Déplacements relatifs s théorème de €orioli
— Imaginons deux lois de déplacement simultanées déterminées dans les conditions suivantes :
La première, que nous désignerons comme loi du déplacement relatifs est une loi, quelconque d'ailleurs, qui ferait décrire à un point donné m la trajectoire G (m, m', m/\ m!".,, m*) si elle agissait seule ;
La seconde, que nous appellerons loi du déplacement d' entrai-
nemeni^ définit un déplacement d'ensemble qui, appliqué à la courbe G, par exemple, l'amènera successivement en GjG,G,...G^ en faisant décrire à ses différents points des trajectoires telles que:
m, mj, rrij wi»-i winj
m',m\,m'j m'^im'n,
etc.
Nous supposerons que cette seconde loi entraine non seule-
l'espace, mais aussi les axes par rapport lot est définie, eo sorte que lorsque le point B m eTi m' par le déplacement relatif, est léplacement d'entraînement, la loi du mouinée pour la seconde fois, lui communique, lent qu'elle aurait donné pour le point m,', si portée aux mêmes axes fixes, mais bien un , qui n'est autre que le déplacement m'm" , par le mouvement d'entrainement.
itions qui existent entre les vitesses et les mouvement relatif, le mouvement d'entraîment résultant, qu'où appelle dans ce cas
imédiatement la relation entre les vitesses.
m, ne peuvent différer par raison de continent petit d'ordre supérieur.
dt dl ^ dt
iilesse absolue est égale à la somm£ géoméelative et de la vitesse d'entraînement. es vitesses la relation est la même que dans ultanés ordinaires, et il n'est pas surprenant puisque c'est seulement pendant le second le la différence résultant des définitions préà se faire sentir.
i relation générale entre les accélérations, iblir deux formules préliminaires (*j.
qui Buivent, nous avons racours pour simpliBer A étriqué A trois dimeiuions; mais comme il ne s'agit
CINÉMATIQUE 73
Si un point m de rayon w a un mouvement déterminé et connu, u est une certaine fonction géométrique connue du temps t, car en désignant par A, i, j l'unité portée suivant trois axes rectangulaires OX, OY, OZ, et par x, y, z les coordonnées du point relatives à ces axes, on a, en désignant par <p, <|/ et ^ trois fonctions connues :
d'où
x = ?(0 y = ^t) z=yi(t),
« = a;A + yi + zJ = (p(0;i + »KOi + x(OJ-
La vitesse et les accélérations successives du point m sont les dérivées géométriques successives de u par rapport au temps pris comme variable indépendante.
Mais d'après une formule d'Analyse {Calcul différentiel^ S ""S) applicable aux grandeurs géométriques, si l'on «désigne par Du l'accroissement total de la fonction u après un temps fini D^
Telle est la première formule que nous nous proposions d'étabUr f).
jamais dans ces calculs que d'additions ou de soustractions, portant sur des quantités finies ou infiniment petites, l'emploi de ce mode de calcul se trouve absolument justifié {Calcul différentielj § 128).
n La formule (a) étant établie pour un point isolé, il ne peut y avoir
aucune ambiguïté sur la signification des coefficients différentiels --TTf -ti%" qui
représentent la vitesse et les accélérations de ce point mobile. Si Ton avait à rappliquer dans le cas d'une loi de déplacement s'élendant aux différents points du plan ou de l'espace, il faudrait se garder de confondre les quantités
avec les expressions
dt\dt) di\dt*J
indeur géométrique ta est entraînée dans un mouvenble, cette grandeur w est une fonction géométrique ir si l'on désigne par x, y, :, œ, y', s' les coordonnées dites rapportées àtroisaxesOX, OY, OZ, ces sixcoortdesfonctionsdu temps supposées connues, eti'ona:
sidère les variations de w pendant plusieurs éléments nsécutifs, on pourra former les diflférentielles suci*w, SV... de cette grandeur et, en les divisant par ;s correspondantes de dt, on obtiendra les coefficients
Bu» 3'w 6'w di' Ip' dï"'"
jellerons, pour simplifier, dérivées de la grandeur ty, temps Df, la variation totale Au; de to pourra se par la formule d'Analyse que nous avons déjà l'on aura ainsi :
\dl) "' ^ \dt')l.Èr [dt'J 1.2.3. ^ *'
raieot les vitesses des poiats •y*°''j7' "j7i' * " P""' rayons
ns k répéter, au sujet de celle formule, l'observation déjà mule précédente (a) : les quanlités
dï dï*" dî*"
s dérivées successives de la grandeur w, et Ton doit se ^rder -y par exemple avec -r- (-77) qui représenterait la dérivée
grandeur ( — j entraînée dans le monTemenl.
CINÉMATIQUE
Les deux formules (a) et (g) une fois établies, revenons à la question du mouvement relatif et reprenons la figure précédente en la réduisant à ses points extrêmes.
Le triangle mm^ml donne la relation géométrique :
mnu = mmn + TnnWïn-
Notons par les lettres D', D^ et 7^ les différentielles du rayon vecteur d'un point lors- ^
qu'on suppose ce point séparément soumis au mouvement relatif, au mouvement d'entraînement et au mouvement absolu. Désignons par D', D^ et D les accroissements finis correspondants aux mêmes hypothèses ; notons enfin par 8 et A les variations infiniment petites et finies d'une quantité géométrique soumise au mouvement d'entraînement.
La relation (1), où l'on introduit ces notations, s'écrit, en appelant u le rayon vecteur du point m,
Du = DjU + mnmn.
Mais la grandeur géométrique m^ml n'est autre que la corde mm" de la courbe C, qui a été entraînée avec cette courbe dans le mouvement d'entraînement et transportée ainsi dans la position m^rrin : elle est donc égale à
D'u + AIVit, en sorte que l'équation (1) revient à :
(1/) Du = DjU + D'u -h A D'u.
COURS DE «eCANIflUE RATIOIfflELLE
plaçons actuellement Dm, D'u et D,« par leurs développei' après la formule (a) ; il vient :
^WJÛÎ lïTJ °'+^.-3ilJ 1.2 + Vjiïj i.!.3.
^(w-jîTT.-''"=)+ [7;:) ''' + \d?) rj. + ydF) nrï: \+' [(>■«)'"+ (>3irJrr+ (.-ïïî-J ïH^
' À d'une somme géométrique étant évidemment égal è, me des A de ses parties, le dernier terme du second î se décompose en une somme de termes qui peuvent à ar être développés, par la formule {&}, de la manière sui-
\dt'Jui.~ dl\dt'Jt.i.'"'
de suite.
livers développements pourront être pousses sans aucune ;é jusqu'à la limite qu'on voudra leur assigner. En int aux termes en D(' et portant dans l'équation (2), on
/m 5i^ r\dîr'*\d!'ii.i.^\di')i.i.2.+
'■{dt-l 1.2.3. +■■- +lfïhVr-+-l'2^'l-2^--
^Vd'vi.a.
>/J2ï\DP + <llUlVl.2.*
) équation devant être vérifiée pour toute valeur de D(, onclut que les coefficients des puissances semblables de Df i être respectivement égaux dans les deux membres, ce
CINÉMATIQUE 77
qui fournit les relations
^*' * d«*"" dt*'^ dt*^^ dt
"Mï.M:
dt "■ dr»"*" d(» "^^dt* • " df f
et ainsi de suite.
La loi de formation de ces équations est très simple et apparaît déjà sur les trois premières.
La formule générale à laquelle on est conduit peut s*écrire sous la forme symbolique
dr dt""
en convenant de remplacer dans le développement du second membre les exposants par des indices de différentiation et -r-^
Cette formule résout complètement la question que nous nous étions proposée.
Pour les vitesses et les deux premières accélérations, les résultats obtenus peuvent s'énoncer en langage ordinaire de la manière suivante :
1" La vitesse absolue est la somme géométrique de la vitesse relative et de la vitesse d'entraînement;
2* L accélération absolue est la sormne géométrique de V accélération relative^ de V accélération d' entraînement et de deux fois la dérivée de la vitesse relative entraînée dans le mouvement d'entrainement.
Ce dernier terme a reçu le nom d'accélération complémentaire^ et la relation que nous venons d'énoncer constitue le théorème de Coriolis;
niraceélération absolite est égale à la somme géométrique i •accélÉralion relative, de la suraccélération d'entraînetrois fois la dérivée première de l'accélération relative s fois la dérivée seconde de la vitesse relative.
BxpreMrfon de Fa«M^lératlon complémemtalre.
:élëratioD complémentaire, d'après sa définition, est double quotient par dt de la variation infiniment petite andeur géométrique V égale à la vitesse relative et i dans le mouvement d'entraînement, luvement devant se réduire, comme tout mouvement )le, à un simple mouvement hélicoïdal, et la translation pour V une variation nulle, on n'aura à s'occuper que itation pour la détermination de l'accélération complé-
' la vitesse de cette rotation et L l'axe autour duquel elle s'effectue : menons par un point de cet axe ZKjégalàV, et désignons par «l'angle K^L. Le déplacement infiniment petit KK' du point K, entraîné dans la rotation, sera, en désignant par KA la perpendiculaire abaissée de K sur l'axe et paru' la grandeur de V :
La grandeur de l'accélération complément^re est donc
•ection est perpendiculaire au plan défini par l'axe L et irection de la vitesse relative.
Es l'expression que nous venons d'établir, on reconnut icéiération complémentaire s'annule dans les trois cas
la vitesse relative v' est nulle ;
fJ^T I
CINÉMATIQUE
2* Si cette vitesse est parallèle à Taxe instantané d'entraînement, car alors Sina est nul;
3^ Si le mouvement d'entraînement est une translation, car alors (i» = 0.
4141. Autre démoiuitratloii du théorème de Corlo-
110. — Si, au lieu de rechercher la liaison générale entre les accélérations dans les mouvements considérés, on se propose simplement la démonstration du théorème de Goriolis, on peut établir directement cette démonstration de la manière suivante :
On a vu que, dans le mouvement d'un point, la déviation
représentait, au facteur -pr près, Taccélération en direction et
at
en grandeur.
Soient mK et mC les courbes que décrirait le point m s'il n'était soumis qu'au mouvement d'entraînement ou au mouvement relatif, mH celle qu'il décrit en réalité par l'effet du mouvement absolu. Soient V, , V et V les grandeurs de ses vitesses dans ces trois mouvements, m^, m' et ml les positions qu'il devra occuper au bout du temps dt sur ces trois trajectoires.
Si nous portons sur les tangentes respectives aux courbes mK et mC des longueurs mt^ et mlf égales à y^dt et
Vdtj t^m^ et ifm' représenteront la déviation d^ entraînement et la déviation relative. Mais la vitesse absolue étant la résultante de
relative et de la vitesse d'entrainemeot, ea formant le p'amme mt't',t^, nous obtiendrons une longueur mf, égale à Vrf( portée sur la tangente à la trajectoire absolue mH, en sorte que t[m', représentera la déviation absolu.
On sait, d'autre part, que le déplacement du point m en mi peut s'obtenir en amenant sa trajectoire relative de la position mwï'C à la position m,m,'C, par le mouvement d'entrainement.
Ce dernier déplacement peut être produit par une translation égale à '""x^ mm, qui amène mm'C
en mj[jir, puis par une utour d'un certain axe L passant par m^. Si l'on mène ent par (' une droite ('t égale et parallèle à mm,, on le parallélogramme m'\i.tt' :
T[. = Cm
= la déviation relative,
jalité des triangles t'i'ix, mt,m, :
C, T = /, m, = la déviation d'entraîDement.
iation absolue t',m', est donc la somme géométrique des itités t'ic (déviation d'entraînement), t[ji (déviation relarnij que nous désignerons soua le nom de déviation ntaire.
e dernière quantité n'est autre chose que le déplacepoint {£ amené en m[ par la rotation autour de l'axe L,
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OU, si l'on préfère, c'est la variation géométrique de la grandeur mm! amenée en m^m[ par l'effet de Tentraînement. Mais mm', déplacement élémentaire du point m dans le mouvement relatif, est égal, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur, à Ydt : si «donc on désigne par a l'angle de la vitesse relative avec Taxe L et par cd la vitesse angulaire d'entraînement, on est conduit pour la déviation complémentaire à l'expression
w v' sin a dt*.
En substituant ensuite aux déviations les accélérations correspondantes, on retrouve la relation de Goriolis telle que nous lavons établie au paragraphe précédent.
415. DéterminatioD des composantes de Paccélératioo ^sompléineiilaire suivant trois ax.es rectan* sulatresi. — Supposons le mouvement rapporté à trois axes rectangulaires 0 (X, Y, Z) ; reprenons la figure de l'avant-dernier paragraphe et menons par le point ^ l^yl'^yK parallèles aux axes. A la rotation tùdt autour de l'axe L, nous pouvons substituer trois rotations simultanées pdtj qdt, rdiy projections de iùdt sur les parallèles aux axes.
Evaluons le déplacement d'un point quelconque (Ç, y), Ç) rapporté
aux axes iÇ, Ztj, X et entraîné par les rotations pdt^ qdt^ rdt, autour de ces axes.
La rotation pdt autour de l^ donne :
Pour i la variation 0 » T) > — ^pdt
> Ç > +7) pdt.
fînimeat petits dus aux rotations gdl, rdt, impie permutation tournante.
■ Il la vsriaUon 0 E » +Kqdt.
ur ï la variation 0
. £ > —-nrdl
* -n > + E Tdl.
les variations totales des coordonnées du dans la rotation indt sont les sommes 003 précédentes, c'est-à-dire qu'on aura ;
dT) = (ïr— ïpjdf,
dï=(^p-eg)dt.
at général au cas particulier du point^K,
-^) -T- les composantes suivant OX, OY
ilative, et nous trouverons ainsi pour les lération complémentaire suivant les [trois
■■ I — — ■ mr
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