G. DÉPLACEMENTS SIMULTANÉS ET RELATIFS

3S. liois de déplacement t définitions générales % déplacements d'ensemble. — Nous entendrons par loi de déplacement en général une condition, quelconque d'ailleurs, qui détermine à chaque époque le mouvement de chaque point de l'espace.

Cette condition doit pouvoir se traduire par une relation ana-

(•) Angle de X et de XV

lytique faisant connaître les accroissements différentiels Drc, ^y et 2)2 que subissent à une époque donnée les coordonnées d'un point lorsque ces coordonnées x, y, z et Tépoque t sont arbitrairement choisies.

Une loi de déplacement est dite plane lorsqu'elle ne s'étend qu'aux points d'un plan et qu'elle ne les fait pas sortir de ce plan.

Le roulement d'une courbe plane mobile sur une courbe plane fixe, si l'on suppose tous les points du plan invariablement liés à la courbe mobile et entraînés avec elle, constitue une loi de déplacement plane que nous venons d'étudier dans le précédent chapitre.

Nous appellerons déplacements d'ensemble les déplacements qui laissent invariables les distances respectives de tous les points : le déplacement qu'on vient de citer en exemple rentre par conséquent dans ce cas.

Pour préciser cç qui vient d'être dit, nous examinerons spécialement le cas d'un déplacement plan et nous supposerons pour simplifier que la loi de déplacement donnée puisse s'exprimer par une relation géométrique de la forme suivante :

(1) 2)u = 9(u,OdM*).

(*) C*est ce qui a lieu dans le cas d'un déplacement d'ensemble.

La forme de la fonction 9 est alors facile à déterminer. On sait en effet, d'après ce qui précède, que le déplacement élémentaire d*un point quelconque est égal à

(u — Uo)fii i dty

u étant la vitesse angulaire du déplacement et Uo le rayon du point du plan qui est centre instantané à Tinstant qu'on considère : b> est donc une fonction algébrique de t et Uo en est une fonction géométrique. Ces deux fonctions peuvent être quelconques d'ailleurs.

Si Ton veut mettre la yarjable t en évidence, désignant par f une fonction algébrique et par F une fonction géométrique, on aura

^u = [u-F(0]/'(0id^ équation qui rentre bien dans le type ci-dessus.

CINÉMATIQUE o7

Cette équation donne, à chaque époque t, le déplacement î)ti ou

mm que prend pendant le temps dt un point m de rayon vecteur ti. La vitesse de ce point est donc la grandeur géométrique

Si l'on veut avoir son accélératioUj il fa/ut suivre le point dans son mouvement, c'est-à-dire qu'il faut pendant l'instant suivant appliquer la relation (2) au temps t + dt et au point w+<>^« On trouve ainsi :

(3) c)V = ?'„ ^u + 9', dt,

et si ron remplace ^u par sa valeur Ydt et DV par Tdt, iï vient :

Mais Y étant, d'après la relation (2), une fonction de u et de t, on conçoit qu'on puisse prendre son accroissement différentiel cîV correspondant à des accroissements de w et de ^ absolument arbitraires.

On trouve ainsi, par la règle de la différentiation totale :

(5) dV = 9'u du -f 9', dt,

formule qui donne V accroissement de vitesse lorsqu'on passe d'une époque t à une époque t-{-dt et d'un point u du système à un autre point u-\-du. Cette formule, où nous avons eu soin de noter l'accroissement différentiel de V par une lettre différente de celle employée précédemment, ne se ramène à la formule (3) que si l'on y attribue à du la valeur ^u définie par la loi de déplacement.

Toute cette discussion s'étend d'ailleurs sans diflBculté au cas d'une loi de déplacement absolument quelconque, exprimée par exemple par les trois relations algébriques suivantes :

•^•vr

c)x = <?(a;, y, r, 0 dt Dy = <!» (x,y, z, 0 dt

et, comme nous Tavons déjà remarqué, l'hypothèse d'un déplacement plan et d'une relation géométrique unique n'a eu d'autre but que de simplifier les écritures et l'énoncé du raisonnement.

Soit maintenant le cas particulier d'une loi de déplacement d'ensemble, et considérons à une époque t une certaine grandeur géométrique mn ou w entraînée dans le mouvement. Désignons par 8 la variation infiniment petite de cette grandeur géométrique pendant le temps dt; il est évident d'abord que cette variation est indépendante de la position de mn dans l'espace, et ne dépend absolument que de sa grandeur géométrique, puisque deux droites mn, m'n' égales et parallèles à un moment du déplacement restent constamment égales et parallèles.

Soient uetti les rayons vecteurs des points m et n, où aura évidemment

au et Du' désignant comme précédemment les variations élémentaires que la loi du déplacement attribue aux rayons vecteurs u

et w' n.

3G. Lois de déplacement simultanées* — L'existence simultanée de deux lois de déplacement doit être entendue de la manière suivante :

Un point m, par le fait d'une première loi de déplacement, se transporterait de m en m' pendant le temps dt, et pendant ce

(*) Il est important de remarquer que l'accroissement Bw que nous venons

de définir est très diJQTérent de ^ w. Si Ton mène en effet par l'origine Ôq égal et parallèle à mn, dw sera le déplacement du point q ainsi obtenu, en sorte qu'en désignant par dO le déplacement du point origine, on aura :

8w = Sw — <)0.

CINÉMATIQUE 59

même temps dt, par le fait d'une seconde loi, il recevrait le déplacement mm''. — Appliquons - lui suoessivement les deux lois de déplacement : la première Tamènera en m', la seconde le transportera de m' en m^. Mais à cause de la continuité^ m'm^ ne doit différer de mm" que d'une quantité géométrique négligeable comme infiniment petit ^^^^m:' d'ordre supérieur. On peut donc dire que le ""^<^ ---^-ixi^ déplacement total mm^ reçu par le point m in;

est la somme géométrique des déplacements qu'il prendrait si chaque loi de déplacement lui était appliquée séparément, et l'on voit que l'ordre dans lequel on applique les deux lois est indifférent au résultat.

On étendra sans difficulté ce qui vient d'être dit à un nombre quelconque de lois de déplacement simultanées. Les déplacements élémentaires dus à chaque loi sont dits déplacements cornposants : on appelle déplacement résultant le déplacement total.

37. Ck>iiipo8itioii des déplacements simultanés élémentaires. — Dans le cas où l'on ne considère que des déplacements élémentaires, c'est-à-dire correspondant à un seul élément de temps d/, on peut énoncer immédiatement le théorème suivant qui résulte de la définition même que l'on vient de donner :

La vitesse résultante est la somme géométrique des vitesses composantes.

En effet ces vitesses s'obtiennent en divisant simplement par dt les déplacements correspondants.

Ce théorème, applicable à un nombre quelconque de déplacements simultanés, fournit déjà d'importantes applications géométriques et mécaniques.

3S. Application aniL déplacements simultanés d*iin système invariable. — L'application simultanée de plusieurs déplacements d'ensemble à un système de points pendant un temps élémentaire doit produire évidemment un déplacement résultant d'ensemble, puisqu'aucun des déplacements composants ne modifie les distances respectives des points ; la

question que nous nous proposons de résoudre consiste à déterminer la nature de la loi du déplacement élémentaire résultant lorsque les déplacements composants sont connus.

a) Cas de deux translations. — Supposons d'abord deux

déplacements d'ensemble qui soient tous deux

f ' 'P^ des translations j c'est-à-dire qui donnent pour

y J^ ! tous les points de l'espace à l'instant considéré

L^ des vitesses respectivement égales et parallèles

à V et V : il est clair que le déplacement résultant sera également une translation dont la vitesse Y^ sera la somme des vitesses des deux translations composantes.

On composerait de la même manière un nombre quelconque de translations simultanées.

b) Cas de deux rotations autour d'axes parallèles, — Soient

maintenant deux rotations élémentaires simultanées autour d'axes

parallèles. Choisissons le

""~^ —-- -^ plan de la figure perpen-

ô 0 ô' diculaire aux deux axes qui

se projettent alors en 0 et 0'. Soient «o et w' les vitesses angulaires des deux rotations que nous supposerons de même sens. Considérons un point 0^ tellement situé sur 00' que

wx00i = co'x040'.

On voit, par la composition des vitesses, que le point 0^ restera immobile, et comme le plan choisi pour plan du tableau, tout en ayant une direction fixe, est indéterminé de situation, il s'ensuit que tous les points situés sur la parallèle aux deux axes menée par 0^ resteront immobiles.

On voit ainsi que le mouvement élémentaire résultant peut être obtenu par une rotation unique autour de Taxe 0^.

La vitesse û de cette rotation est facile à déterminer en écrivant que le déplacement d'un point est le môme soit qu'on lui

CINÉMATIQUE 61

applique les deux déplacements simultanés, soit qu'on les remplace par le déplacement résultant unique. Choisissant le point 0' pour plus de simplicité, on trouve :

d'où, à cause (

Ce résultat est général, quel que soit d'ailleurs le sens des rotations, à la condition d'attribuer à u, <»' et Q des signes convenables ainsi qu'aux segments 00, et 0,0'.

Dn cas particulier doit être remarqué : c'est celui où w étant égal à — (i)' on trouverait Û égal à zéro et le point 0, rejeté à l'infîni. Mais dans ce cas tous les points des axes 0 et 0' ayant des vitesses égales et parallèles, on voit immédiatement (S H) qu'il en sera de même pour tous les points du système et que le déplacement résultant se réduit à une simple translation dont la grandeur est u 00'.

Ainsi, une translation peut toujours être considérée comme équivalente à un couple de rotations simultanées, c'est-à-dire à deux rota- -^ tions égales s'effectuant en sens inverse autour d'axes parallèles. Si l'on représente cesrotatioasparlesgrandeursOX, 0^' portées sur leurs axes, les points o 0 et 0' étant choisis sur une perpendiculaire commune à ces axes, la translation équivalente, ayant pour grandeur ux OC, se trouvera représentée en grandeur par l'aire du parallélogramme OXOTC' et en direction par une perpendiculaire au plan de cette aire.

On voit donc qu'au point de vue du mouvement résultant deux

couples pourront toujours être substitués l'un à l'autre pourvu que leurs plans soient parallèles et que les aires de leurs parallélogrammes soient égales. On voit aussi X qu'on peut toujours transporter paral-

lèlement à elle-même une rotation figurée par son axe représentatif OS de manière à l'amener dans une position " quelconque 0^', à la condition de lui

adjoindre une translation convenable perpendiculaire à sa direction.

En effet, oo peut sans changer le mou- ' veraent résultant ajouter au système de déplacements donné deux rotations égales et opposées CX' et O'X, dont l'effet est nul ; et l'on est libre ensuite de considérer le système des trois rotations OX, O'X', O'X, comme formé de la rotation O'X' et du couple OX, O'X, équivalent à une translation perpendiculaire à O'X'.

c] Cas d'une rotation et d'une translation perpendiculaire à l'axe de la rotation. — Passons au cas d'une '-^'^ rotation et d'une translation élémentaire simultanées et supposons d'abord la translation perpendiculaire à l'aze de la rotation. Gboisissons comme précédemment un plan perpendiculaire à l'axe, et soit 0 le pied de cet axe : la translation sera représentée alors par une certaine vitesse Y située dans le plan de la figure. Considérons un point 0, pris sur la perpendiculfùre à V menée par 0, à une distance telle que

Le point G, restera immobile et il en sera de mdme de tous les points d'un axe passant par 0, et parallèle & l'axe 0. Donc le mouvement élémentaire sera une rotation autour de cet axe 0, et la vitesse de cette rotation sera u, comme on le reconnaît aisé-

CINÉMATIQUE

ment en évaluant le déplacement d'un point, le point 0 par exemple (*).

d) Cas de deux rotations autour d'axes concourants. — Prenons pour plan de la figure le plan des deux axes X et X' : soient a> et o)' les vitesses de rotation correspondantes. Portons sur ces deux axes des longueurs Oi, Ot' égales à ces vitesses de rotation et dans des sens tels qu'un observateurayantsatêteenioui'et ses pieds en 0, voie les deux rotations s'effectuer dans le même sens, de droite à gauche par exemple.

Formons le parallélogramme Oimi. Il est facile de voir que le point m restera immobile, les deux rotations lui imprimant des déplacements

élémentaires égaux et contraires (car ces déplacements (o X mp dt

et îJ X mp' dt représentent l'aire du même parallélogramme Oimf multipliée par l'élément de temps dt).

Le système a donc deux points immobiles, 0 et m. Son déplacement résultant est donc une rotation élémentaire autour de Om et la vitesse de cette rotation est précisément mesurée par Om : car si nous exprimons que le déplacement du point i est le même par cette rotation résultante que par les deux rotations composantes, nous trouvons :

û. f V = (0. i'q = aire du parallélogramme Oimi\

Par suite û. tV est le double de l'aire du triangle Om»', c'està-dire que û = Om.

(*) Ce résultat se dédait d'ailleurs immédiatement des considérations développées à la fin du dernier paragraphe.

On voit donc que les rotations élémentaires concourantes se composent entre elles par une simple addition géométrique de leurs axes représentatifs.

Cette méthode de composition s*étendrait sans difficulté à un nombre de rotations quelconque.

Elle permet de retrouver comme cas limite la solution précédemment obtenue dans le cas des axes parallèles.

e) Cas d'une rotation et d'une translation non perpendiculaire à Vaxe de la rotation. — On peut considérer la translation comme résultant de la composition de deux translations élémentaires simultanées, Tune parallèle et l'autre perpendiculaire à Taxe de la rotation. Cette dernière composée avec la rotation ne change pas la grandeur de cette rotation et transporte seulement son axe parallèlement à lui-même. Composant alors cette rotation ainsi modifiée avec la translation qui est parallèle à son axe, on obtient, comme nous Tavons déjà vu, un mouvement hélicoïdal élémentaire.

f) Cas de deux rotations dont les axes ne sont ni concowrants ni parallèles. — On peut par l'adjonction d'une translation convenable déplacer Tun des axes de rotation jusqu'à l'amener à rencontrer le second axe : il suffit de corriger le changement ainsi apporté au déplacement du système en ajoutant une translation égale et contraire à la première.

Cette dernière translation subsiste alors avec la rotation résultant de la composition des deux rotations données devenues concourantes. On retombe ainsi dans le cas précédent et l'on obtient un mouvement hélicoïdal.

g) Cas général d'un nombre quelconque de mouvements élémentaires simultanés : emploi des couples de rotation. — Le mouvement élémentaire le plus général étant, comme on l'a vu, un mouvement hélicoïdal, ce mouvement peut toujours se décomposer en une rotation et une translation simultanées.

L'ensemble de tous les mouvements simultanés en nombre quelconque et d'espèce quelconque que Ton peut supposer, se réduira

CINÉMATIQUE

donc à un certain nombre de translations et un certain nombre de rotations. On pourra toujours, d'après ce qu'on vient de voir, remplacer ce système par une rotation unique et une translation unique, et ces deux derniers mouvements se composeront finalement en un mouvement unique hélicoïdal dont la grandeur et la direction se trouveront ainsi déterminées.

La considération des couples de rotation permet de simplifier cette détermination.

En effet, par Taddition de translations convenables, on pourra toujours, comme on Ta remarqué, transporter les rotations données parallèlement à ellesmêmes sans changer leurs grandeurs , de manière à les appliquer en un point a arbitrairement choisi. Toutes ces rotations or, ar*

ar ....

pourront être

alors remplacées par une résultante unique aR qui n'est autre que la somme géométrique des rotations primitivement données.

De même toutes les translations aï, at\ af ,,, introduites par le transport des rotations ou primitivement données peuvent être composées en une translation unique aT égale à leur somme géométrique et décomposable à son tour en deux composantes, Tune aT, parallèle à aR, l'autre aT^ perpendiculaire à cette direction.

La translation aT^ composée avec la rotation aR transporte cette rotation parallèlement à elle-même et sans changer sa grandeur dans une position telle que a'R', et cette dernière rotation, composée avec la translation aT, qui n'a pas été modifiée, constitue le mouvement hélicoïdal résultant. .

if

39. Application à. l'évaluation de la vitesse d'un point dans différents systèmes de coordonnées.

— La grandeur de la vitesse étant égale, comme on Ta vu,

ds à T-» pour obtenir son expression en fonction des différentielles (tt

des coordonnées du point mobile, il suffit évidemment d'évaluer ds dans chaque système de coordonnées en fonction de ces différentielles. Mais la composition des mouvements élémentaires simultanés permet d'arriver d'une autre manière au même résultat.

Ainsi en coordonnées rectangulaires^ on peut imaginer que le déplacement élémentaire d'un point x, y^z^ soit dû à trois translations simultanées dx^ dy, dz^ parallèles aux trois axes : les vitesses relatives à ces trois translations sont :

•rr suivant OX > ai

^ suivant OY , al

-jT suivant OZ > dt

et la vitesse résultante, qui sera leur somme géométrique, aura pour grandeur

dt

Soit maintenant un point dont le mouvement plan est rapporté à des coordonnées polaires.

Le mouvement élémentaire de ce point pourra être considéré comme résultant d'un mouvement de rotation d'ensemble autour de 0 dont la

vitesse angulaire serait -jr ^^

d'un autre mouvement élémentaire dans lequel le point m se déplacerait d'une quantité dr suivant le rayon vecteur qui le

CINEMATIQUE

joint à Torigine; la vitesse du point m dans ce dernier mouvement

dr serait — dirigé suivant Om.

La vitesse résultante sera donc la somme géométrique de

mu

di dr

suivant la perpendiculaire à Om,

mu' == -rr suivant Om, dt '

et sa grandeur sera

\/r5dê*Tdp

dt

Coordonnées polaires dans Vespace. — Un point m est défini dans l'espace par le rayon r de la sphère de centre 0 sur laquelle il se trouve, sa longitude XQp ou ç et sa latitude pOm ou 0.

Considérons son mouvement élémentaire comme résultant de trois mouvements simultanés :

Le premier, une rotation d'ensemble d<^ autour de OZ donnant pour m une vitesse mu perpendiculaire au plan méridien et égale

dt

à "\ ^ ourcosô-i^;

dt

Le second, un mouvement par lequel le point m se déplace sur son méridien de manière à augmenter de âfO sa latitude. La vitesse mu' due à ce mouvement sera dirigée tangentiellement au méridien pz et égale à r -i- ;

Le troisième enfin, un mouvement par lequel le point m se

déplace de dr sur son rayon vecteur; la vitesse mu" due à ce

dr dernier mouvement est égale ^-y;^^ dirigée suivant Om.

La vitesse résultante sera la somme géométrique de ces trois composantes rectangulaires, et sa grandeur sera :

fç:-

4IO. Métliode de Roberval pour le trwk/eé des tan- Senteeu — Souvent lorsqu'un point décrit une courbe suivant une loi connue, la décomposition de son mouvement élémentaire en mouvements composants simultanés permet d'arriver simplement à la connaissance de sa vitesse et par suite de la tangente à sa trajectoire.

Considérons par e^çemple le point mdécrivantrenip^e de foyers

fetf*. Soient r et r les grandeurs des rayons vecteurs /m, /•'m.

Rapportons d'abord le mouvement à l'axe ff* et au foyer /, en coordonnées polaires, et décomposons ce mouvement comme nous l'avons fait au paragraphe précédent pour évaluer la vitesse dans un pareil système de coordonnées.

Nous reconnaîtrons ainsi que la projection orthogonale de la

vitesse inconnue sur le rayon /m doit être égale à -t--

En raisonnant de la même manière sur le même mouvement

rapporté au foyer f, nous verrons que cette même vitesse a pour

, dr' projection orthogonale -i— sur le rayon vecteur fm.

Mais d'après la propriété de l'ellipse

r 4- 7'' = constante,

donc

dr dt

dr^

dt '

rt

CINÉMATIQUE

La vitesse du point m qui a des projections égales et de signes contraires sur les deux rayons vecteurs doit donc être dirigée suivant la bissectrice de Tangle extérieur de ces rayons.

Un raisonnement tout analogue s* appliquerait aux deux autres courbes du second degré.

On peut encore, par Tapplication de cette méthode, déterminer très simplement la tangente à la cycloîde.

Pour cela considérons le mouvement élémentaire du point m décrivant la cycloïde comme résultant d*une translation élémentaire iùvdt dirigée suivant OX et d'une rotation élémentaire iùdt autour du point C.

Les deux vitesses composantes mu, mvl correspondant à ces deux mouvements simultanés sont égales entre elles et dirigées l'une suivant la parallèle à OX, l'autre suivant la tangente au cercle : la vitesse résultante dirigée suivant la tangente à la cycloïde est donc la bissectrice de Tangle itmu', c'est-à-dire que sa direction passe par l'extrémité b du diamètre vertical du cercle, résultat conforme à celui quia été obtenu dans le Cou^^s d'Analyse.

4kt. Composition des déplAcements siiuiiltaiiés considérés pendant plusieurs éléments de temps eonsécutilb. — Cherchons actuellement à nous rendre compte de ce qui se passe lorsque les lois de déplacement simultanées sont appliquées pendant plusieurs éléments de temps consécutifs.

Supposons deux lois de déplacement loo^ simultanées : ce que nous dirons s'étendrait d'ailleurs sans difiBculté au cas de inT lois plus nombreuses.

Pendant le premier élément de temps, ^^ °^

c'est-à-dire de l'époque t à l'époque t -|- dt, le déplacement mm^ ou du du point m est, comme on l'a vu, la somme géométrique

des déplacements mmf ou D w et m'm^ ou Yu que prendrait le

point m par Tapplication, pendant cet élément de temps, de la première et de la seconde loi composantes.

Pendant le second élément de temps, de Tépoque ^ + d^ à Tépoque t + 2dt^ le déplacement m^m^ ou 'bu^ sera de même la somme des déplacements m,m'j ou Wu^ etm'jm, o\xyu^ attribués au point m^ par les deux lois siumultanées pendant ce deuxième élément de temps. Et ainsi de suite.

On a donc les relations géométriques

d'où par soustraction et en divisant par di^ les différences qui sont du deuxième ordre :

Mais tandis que le premier membre de cette équation représente V accélération résultante parce que la différence Du^ — 'hu qui figure en numérateur est la variation des déplacements infiniment petits d'un même point suivi dans son mouvement pendant deux éléments de temps consécutifs, il n'en est pas de même pour les deux termes du second membre.

En nous reportant à ce qui a été dit au paragraphe 3S sur les lois de déplacement en général, nous reconnaîtrons dans ces termes, non plus les accélérations d'un point, mais le quotient par dt d'une variation de vitesse obtenue en changeant à la fois de point et d'époque.

Cette remarque montre que la liaison entre Taccélération d'un point dans le déplacement résultant et celles qu'il prendrait dans chacun des déplacements composants est loin d'être aussi simple que la relation établie entre les vitesses correspondantes.

Nous n'insisterons pas d'ailleurs sur cette question qui offre

CINÉMATIQUE

peu d'intérêt, et nous aborderons immédiatement Tétude bien plus importante des mouvements relatifs.