MOUVEMENT DU CENTRE DE GRAVITÉ

286. Voici divers exemples où le théorème du mouvement du centre de gravité a son application.

1 ° Si un projectile est lancé et fait explosion dans l’espace, tant que les éclats ne rencontrent pas d'autres corps, le centre de gravité poursuit sa course comme si ces éclats ne se fussent pas séparés, sauf l'effet des modifications que subit la résistance de l'air.

a” Si un homme s’agite en tombant d’un lieu élevé, son centre de gravité (point variable dans son corps suivant les diverses positions relatives de ses membres) décrit une courbe qui dépend de la vitesse initiale, de l’action de la pesanteur et de la résistance de l'air. Si cette résistance n’existait pas, la trajectoire du centre de gravité serait une verticale ou une parabole. Si , étant en l’air, cet homme lance horizontalement un corps qui tombait avec lui, l’endroit où il arrive au bas de sa chute peut être considérablement changé.

3” Lorsqu’un bateau à vapeur se meut uniformément, c’est que les diverses pressions exercées tant sur la carène que sur les aubes , se détruiraient si elles étaient transportées en un point parallèlement à elles-mêmes.

4° Un homme en repos sur un plan horizontal y exerce une pression verticale égale à son poids, car la réaction du plan et ce poids se détruiraient si elles étaient transportées au centre de gravité. Si cet homme saute, ou si, d’abord assis, il se lève, sa pression sur le plan augmente momentanément pendant tout le temps que le centre de gravité prend un mouvement accéléré ascendant. Le contraire a lieu si l’homme, d’abord debout, s’assied ou se baisse. Lorsque, sortant du repos, il se met en marche, la résultante de translation des pressions qu’il exerce sur le sol est oblique en arrière tant que son mouvement s’ac-

moyenne —jPdt <|ui est constante, étant prise entre deux instants où

la vitesse verticale de notre centre de gravite est l.t même; a" quand nous exerçons une pression horizontale sur un corps , il faut que nous en exercions une égale et opposée sur le sol ou sur un autre corps, si notre centre de gravité reste en repos.

SECT. III. CIIAP. I. § 4-

cclère; elle est oblique en avant lorsqu'il se retarde, s’arréle nu devient rétrograde.

5° Supposons qu’un vase placé sur l’un des plateaux d’une balance en équilibre contienne un liquide dans lequel soit suspendu un corps plus dense , à l’aide d’un fil attaché à la partie supérieure du vase. Si l’on coupe le fil, le corps descend d’uii mouvement accéléré, et en même temps la pression sur le plateau diminue; si par suite <le la résistance du liquide le corps plongé finissait par descendre d’un mouvement uniforme, alors la pression du vase sur le plateau serait la même que dans l’état de repos. A l'instant où le corps atteint le fond du vase et s’arrête ou rebondit, la pression supportée par le plateau augmente.

§ 4- Théorème général de la puissance vive d un système de points matériels.

287. Reprenons les hypothèses et les notations du n® a8a , et appliquons à chacune des masses m', w", le théorème du n® 2 i 6.

Nous avons pour ni . . . ^ ni'd' — ~ m'v\' = GF’ + G/,'., pour m". . . 1 i to'V'„*= GF" + G/".

Donc, en ajoutant ces équations ^ et représentant par 2®F

le travail total des forces extérieures , par Jfdl celui des

deux actions mutuelles, qui, étant égales et directement opposées, donnent lieu à l’application du théorème du n® 1 14 , nous avons

2^ — 2 ^ pdl,

c’est-à-dire , que l'accrois sentent algébrique de la puissance vive du système est égal au travail des forces extérieures, plus à celui des forces intérieures mutuelles , ce dernier travail dépendant uniquement de l intensité des actions mutuelles et du mouvement relatif des points du système.

TJIÉOUfcME DK LA PU1SSA^'CË VIVE. 191

288 . Remarques. Le travail des actions mutuelles est positif dans deux cas : i" lorsque ces forces sont répulsives, et que les points s’éloignent ; 2“ lorsque ces forces sont attractives , et que les points s’approchent. 11 est négatif dans les deux autres cas.

Lorsque le second membre de l’équation précédente est négatif, c’est-à-dire, que le travail résistant l’emporte sur le travail moteur, cette équation n’en subsiste pas moins : dans

ce cas, la puissance vive finale est plus petite que

la puissance vive initiale 2 ~ •

289 . La proposition du n° 287 s’étend facilement à un système d’un nombre quelconque de points matériels.

Par exemple , dans le cas de quatre points dont les masses seraient m', m"\ m" , on posera quatre équations comme

celle-ci :

\ ttiv" — - «l'y,” = GF G/;/ + G/;, -h G/„ ,

et en les ajoutant, on aura au premier membre l’accroissement de la puissance vive totale P*’®'

miers termes des seconds membres donneront la somme de travail des forces extérieures désignée par 2® F; enfin, les douze travaux des actions mutuelles se réuniront en six groupes binaires ,

S// + 5/,", + «te.,

dont chacun se réduira (ii4) ® un terme de la forme 5 et en représentant leur somme par on aura défini-

tivement l’équation

2 i «,«• - 2 î = 2 e-F H- 2 f/di, [88]

qui existe, quel que soit le nombre des points matériels du système. Ce nombre étant « , il y a n termes dans chacune des sommes du premier membre , à moins que quelques

SECT. III. CIIAP. I. § 4 -

points ne soient en repos; il y a n termes dans la somme de travail des forces extérieures à moins que certains

points ne soient en repos ou qu’ils ne soient sollicités seulement par les actions mutuelles, ce qui ne peut avoir lieu que lorsqu'on fait abstraction de la pesanteur dont l’action

pénètre toutes les parties des corps ; il y a ter

nies

dans l’expression du travail des actions mutuelles

si chaque point sollicite tous les autres ; si , au contraire , certains points n’exercent aucune action sur certains autres , pour ces points indifférents deux à deux, la valeur de f est

nulle , ainsi que son travail

290. Une remarque fort importante, c’est que, dans les cas ordinaires que présente la nature, les intensités des forces mutuelles représentées ci-dessus par f, ne dépendent pas du mouvement absolu du système, mais seulement du mouvement de ses divers éléments les uns par rapport aux autres; il en

est par conséquent de même des intégrales On peut

donc énoncer en ces termes l’équation [ 88 ] obtenue au numéro précédent :

Théoeème. V accroissement de la puissance vive d’un système matériel, entre deux situations quelconques , est égal au travail des forces extérieures entre ces deux situations , plus à celui des actions mutuelles , ce dernier dépendant uniquement de la nature du système et du mouvement relatif de ses parties.

Tel est le théorème général de la puissance vive d’un système matériel ou théorème de t effet du travail , l’une des propositions de la mécanique rationnelle les plus fécondes en déductions utiles.

291. Le cas le plus simple où le théorème général de l’effet du travail trouve son application est celui où le système considéré est supposé rigoureusement solide, ce qui, comme on l’a vu à la Hn du n° a 78 , est admissible pour les corps rigides soumis à des forces modérées. Il résulte de cette hypothès®

THÉORÈME DE Là PUISSàNCE VIVE.

que le travail total des actions mutuelles ce que tous les facteurs dl le sont. On a

donc alors l’equation

— 2jw'y„* = 2GF, [89]

<lans laquelle 2 ^ m'v et 2 ^ mv\ sont les sommes des puis-

sances vives finale et initiale, de tous les points du système, et 2 EF est la somme algébrique des travaux de toutes les forces extérieures pendant tout le temps considéré.

292. Un autre cas où l’équation [ 89 ] subsiste encore, est celui où le système est considéré comme composé de corps qui glissent les uns sur les autres sans compression ni frottement, et qui cessent d’agir mutuellement dès qu’ils s’écartent, de sorte que dans leuis mouvements il ne résulte de leurs actions mutuelles que des travaux qui se détruisent. L’expérience prouve que les liquides qui ne subissent pas de changements trop brusques de vitesse sont à peu près dans ce cas.