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ÉTUDE DES FORGES -^ STATIQUE ET DYNAMIQUE IdS

La coûnaissance de Taxe de son moment par rapport À un point complète sa détermination , en ce sens qu'elle fait connaître la droite de l'espace sur laquelle cette quantité doit être portée^ Soit par exemple Oijl cet axe (qui n'est pas quelconque d'aiUears , puisqu'il doit être perpendiculaire à la direction mm"), la quantité

mm' devra être située d'abord dans un plan mené par 0 perpendiculairement à OiJL, puis dans ce plan même elle ne pourra se placer que sur une droite D, dont la distance Od àO est donnée par la condition :

Odxmm'= Ojji,

et dont la position à droite ou à gauche du point 0 est déterminée par le sens dans lequel est porté 0[l.

Ainsi lorsqu'on connaît une quantité géométrique et son moment, pour fixer absolument sa situation dans l'espace, il ne reste plus qu'à déterminer la position de cette grandeur sur une droite sur laquelle cette quantité peut encore glisser; mais cette dernière détermination est inutile pour certaines théories et notamment pour la théorie des forces appliquées à un solide : car ces forces peuvent, comme nous le verrons plus loin, être transportées sur leur propre direction sans que les conditions de l'équilibre ou du mouvement s'en trouvent modifiées. On peut donc prévoir le rôle important que doivent jouer les moments dans cette théorie.

Théorème. — Le moment d'une samms géométrique par rapport à v/n point quelconque est égal à la somme géomé^ trique des moments des parties qui la composent (*).

(*) Pour abréger le langage, nous emploierons fréquemment la dénomination de moment pour désigner Taxe d'un moment : c'est ce que nous

'^mmm^

iS DE MECANIQUE RATIONNELLE

n, mp deux quantités géométriques, *n* leur ts de ces trois quantités par rapport au point 0 1 près, les aires des triangles Omn, Omp, 0ms t perpendiculaires aux plans respectifs de ces 'on projette en On^s,p, sur un plan perpendi-

illélogramme mnsp, les trois triangles ayant ! Om, leurs aires seront proportionnelles à t-à-dire aux trois droites On,, Op, et Os, qu'on i moments Ov, Ox et Os qui sont situés dans gramme On,p,s, et dont les directions sont lendiculaires aux trois rayons O/i,, Op^, Os„ leur, proportionnels à ces trois rayons. rs une figure semblable à0n,p,5,, c'est-à-dire i, ce qui prouve que le moment On est bien la s Ov et Ox.

1 s'étend immédiatement et sans aucune di£Bde moments en nombre quelconque.

même propriété s'applique évidemment aux >rt à un axe, puisque ces moments ne sont, lue les projections sur cet axe des moments

'énoncé du théorème ci-deasus. Dana cet énoncé, on ea quantités géométriques dont on a pria la somme ■e somme elle-même, k partir d'un même point de

par rapport à l'un de ses points, et que la projection d'une somme géométrique est la somme des projections de ses parties.

59. Xotatlons et obsenratlons s^nérales pour le ealeul des moments. — Les notations

DïLoV

3TLxU

que nous emploierons dans la suite pour désigner les moments d'une quantité géométrique U par rapport à un point 0 ou à un axe X, représentent, d'après les définitions précédentes, des grandeurs géométriques dirigées, la première suivant; la perpendiculaire au plan de 0|et de U, la seconde suivant l'axe X.

Mais d'après ce qui précède, ces quantités ne sont définies que si Ton fixe le point d'application de la grandeur U. Le déplacement de ce point d'application modifierait la valeur du moment, à moins toutefois que ce déplacement ne s'effectuât sur la direction même de la grandeur U ou bien encore, s'il s'agit du moment par rapport à un axe, dans un plan mené par le point d'application primitif parallèlement à U et à X.

Considérons une grandeur géométrique U ou mu appliquée en un point m de l'espace, et supposons que cette gran- ^ deur prenne successivement les positions U^ ou

m^Uj, Uj ou m^Wj, U, ou

m^u^. . . tandis que son point d'application se transporte enm^, mj, m,,...; si pour chaque position du point m on mène une grandeur égale et parallèle à la valeur précédente de U, par exemple, au point m^, ^

WjWtt parallèle et égal à m^u^y au point m,, m^u'i parallèle et

égal km^u^j etc., on formera ainsi les différences

u'oU, = U,-Uo = AUo u\u2 = Uj — Ui = lU, ,

etc.,

et si Ton transporte ces dernières quantités en m^i^j m,ï,... de manière A les appliquer respectivement aux points m^, m,... d'après le théorème du paragraphe précédent, en prenant les moments relatifs à un axe X des quantités qui ont leur point d'application en m^ , on pourra écrire l'égalité ;

(1) 31Lx«t-^xUo = ^xAUo,

et de même pour les quantités appliquées en m,,

OTLxUj — OïlxUi = ^m^xAU, .

Mais en ajoutant ces deux équations membre à membre, le terme OltxUj ne disparaîtra pas en général, parce que dans la première équation ce terme représente le moment de U^ pris en supposant cette quantité appliquée en m,, tandis que dans la seconde il exprime le moment de Dj appliqué en m,.

La suppression du terme Ollx U^ ne deviendrait légitime que si le déplacement m^m^ du point d'application avait lieu, comme on Ta expliqué plus haut, dans un plan mené par D^ parallèlement à X.

Cette condition se trouve satisfaite dans le cas particulier où le déplacement du point d'application m s'effectue constamment dans la direction même de la valeur correspondante de U. Dans ce cas, en ajoutant toutes les équations analogues A l'équation (1) pour une série de positions données de U entre U^ et U^, on trouvera après suppression des moments intermédiaires :

(2) ^xUn ~ OTlxUo = 2Ô^x AU.

Enfin si les variations de U et les déplacements de son point d'application deviennent infiniment petits, le signe de sommation se changeant en un signe d'intégration, la relation précé-

dente s'écrira :

13) OHxU» - OR/xUo = PorirdU.

Dans cette évaluation, chacune des quantités infiniment petites dU est supposée appliquée au point correspondant de la trajectoire ; U^ et U» ont pour 'points d*application respectifs les extrémités de Tare décrit par le point m.

Des considérations analogues s'appliquent au cas où les moments sont pris par rapport à un point au lieu d'être relatifs à un axe.