THÉOUÉME DU TRAVAIL VIRTUEL

sant sur nî un travail élémentaire que nous appellerons tra-^ vail virtuel , et la somme de tous ces travaux sera exactement nulle, parce que le travail total d’un nombre de forces appliquées à un même point est égal au travail de leur résultante (ai 5), et parce qu'ici la résultante des forces considérées comme appliquées au point m en mouvement est nulle. Nous aurons donc en remplaçant par la notation G, les mots travail virtuel ,

+G,/:, 4- g;/;,, + etc. = o. [loi]

En d'autres termes, si par la position du point m' du système on décrit un arc infiniment petit mV ou ds d’une direction quelconque, on a toujours la relation

F ds'cosÇF\ds)-\-Y,',ddcoi(F,Ws) -+- F4<is'cos(FM</r')+

ce qui est évident, puisque, par la suppression du facteur commun ds' , cette équation revient à dire que , lorsque plusieurs forces appliquées à un même point sont en équilibre, la somme algébrique de leurs projections sur un axe est nulle, quelque direction qu’on donne à cet axe (335).

Ce que nous venons de faire pour l’élément tn', fai$ons-le pour le reste du système , dont nous imaginerons que chaque point subisse un déplacement infiniment petit, qu’on peut d’abord supposer absolument quelconque, et par conséquent indépendant du mouvement idéal attribué aux autres points. Nous aurons ainsi pour chaque point une équation analogue à l’équation [toi] , savoir :

pour /«", G, F" -F G,/') + G./)', + etc. = o ,

pour G, F'" -F G,/" -F G,/;" + etc. = o ,

et ainsi de suite pour tous les éléments du système.

Ajoutons ensemble toutes ces équations , en réunissant dans une notation unique tous les travaux virtuels des forces extérieures, et dans une autre tons les travaux virtuels des forces intérieures; nous obtenons la formule générale

2G.F-F 2S./ = o, [loa]

qui signifie que la somme algébrique des travaux virtuels de toutes les forces tant extérieures qu'intérieures est nulle lorsque

Veqmlibre existe; formule que nous aurions pu écrire immédiatement, en vertu de l’état d’équilibre de chaque point, si nous n’avions préféré, pour plus de clarté, entrer dans les détails qui précèdent.

343. Maintenant, pour débarrasser la formule [loa] de la considération des forces intérieures, il suffit de remarquer que parmi tous les mouvements virtuels imaginables il en est une infinité dans lesquels le travail virtuel total des forces mutuelles est nul; tels sont ceux dans lesquels les distances mutuelles des éléments du système ne sont pas changées (269) ; en d’autres termes, tels sont les mouvements virtuels compatibles avec V hjrpothese de la parfaite solidité du système.

Si l’on réduit à ce seul genre les mouvements virtuels imprimés au système matériel , l’équation [loa] se réduit à celle-ci :

25,F = o. [io3]

C’est-à-dire que dans tout mouvement virtuel compatible avec l'hypothèse de la solidité parfaite du système, la somme algébrique des travaux virtuels des forces extérieures est nulle, lorsque l’équilibre existe. Telle est la formule annoncée à la fin du n° 341.

344. La réciproque de cette proposition ne serait pas vraie, si on l’appliquait à des corps flexibles , ou plus généralement à des systèmes susceptibles de changements de figure sous l’action des forces extérieures ; par exemple , un tel système soumis à deux forces égales et directement opposées peut n’étre pas en équilibre, bien que la condition de la formule [io3] soit alors satisfaite (117).

Mais si l’on admet l’existence de corps parfaitement solides> la réciproque de la proposition fondamentale qui vient d’être énoncée est exacte , c’est-à-dire que :

Pour qu'un corps solide soit en équilibre, c’est-à-dire, pour que d’abord en repos il y persiste, il suffit que dans tous les mouvements hypothétiques de ce corps, le travail total des forces extérieures soit nul.

En effet , si ce corps , supposé d’abord en repos, se mettait en mouvement , il acquerrait dans un temps très-courl une

ÉQUATIONS U’ÉQUILIBRK DÉDUITKS UE LA TRANSLATION. 221

puissance vive très-petite mais réelle, ce qui est impossible (290), puisque le travail total des forces extérieures serait nul d'après l'énoncé , et que le travail des forces intérieures mutuelles serait également nul , d’après l’hypothèse de la solidité du système (291).

345. Les deux propositions qui viennent d'étre démontrées se résument dans les ternies suivants :