’expérience fait connaître (à l’aide du pendule) que l’accélération due à la pesanteur, à l’équateur, est de 9,78 mètres; et puisque, comme nous venons de le voir, on peut, sans erreur sensible , considérer les phénomènes de mouvement comme étant les mêmes qui s’accompliraient si, la pesanteur ne changeant pas, la terre était fixe,

il est permis de poser m — ^

Substituant ces valeurs, on trouve la force centrifuge

donc P = A d’où P=^A = ri — A,

a8g ago V. ago^

c’est-à-dire que la rotation de la terre fait que la pesanteur à

l’équateur est diminuée de — ^ de ce qu’elle serait si notre T 290 ^

globe n’avait qu’un mouvement de translation, j-

Remarqdb. 390 étant le quarré de iy,o3, si la terre tournait

i7,o 3 fois plus vite, la quantité twoiV actuellement égale à A égalerait A, et le poids P à l'équateur serait nul.

270. Les formules finales du ii® a65 ont des conséquences importantes dans la théorie générale de l'effet du travail des forces.

Si un point matériel considéré dans son mouvement relatif à un système tournant autour d’un axe, passe de la vitesse relative initiale V, à une autre l’acccroissement

- /Hv/ — - mV' 2 a

de la puissance vive apparente sera égal au travail des forces réelles, plus au travail dés forces F' et F", calculé en considérant le mouvement relatif comme réel. Or la force F" étant sans cesse perpendiculaire .à la vitesse apparente, son travail est nul; tandis que le travail de la force centrifuge F' sans cesse dirigée en prolongement du rayon, est l’intégrale

mui'rdr

ou

en supposant lo constante, et en désignant par et r, les distances initiale et finale du mobile à l'axe fixe de rotation.

Telle est la quantité qu’il faut ajouter au travail des forces réellement agissantes pour pouvoir appliquer le théorème de l’effet du travail à un point matériel, considéré dans son mouvement relatif à un système géométrique solide tournant autour d’un axe fixe.

271. Cette proposition, aussi utile que simple dans son énoncé, peut être démontrée directement comme il suit.

Supposons qu’un point matériel se transporte par la vitesse acquise V, sans l'action actuelle d’aucune force; que, par conséquent, son mouvement soit rectiligne et uniforme; supposons que ce mouvement soit rapporté à un système géométrique solide tournant autour de l’axe projeté en O avec une vitesse angulaire constante o>.

Soient A et M (Jig. 4^*) 1®* projections de deux positions du mobile ; les distances AO et AM seront comme tout à l’heure désignées par r„ et r,. La vitesse V absolue dont la projection

176 SECT. II. CIIAP. 111. § 'i.

a la direction AM peut se décomposer en deux. ; l’ime U suivant AM, l’autre W perpendiculaire au plan de la figure.

Au point A, la vitesse apparente V,, résultante de V et de wr„ prise en sens contraire du mouvement, peut s'obtenir en composant — avec U, puis la résultante de ces deux vitesses avec W ; d’où il suit qu’en appelant a l’angle de AM avec la tangente AB dans le sens de la rotation , on a

V/ = U’ -I- — 2 Ütar„ cos a + "W*

ou V/ = V* -h w’r„’ — alJwÆ,

en désignant par i la perpendiculaire menée du centre O sur AM.

Au point M, la vitesse apparente a», satisfait de même à l'équation

V,* = V' + w’r/ — aU<i)^ 5 donc, en retranchant,

ou - OT 2 '/ — - mV' = - minHr’ — r„’).

Il est clair que si le point était Sollicité par des forces réelles^ il faudrait ajouter leur travail au second membre de cette équation.

272. Première application. Un tuyau étroit, d’une forme quelconque, tourne uniformément autour d’un axe vertical. Un petit corps est introduit dans l’orifice supérieur A {Jig. 43), ce qui exige qu’on lui imprime préalablement la vitesse que possède cet orifice; de plus on lui donne une vitesse initiale relativement au tuyau. Soumis dès lors à l’action de la pesanteur et à la pression du tuyau , il descend en B. On demande en ce point sa vitesse relative et sa vitesse absolue v dans l’espace , en supposant que le tuyau n’ait exercé aucun frottement, et que par conséquent son action sur le mobile ne produise aucun travail.

Soient les rayons horizontaux AA', BB', représentés par 7-„ , r, ; la hauteur A'B' par h.

1 ° Pour déterminer la vitesse relative on a

~ mv' — ^ n»V/ iz: mgh -H ^

FOnCES APPARENTES. MOUVEMENT DE ROTATION. 177

attendu que mgk est le travail dû à la pesanteur; d’où l’on tire -7>; — V/ -H 9.gh + w’ (r.* — r„*)

ou -V,' = 4- 2 gh -+■ 1 )' — V/,

en appelant v, et V, les vitesses ur, et wr, des points B et A du tuyau.

2 ® La vitesse v est la résultante de -v^ et de la vitesse v, ou w, du point B, la direction de 2 /, étant celle de la tangente à l’extrémité B du tuyau , et la direction de or, étant perpendiculaire à AB' dans le sens de la rotation.

273. Deuxième application. Une petite boule glisse le long d'une baguette horizontale très-mince qui la traverse et à laquelle on imprime un mouvement de rotation uniforme autour d’un de ses points. On demande de déterminer le mouvement de la boule en la considérant comme un point matériel et en négligeant son frottement sur la baguette.

Soit O la vitesse angulaire constante de la baguette, x la distance de la boule à l’axe de rotation en un instant quelconque, x„ cette distance en un instant initial, V et V„ les vitesses de la boule relativement à la baguette aux mêmes instants.

On peut appliquer au mouvement relatif de la boule le long de la baguette l’équation de l’effet du travail, pourvu qu’on ajoute aux forces réelles une force centrifuge et par conséquent, dans la direction de la baguette, F" =zmui‘x.

Les forces réelles , savoir, la pesanteur et la pression de la baguette, sont perpendiculaires au chemin relatif: leur travail dans le mouvement relatif est nul. L’équation se réduit donc à V* — — (ù'x^ —

Les 'quantités cüx et(<u:„ sont les vitesses absolues des points de la baguette qu’occupe le centre de la boule aux deux instants considérés. Si les données sont telles qu’à l’instant initial on ait <dx„ nrz V„, on conclura de l’équation ci-dessus V = cox : la vitesse relative V et la vitesse d’entraînement au; seront donc toujours égales; et, comme elles sont rectangulaires, il s’ensuit que la vitesse absolue à un instant quelconque fera avec la direction de la baguette au même instant un angle de 4^°.