TROISIÈME SECTION

TIIËOnËMES GÉNÉRAUX DU MOUVEMENT ET DE L’ÉQUILIBBE D’UN SYSTÈME MATËBIEI,,OU DYNAMIQUE ET STATIQUE DES CORPS QUELCONQUES.

GHAPITBE PREMIER.

DINAMIQDE GÉKÉBALB OU THÉOBÈUES SDH LE KODVEHENT d’cn système MATÉBIEL QCELCOKQDE.

§ I . Du principe de la réaction égale à l’action.

276. L'extension de la théorie du mouvement d’un point matériel aux lois du mouvement des corps quelconques repose sur le principe de la réaction égale et contraire à faction (a35), dont il importe d’abord de préciser le sens.

Les corps sont des assemblages ou systèmes de points ma* tériels. Un tel système en repos ou en mouvement est sollicité par deux espèces de forces. Les unes sont des forces extérieures dues soit à la pesanteur, soit au voisinage, quelquefois nommé contact, de corps ne faisant pas partie du système considéré. Les autres sont les actions mutuelles des points matériels du système : si l’un de ces éléments dont la masse est désignée par m reçoit d’un autre ayant la masse m" une force que nous représenterons (*), de même l’élément m"

reçoit de m' une force Or le principe dont il s’agit consiste en ce que

1 ° Ces deux forces sont dans la direction qui joint les deux points ;

2 ° Elles ont la même intensité;

(*) La notation/)/ remplace les mots force que ni’ reçoit de ni”.

tÊ.

SECT. m. CHAP. t. § I.

3° Elles sont de sens opposés, toutes deux attractives ou toutes deux répulsives.

277. Sauf l’égalité des actions mutuelles, les lois de ces forces intérieures des systèmes matériels sont à peu près inconnues.

L’expérience de la dilatation et de la contraction que les changements de température produisent dans les corps, conduit à considérer ceux-ci comme composés d'atomes ou éléments indivisibles, groupés dans des proportions qui forment la constitution chimique, et séparés par des intervalles qui varient suivant la chaleur, suivant les forces extérieures, et suivant l’état de repos relatif ou de vibration.

Comme l’a expliqué M. Poncelet (Mécaniq. Indusl., p. a56 à 264 ), on se fait une idée assez plausible de la manière dont les éléments des corps agissent les uns sur les autres, au moyen d’une double hypothèse qui consiste à étendre aux moindres parties de la matière la loi de la gravitation universelle, de sorte qu’elles s’attirent davantage à mesure qu’elles sont plus rapprochées; et à admettre en même temps qu’il existe entre deux molécules voisines une force répulsive qui dépend de la chaleur ou d’autres causes analogues, et qui varie avec la distance, mais suivant une autre loi que la gravitation.

Ainsi les forces désignées par et J'' seraient chacune la

différence ou résultante de deux forces, savoir:

1 ° La gravitation mutuelle des deux éléments dont les masses sont m et m' ;

a" Leur répulsion mutuelle due aux causes analogues au calorique.

Cette résultante serait attractive, répulsive ou nulle, suivant que la première force serait supérieure , inférieure ou égale en intensité à la seconde.

278. Appliquons cette notion à deux points matériels que nous continuerons de désigner par les lettres m! et m' . Si nous supposons d’abord que ces deux petits corps soient en repos sans l’action d'aucune force extérieure , les forces mutuelles f'^ et y"' sont nulles dans ce cas, ce qui n’empêche pas que la gravitation mutuelle des deux points et leur répulsion due au calorique ou à d’autres causes ne puissent être très-considéra-

UEACTION if-G.Vl-r. A l’aCTION. 181

l)les par rapport aux masses /«' et m " , si ces deux points sont suffisamment rapprochés.

Supposons maintenant que le repos des deux mêmes corps ait lieu sous l’action de deux forces extérieures F' , F" , qui tendent soit à les rapprocher, soit à les écarter. Le point m' considéré seul ne peut se maintenir en repos que parce que , outre la force F' extérieure, c’est-à-dire venant d’un agent autre que le point /«", ce point m reçoit du point tn" une force /]/ égale et contraire à F'. De même l’équilibre du point m" exige que la force F" soit égale et contraire à l’action moléculaire f'^' ou force que ni" reçoit de /«'. Cela posé , si l’on adjuet le principe de l’égalité de l’action et de la réaction , c’està-dire, l’égalité d’intensité et l’opposition de direction des forces mutuelles J\' et f" , on en conclura que F' et F" sont nécessairement deux forces égales et opposées. Si l’on préférait regarder comme évident que l’équilibre de l’ensemble des deux éléments m\ m" , exige l’égalité des forces opposées F', F", on en conclurait l’égalité des forces mutuelles moléculaires. Lorsque les forces F', F”, tendent à rapprocher m' et m" , les forces mutuelles J'J et f" qui leur sont égales sont répulsives , ce qui signifie, dans l’hypothèse ci-dessus énoncée ( 27 y),quela gravitation est alors inférieure à la répulsion due aux causes analogues au calorique. Or, si l’on compare la situation relative des deux points à ce qu’elle était dans le premier cas d’équilibre, en l’absence des forces F' et F", le second état s’expli- <jue en disant que, par le rapprochement des deux points m et ni ' , leur gravitation mutuelle s’est à la vérité augmentée, mais que leur répulsion s’est augmentée davantage encore. Le con. traire aurait lieu si les deux forces extérieures F', F’", tendaient à écarter les deux points. 11 peut arriver qu’un très-petit changement dans la distance de deux points en produise un trèsgrand dans l’intensité de leur action mutuelle. On conçoit ainsi la constitution des corps solides dans lesquels les actions mutuelles variant fortement par suite de très-petits changements de forme, font que ces corps résistent dans certaines limites , sans déformation sensible, aux efforts qui tendent à les comprimer ou à les étendre.

SECT. III. CIIAP. I. ^ I.

279. S’il était possible qu’un assemblage de points matériels, formant un corps solide, en repos, fftt parfaitement isolé, ne recevant l’action d’aucune force extérieure, il ne faudrait pas en conclure que, comme dans le premier cas du n” précédent, les actions mutuelles entre tous ces éléments seraient actuellement nulles. Le repos de chacun de ces points pourrait avoir lieu parce que les forces qu’il recevrait des autres parties du système seraient, les unes attractives, les autres répulsives, leur résultante étant nulle. Pour rendre cette observation sensible par un exemple très-simple, imaginons un système de quatre points matériels ni , m" , m", m" égaux et situés aux quatre sommets d’un quarré.

Pour que l’équilibre existe sans l’action d’aucune force extérieure, il suffit que lu résultante des forces que chaque point reçoit des trois autres soit nulle ; qu’ainsi les forces J',,, /’’ que le point /«' reçoit des deux points m", m", dont il est le plus voisin, soient répulsives par suite de la supériorité de l’action du calorique sur celle de la gravitation; que, au contraire, la force dirigée suivant la diagonale soit attractive, c’est-à-dire qu’entre les deux points rn', m'", la gravitation l’emporte sur la répulsion due au calorique.

Supposons maintenant qu’aux deux points /«', m"’, diagonalement opposés, soient appliquées deux forces extérieures I*', F'", égales et contraires qui tendent à rapprocher ces deux points. Pour que le repos ait encore lieu dans cette hypothèse, il faut non-seulement que la diagonale mm" soit plus petite que dans le premier cas , mais aussi que l’autre diagonale m"m" soit augmentée; car le point »j“, qui n'est soumis à aucune force extérieure , doit être encore en équilibre sous l’action des forces qu’il reçoit des trois points /«', m'" , m" : si la distance m"m''’ restait la même, les forces répulsives totales entre m" et m' d’une part, et entre rn" et m'" d’autre part, se trouveraient augmentées, parce que les distances m'm\ ni'tn" seraient moindres; l’angle m'rn'rn" serait d’ailleurs diminué; donc, par une double raison, là résultante de ces deux forces serait augmentée, tandis que la force attractive entre m" et rn" serait restée la même; l’équilibre'

niî.VCTION fe.VLi: a L’ACT10^. 183

n'uuriiit par conséquent pas lieu; donc, il faut, par compensation , que la diagonale m'in” soit augmentée , ce qui diminue la plus grande et augmente la plus petite des forces inégales dont nous venons de parler.

La déformation contraire aurait lieu si les deux forces extérieures tendaient à écarter leurs deux points d’application les deux autres points /«", m”, devraient se rapproche*' pour que le repos pAt subsister. C’est ce que l’expérience confirme : un fil cylindrique qu’on allonge diminue en même temps de diamètre.

280 . Les considérations hypothétiques qui viennent d’être exposées (n“ 277 à 279) n’ont d’autre but que d’aider à se faire une idée de la manière dont les éléments matériels des corps agissent les uns sur les autres. Elles pourraient d’ailleurs être contestées sans porter atteinte aux vérités qui vont être établies dans cette section , et qui sont des conséquences nécessaires du seul principe de l’égalité de l’action et de la réaction contraire, joint aux théorèmes de la dynamique d’un point matériel.

Ces vérités s’appliquent aux corps quelconques, c’est-à-dire aux assemblages de points matériels quels qu’ils soient, sans excepter les corps organisés , ni même les animaux dont les éléments ont la propriété de l’inertie (81), aussi bien que les êtres du règne minéral, et ne modifient leur état de repos ou de mouvement qu’en vertu de forces , dont les unes sont extérieures aux corps que ces éléments composent, et les autres sont des forces intérieures mutuelles, dont la nature, déjà si mys. térieuse dans les corps inorganisés, l’est encore plus dans les animaux. Il suffit à notre objet de dire que c’est dans les modifications de ces forces mutuelles que consiste l’action mécanique de la vie instinctive et de la volonté sur les éléments matériels des animaux.

281 . Les théorèmes qui vont être établis dans les quîttre paragraphes suivants s’appliquent à un système matériel quelconque, et plus ou moins déformable, tel que ceux qui nous sont offerts par la nature.

Si quelques-uns des éléments du système sont liés par des

bECT. III. CHAP. I. § 2.

fils OU des barres rigides, cette condition ne fait pas exception à la distinction de toutes les forces en deux espèces , les unes extérieures, les autres intérieures mutuelles. Il suffit de comprendre les liens dans le système matériel , en les considérant comme composés de points consécutifs entre lesquels agissent des forces mutuelles, sauf à négliger, s’il y a lieu , la masse de ces liens pour simplifier les calculs. Lorsque certains points du système se meuvent sur la surface d’un corps étranger au système, les réactions de cette surface, ou plutôt du corps qu’elle termine, sont des forces extérieures par rapport au système dont ce corps ne fait pas partie. Ces réactions seraient normales si la surface n’exercait aucun frottement; mais cette hypothèse ne se réalise jamais lorsqu’un corps glisse sur un autre qui modifie son mouvement (*).

§ a. Théorème général relatif à la quantité de moiwement (F un système matériel.

282. Soit un système de deux corps élémentaires en mouvement et agissant mutuellement l’un sur l’autre. Désignons ces deux corps, et particulièrement leurs masses par né et w". Le premier est sollicité par des forces extérieures dont nous désignerons la résultante par F' ; une autre résultante extérieure F" agit sur le second corps. En outre, soit que la dis-

(*) Carnot a dit ( Principes de Véqtùl. et du mouv., page a37) : «Les « points fixes et obstacles quelconques sont des forces purement pas- « sives, qui peuvent absorber un mouvement si grand qu’il soit, « mais qui ne peuvent jamais en faire naître un, si petit qu’on veuille « l’imaginer, dans un corps en repos. i> Nous n’insisterons pas sur ce qu’a de singulier aujourd’hui cette énonciation c[a'un point fixe est une forcer mais l’expression de force passive nous paraît une alliance de deux mots contradictoires, car la force qui empêche ou détruit un mouvement, agit ou est active aussi réellement que celle qui tend à produire ou qui a produit ce mouvement. Il suffirait , pour rendre la pensée de Carnot, de dire que la force tpi’exerce un obstacle fixe est toujours résistante. C’est probablement à l’imitation de ce savant géomètre que plusieurs auteurs appellent résistances passives celles qui naissent du frottement, de la roideur des cordes, etc.

THÉOBÈME GÉNÉHALME LA QUAMTITÉ UE MOLVEMEMT. 185

tance des deux points matériels varie ou reste constante, ni reçoit de to" une force f , et m" reçoit de m' une force

égale et de sens contraire. Soient vl les vitesses de /n' et ni’ à un instant initial, et v', v" leurs vitesses après un temps t. Soient représentées par* Fi, F", f'J,, v'„,

■V,, î<" les projections de ces forces et de ces vitesses sur un axe quelconque Oo:.

Chacun des corps ni ,m", considéré à part, donne (au, a°) une équation de l'effet de l’impulsion, soit que les forces varient ou restent constantes, savoir:

Or fi,^ et y,‘" sont à chaque instant les projections sur un même axe de deux forces égaies et opposées, et sont, par conséquent, égales et de signes contraires j il en est de même des deux intégrales qui s’y rapportent; donc, en ajoutant les deux équations précédentes, on a

{tnv^ -H n^'v^ — - 4 - m"vl^ — J' Y,dt -f- ^F" dt ,

résultat qui s’énonce en ces termes :

Théorème. L’ accroissement de la somme des quantités de mouvement projetées sur un axe quelconque est i® égal à la somme des impulsions des forces extérieures projetées sur le même axe ; a° indépendant des actions mutuelles.

Cette proposition importante se démontrerait absolument de la même manière pour un nombre quelconque de points. Voici les équations à poser pour quatre points :

iTiX — mvi = J (f; -4-/;, f:,,)dt,

—mv'j. = J (F; -4-/x f"'z -\r f^.) dt,

ni"v: - mvz = j (f;' +/;" -4-/:;) dt,

— m"v- = j (Fr H-/;’ -Y fil + f"j) du

18(i shCT. ni. ciiAP. I. § 3.

Les douze forces . «‘c., . . . . . sont

égales deux à deux et de sens opposés ; leurs projections sont égales et de signes contraires ; donc, en ajoutant, on a

2 mv , - 2 = 2 [8«]

équation qui s’énonce comme ci-dessus.

§ 3. Théorème général du moiwement du centre de gravité d'un ^sterne matériel.

283. Si «„ est la vitesse du centre de gravité d’un système à un instant initial, et « ce que devient cette vitesse après le temps f, en conservant d’ailleurs les notations du n° a8i, on a , d’après la propriété du centre de gravité démontrée an n° loa ,

2 fflVx = «r 2 2 = “o. 2"'-

La formule [86] du numéro précédent donne donc

«X- 2™ — “ox 2 = 2 [87]

Cette équation ayant lieu pour un axe de projection quelconque, il s’ensuit que les modifications de la vitesse du centre de gravité en intensité et en direction ne dépendent ni de l’action mutuelle ni du rapprochement ou de l'écartement des points matériels du système. Enfin, si l’on compare l’équation [Sy] à la formule [5y] du n“ an , applicable à un point matériel, on reconnaît l’exactitude de la proposition suivante:

Théorème. Le centre de gravité d'un système quelconque se meut comme un point matériel qui réunirait à lui seul la masse V ni des points du système, et qui serait sollicité par les forces extérieures transportées en ce point parallèlement a ellesmêmes.

Cette proposition très-remarquable a été désignée sous le nom de principe de la conservation du mouvement du centre de gravité. Ce n’est pas proprement un principe; c'est un théorème.