REPRÉSENTATION GRAPHIQUE DU MOUVEMENT

Les lecteurs doivent s’exercer à tracer les diverses positions de la droite suivant les signes des quantités et V dans l’équation s = s„ + \t [i] du n“ 5.

19. Si le mouvement est uniformément varié, la courbe représentative du mouvement exprimé par l’équation

est une parabole dont l’axe principal est parallèle à l’axe des espaces [Géom. anal., ia4).

Il est bon de faire quelques exercices graphiques relatifs aux diverses positions de la parabole suivant les signes de et j.

20. Dans un mouvement varié quelconque l’inclinaison (*) de la courbe représentative, en un point , sur l’axe des temps,

donne la vitesse à l’instant correspondant: cela résulte, soit de

(Is

la définition de la vitesse (9), soit de l’équation v Cette

inclinaison et la vitesse sont numériquement égales si les axes coordonnés sont rectangulaires, et si pour construire la courbe on a pris la même échelle pour les esp.aces et pour les temps, c’est-à-dire si la même longueur représente l’unité de distance, et l’unité de temps. Plus généralement, la vitesse à un instant s’obtient en menant par le point correspondant de la courbe une tangente à cette courbe, et en mesurant l’accroissement que l’ordonnée de la tangente prend pour un accroissement de l’abscisse égal à l’unité.

21. Dans les ingénieux appareils imaginés par M. Poncelet et réalisés par M. Morin pour ses expériences sur le frottement, uii corps mobile trace lui-même une courbe représentative du mouvement. On se sert à cet effet, soit d’une surface cylindrique, soit d’une surface plane, tournant uniformément, l’une autour d’un axe parallèle aux arêtes du cylindre, l’autre autour d’un axe perpendiculaire au plan. Une pointe traçante attachée à un corps qui se meut en ligne droite suivant une loi quelconque, décrit sur la surface tournante une courbe qui

{*) On appelle , pour abréger, inclinaison d’une courbe sur un axe, la tangente trigononictrique de l’angle que la tangente, au point considéré de la courbe, fait avec l’axe. {Géom, anal . , aao.)

20 SKCT. I. CH A P. I. § 3 .

fournit le moyen d’assigner les positions successives de la pointe à des instants dont les intervalles sont connus.

22. On peut encore obtenir une représentation quelconque du mouvement par une courbe dont les abscisses sont proportionnelles aux temps et les ordonnées proportionnelles aux vitesses. Supposons, pour plus de simplicité, les axes coordonnés rectangulaires, et parcourons les divers cas qui peuvent se présenter.

Si le mouvement est uniforme, on a une droite p:irallèle à l’axe des temps; sa distance à cet axe est la vitesse constante; et puisque dans le mouvement uniforme l’espace décrit est égal au produit de la vitesse par le temps (3), l’aire rectangulaire comprise entre cette droite, l’axe et deux coordonnées correspondantes à deux instants déterminés, repré.sente l’espace parcouru par le mobile entre ces deux instants, pourvu que l’on convienne que l'unité de cet espace linéaire est représentée par Vaine du rectangle qui aurait pour cotés les lignes choisies pour représenter l’unité des temps sur l’axe des abscisses, et l’unité des vitesses portées en ordonnées.

23. Si le mouvement est uniformément varié, la ligne qu’on obtient dans ce second mode de représentation est encore droite, puisque la vitesse croît proportionnellement au temps.

L’ordonnée à l’origine est la vitesse initiale; l’inclinaison de la droite sur l’axe des temps est numériquement égale à l'accélération, pourvu que la même longueur représente l’unité de temps et l’unité de vitesse. Plus généralement, l’accélération est représentée par l’accroissement de l’ordonnée, répondant à un accroissement de l’abscisse égal à l’unité. La distance qui sépare les positions du point mobile prises à deux instants quelconques, est représentée par l’aire compriseentre la droite inclinée, l’axe des temps, et les deux ordonnées relatives aux deux instants considérés , pourvu que , si la vitesse entre ces deux instants a changé de signe en passant par zéro, on prenne positivement l’aire située au-dessus de l’axe des temps, et négativement celle qui se trouve au-dessous.

Ces considérations géométriques peuvent servir à démontrer que lorsque la vitesse est donnée par la formule v=zv^-\- jt,

MOUVEMENT ü’uN POINT DANS l’eSPACE. 21

la ilisluiice du mobile, après le temps t, à sa position initiale, est

e= Jf,

cpiels que soient les signes de et de y. Nous ne donnons pas ici cette démonstration, parce que la proposition a été établie précédemment (ii et i5) par le calcul.

24. Si le mouvement est varié d’une manière quelconque, la suite des points dont les abscisses sont proportionnelles aux temps et les ordonnées proportionnelles aux vitesses est une courbe. L’aire entre deux ordonnées est encore la représenta, tion de la distance qui sépare les positions occupées successivement par le point mobile aux deux instants correspondants à ces deux ordonnées. Cette distance est l’espace parcouru entre les deux instants considérés si l’aire qui la représente est d’un même côté de l’axe des temps. On peut considérer une partie infiniment petite de la courbe comme une ligne droite ; dans la durée infiniment petite correspondante, le mouvement peut être pris pour uniformément varié, et son accélération

^ est représentée par l’inclinaison de la courbe ou de sa tangente (lo), eu égard aux unités des abscisses et des ordonnées, comme nous venons de l’expliquer.

25. Exercice. Étant donnée la représentation graphique d’un mouvement, suivant le mode indiqué au n“ 17, en conclure la représentation du même mouvement suivant le n° 22, et réciproquement.

^ De l’expression analytique du mouvement d un point dans t espace.

26. D’après les propriétés connues des coordonnées relatives à trois axes ayant une origine commune, il est clair que si les coordonnées x , y, z, d’un point mobile sont données, chacune en fonction du temps /, sa position est déterminée à chaque instant. Ces coordonnées, portées sur les trois axes, y donnent les projections conjuguées du point mobile, c’est-à-dire

i2 StCT. I. CHAI*. 1. § 4-

les intersectiulis qu'on obtiendrait sur ces axes , en faisant passer par ce point, à l'instant où finit le temps t, trois plans parallèles aux plans coordonnes {Gèom. anal., i8).

27. En éliminant t entre les trois équations qui établissent les relations de a: , j, z et t , on a les équations de la courbe décrite, puisqu’elles doivent être satisfaites par les coordonnées X, y, Z, du point mobile dans une position quelconque.

Exemple. Courbe plane dans le plan des xy. Supposons que le mouvement de la projection P sur l’axe des x soit uniforme, et que celui de la projection Q sur la droite 0/ soit uniformément varié; prenons l’origine O des axes au point où passe le mobile quand le temps t commence. Nous avons (3 et 1 1 ) :

x = at et jrz=ht + c(',

d ou y "== - X r X*,

équation d’une parabole dont l’axe principal est parallèle à la droite Oy {Géom. anal., 124 ).

28. Les expressions de x, y et z, en fonction de t, font connaître le mouvement de chaque projection du mobile sur les

axes des x, des y et des z. Les dérivées ^ j ^ sont les

’ •' (U dt dt

vitesses de ces projections. Or, ces vitesses ont, avec la vitesse du point dans l’espace, une relation facile à apercevoir :

Théorbsie. La vitesse de la projection, sur un axe, d'un point en mouvement dans l’espace, est égale à la projection sur le même axe de la vitesse de ce mobile.

Démonstration. 1 “ Si le mouvement du point considéré, dans l’espace, est rectiligne et uniforme , sa vitesse est l’espace MN qu’il décrit dans l’unité de temps, et si P et Q {fig. 3) sont les projections des points M et N, faites sur uu axe Ox par des lignes MP, NQ parallèles à un plan coordonné jOz, la distance PQ est la projection de la vitesse MN. Or celte distance étant parcourue, pendant l’unité de temps, par la projection du mobile sur l’axe Ox, est aussi la vitesse de la projection de ce point.

a" Si le mouvement cousliléré est curviligne , soient M {fig. 3) la position actuelle du mobile;

MOUVEMEMT d’uN POINT DANS l’eSPACE. 23

M„MlVr la courbe qu’il décrit;

MN une tangente dirigée dans le sens du mouvement, et d’une longueur égale à la vitesse.

C’est la projection de MN sur un axe quelconque, parexemple PQ sur Ox, qui s’appelle la projection de la vitesse sur cet axe. Nous représenterons cette quantité par v, ( prononcez V indice x). Quant à la vitesse de la projection , son

dx , .

expression analytique (9) est Il s’agit donc de démontrer l’égalité V, =2

Soit MM, l’arc infiniment petit ds parcouru suivant la tangente dans le temps dt, et soit P, la projection de M, sur Ox, de sorte que PP, est dx. Les droites MP, M.P, , NQ sont dans trois plans parallèles à un même plan jOx; donc on a

PP. : MM. : : PQ : MN , ou bien dx : ds : : : v ,

d’où, en divisant les deux premiers termes par dt, puis rein- ^ par V, on conclut ^ = 7;,; ce qu’il fallait démontrer.

Il est bien entendu que v, est positive ou négative , et a le même signe que dx, attendu que dt est toujours pris positif, dans le sens de la marche du temps.

29. Corollaire. I..a vitesse du mobile dans l’espace est la diagonale d’un parallélipipède dont les arêtes contiguës sont égales et parallèles aux vitesses des projections du mobile sur trois axes coordonnés.

30. La notation v, n’a une signification complètement déterminée qu’autant que l’on connaît la direction du plan/Oz coordonné avec l’axe Ox.

Lorsqu’il s’agit de projections orthogonales, on a v,= vco&(v,x), v^=zvcos{v,y), v^ = vcos(v, z),

et V = 1/ v/ + -t- V,’. {Géom. anal,, 4y.)

Dans ces formules, v na point de signe; v,, v,, v, out ceux

des cosinus, qui dépendent eux-mêmes du sens du mouvement sur la courbe décrite dans l’espace.

31 . Si la courbe décrite est dans le plan des deux axes 0 .t', O/", l'angle xOjr étant quelconque, en remarquant que la vitesse V forme, avec deux droites égales et parallèles à v, et 2^,, un triangle dont l'angle opposé à v est supplément de o:Oj, on a , d’après les théorèmes connus de la trigonométrie {Gèom, anal., 67 et 65 ),

V z= \/ V,' -H 'P,.* -+- 2 v,v, cos (a:Oj),

« y. Vr ■

sin sin [v.jr] sin (v,x)

et si l’angle (x, est droit,

V = X/' V,' -h v,= V cos {y,x), v^ — v cos

32 . Exemples. Dans l’exemple du n“ 16, le point M est la projection du point G sur l’axe Ox: ce qui donne immédiatement

= V cos (V,x) = V sin AO'C.

Dans l’exemple du n° -27, si l’on demande la vitesse du mobile après le temps f, on a

?>,=:«, v^=b 2ct et v ■zxl X/' a' + {b + 2cï)\

33 . Il est à remarquer que le théorème du n“ 28 ne s’applique pas aux accélérations; c’est-à-dire que, dans le mouvement curviligne, l’accélération de la projection du point mobile sur un axe des jc, n’est pas égale à la projection sur cet axe de l’accélération ^ , comptée suivant la direction de la tangente à la courbe décrite (’). Ainsi, par exemple, dans le

^’) La raison de ce fait se reconnaît en remarquant que dans le cas de la projection orthogonale, par exemple, on a v, ■= v cos [v,x) -, qu’ainsi v, est le produit de deux facteurs variables, si le mouvement est curviligne. La différentiation donne

dv. dv , , d cos (n.x)

-J^ = -;j^COsiv,x)+V.

1 \ et non pas seulement cos iv,x).

dt

MOUVEMENT RELATIF u’iJN POINT. 25

cas du 11 ° i6, l’accélération du mobile sur le cercle ACE.. . . est nulle, tandis que l’accélération de la projection M est la quan-

tite variable — cos — • r r

§ 5. De la vitesse cT un point relativement à un système géométrique solide en mouvement.

34. Définition Dü mouvement relatif. Un point M ayant un mouvement quelconque, concevons que trois axes coordonnés, formant un angle trièdre de figure invariable, se meuvent aussi d’une manière quelconque dans l’espace, et supposons qu’un observateur, entraîné, à son insu, dans le mouvement de ces axes, les considère comme fixes (c’est ce qui nous arrive continuellement dans les questions de Mécanique, où nous faisons abstraction du mouvement de la terre). Cet observateur attribuera au point M un mouvement différent de celui que ce mobile possède réellement : ce mouvement s’appelle mouvement relatif. Il est complètement défini dès que l’on connaît, en fonction du temps, les coordonnées du point dont il s’agit dans le système des trois axes mobiles, ou des trois plans de comparaison que ces axes déterminent.

Le mouvement d’un point relativement à un système solide d’axes mobiles est donc ce que deviendrait le mouvement réel ou absolu d’un point qui aurait à chaque instant les mêmes coordonnées que le premier, par rapport à un système d’axes semblable, mais en repos.

35. De la vitesse relative. La vitesse relative, qui est celle du mouvement relatif, est en général différente en intensité et en direction de la vitesse absolue. Cette considération conduit à la question suivante.

Proelème. Déterminer les relations entre la vitesse relative, la vitesse absolue et le mouvement des axes mobiles de comparaison.

Soit , à un instant déterminé , A la position du point mobile {fig. 4)> et soit AV = v une droite représentant en direction et en intensité sa vitesse absolue;

Soit AE la direction suivant laquelle le point A considéré comme point géométrique lié aux axes mobiles de comparai-

son, est entraîné dans leur mouvement ; et soit 7 >, la vitesse actuelle de ce point géométrique. Son mouvement est appelé par Coriolis mouvement d'entraînement , dénomination expressive que rappelle la notation v,.

Dans un temps infiniment petit dt , le mobile sera réellement transporté en M sur AV à une distance AM=zvdt\ tandis que le point géométrique A lié aux axes sera entraîné en A' à une distance donc l’observateur qui, étant emporté avec

les axes, considérera le point A comme fixe, attribuera au mobile un mouvement en vertu duquel ce corps parcourrait un espace infiniment petit égal à A'M , dans le temps dt. Donc , si l’on désigne par v, la vitesse relative, on aura A'M = Vr</< : les côtés du triangle AMA' sont donc proportionnels aux vitesses v, v„ v,.

Donc si l'on construit un triangle AVE dont deux côtés représentent, pour l’intensité et la direction, l’un la vitesse absolue, l’autre la vitesse d’entraînement, le troisième côté représente l’intensité de la vitesse relative.

36. Si l’on considère comme liée aux axes mobiles de comparaison la droite A'R' prolongement de l’élément A'M , on remarquera qu’à l’instant initial du temps dt elle occupait une position AR qui ne peut faire avec A'R' qu’un angle infiniment petit. Or cette droite est la direction de la vitesse apparente du mobile pour l'observateur qui ne tient pas compte du mouvement des axes j doue elle est la direction -de la vitesse relative.

Quand il s’agit d’exprimer la direction d’une droite, un angle infiniment petit doit être négligé : donc la droite parallèle au troisième côté du triangle AA'M est la direction de la vitesse relative.

37. En achevant le parallélogramme AEVR dans lequel on a AR = VE=:yr, on arrive à cette proposition qui résume celles des deux numéros précédents :

Théorème. La vitesse absolue est représentée en grandeur et en direction par la diagonale d un parallélogramme dont deux côtés contigus représentent de même , l'un la vitesse d'entrainement , r autre la vitesse relative.