B. FORCES APPLIQUÉES A UN POINT MATÉRIEL

60. Gompositloii des torées appliquées a an mêine poiat matériel s éqaatioiis du mouvement d'un point.

— Revenons actuellement à Tétude des forces. La définition précédente de la force et l'application des principes généraux conduisent immédiatement à la composition des forces appliquées simultanément à un même point matériel, c*est-à-dire à la substitution à ces diverses forces d'une force unique équivalente •

En eflfet, d'après le principe de l'indépendance des effets des forces, l'accélération F due à l'ensemble des forces considérées est la sonmie géométrique des accélérations F^, F„ F,... que produirait individuellement chacune des forces F^, F,, F„ si elle agissait seule sur le point considéré.

Mais cette accélération F serait celle qui résulterait de l'action d'une force fictive F telle que :

et comme on a :

r=r,+rj + r,+...,

on a aussi en multipliant par m les deux membres de cette

métrique :

gle dite du polygone des forces, qui se réduit à celle du parallélogramme dans le cas où l'on n'a que deux forces composantes.

La force F ainsi obtenue est dite la

résultante des forces F,, F,, F,, etc

et elle peut être substituée à ces , " .forces au point de vue du mouvemeDt

produit.

tment, lorsqu'un mouvement est observé, si F est

ion, la force mC ou F capable de le produire peut

rée comme la résultante de plusieurs forces qui

mr somme géométrique.

lier, on pourra remplacer la force F par la somme

tions sur les trois axes, ou, ce qui revient au même,

e des projections sur les trois axes de tout autre

\, F,.... dont F serait la résultante.

/, z sont les coordonnées du point mobile de masse m,

ométrique

mr = F,

amédiatement de la définition de la force, équivaudra itions algébriques :

es X,, Y,, Z, désignent les projections sur les axes forces F, appliquées au point mobile, le signe ^ toutes ces forces.

Ces trois relations sont les équations du mouvement du point m : elles déterminent en effet le mouvement du point m lorsque les forces F^ sont connues.

Ol. l>écomposltloii de la résultante des forées appliquées à un point matériel en eomposantes tansentielle et nomnale. — Au lieu de décomposer la résultante F en trois composantes parallèles aux trois axes coordonnés, on peut la remplacer par deux composantes, Tune tangente à la trajectoire, Tautre dirigée suivant la normale principale à cette courbe ; on sait en effet que Taccélération est située dans le plan osculateur à cette trajectoire (S S), et par suite il en est de môme de la résultante F.

Ces composantes de la force s'obtiendront en multipliant simplement par m celles de l'accélération. Elles auront donc pour valeurs :

m -^ suivant la tangente,

m — suivant la normale principale.

Si Ton désigne par /"i, f^ et f les grandeurs de ces composantes et de leur résultante, abstraction faite de leurs directions, on aura la relation algébrique

Si Ton appelle T et N des grandeurs égales à l'unité et portées sur la tangente dans le sens du mouvement et sur la normale principale à la trajectoire du côté du centre de courbure, on aura de môme la relation géométrique

F=AT4-rnN.

l'on désigne par p. l'angle que mu. m luroe r u>«i; lu u mouvement sur la trajectoire, on peut encore çu'on a, d'après les valeurs de f, et de f, :

it par ( l'angle de contingence de la trajectoire.

iORÈMES GÉNÉRA-UX SDR LE MOUVEMENT D'UN POINT MATÉRIEL

^Onltloiis préliminaire*. — Nous appelleron; '■e mouvement géométrique d'un point matériel de i quantité géométrique mV, où V représente en grandirection la vitesse.

laçant dans cette expression V par sa grandeur algén aura la quantité de mouvement algébrique mv. pellerons force vive d'un point matériel la quantité

ipellerons impulsion élémentaire géométrique d'une

Bsion fort aDcienne de force vive & été conservée et consacrée mais il faut ae mettre en garde contre les idées fausses aai-

déoomination peu rationnelle pourrait conduire: l'expressioD

n'implique nullement l'idée d'une force.

\9 cru préférable, avec quelques auteurs, d'adopter, pour U

force vive, att lieu de U quantité mo* primitivement considérée,

—, qui se rencontre constamment dans les calculs. Pour éviter

il est nécessaire que le lecteur ne perde pas de vue cette cod-

ÉTUDE DES FORGES — STATIQUE ET DYNAMIQUE ifl

force F la quantité géométrique Fdtj produit de la force en grandeur et en direction par l'élément de temps dt. L'impulsion élémentaire algébrique sera fdt.

L'impulsion totale géométrique correspondant à un temps t — t^ sera l'intégrale géométrique

jtQ

Fdt,

Yimpulsion totale algébrique pour le même temps sera l'intégrale algArique

Nous appellerons travail élémentaire d'une force F la quantité algébrique ^cosa ds, où ds est Télément de chemin parcouru et a l'angle que fait la force avec la direction du mouvement sur la tangente à la trajectoire. ^tr

Le travail total d'une force correspondant à un temps t — f^ sera :

Jh

f cos a ds,

en désignant par s^ et s les situations du point mobile correspondant aux époques t^ et t.

Les facteurs qui entrent dans l'expression du travail élémentaire peuvent se grouper de deux manières et donner lieu à deux expressions différentes du travail en langage ordinaire.

On peut attribuer le facteur cos a k, ds et dire que le travail élémentaire est le produit de la force t par la projection du chemin parcouru ds su^ la direction de cette force.

On peut au contraire grouper ensemble les deux facteurs cos a et /*, et alors le travail élémentaire sera le produit du chemin parcouru par la projection de la force su/r la tangente à la trajectoire.

EtS DE MÉCANIQUE I

ma nous seront tou tement des dëfînitio émentaire giométri ique des impulsicr.

(mentaire d'tme n

Aix élémentaires de

ae est presque évide

aentaire; en effet

in contour fermé, l

3 & la trajectoire de

itipliés par ds repr

somme des 1

/' et le travail

de signe ; doi

p On voit ai

' travail d'une

tituer ses ce

gées suivant

élémentaire <

projection du chent

X da: : de même 1

respectivement éga

I de* quantité*

a quaniité de moui %ps t — t, est égaie métriques totales i entre les Tnêmes ^i la définition mâme i agissant sur le poi

-%7'-TW-

d'où

et

mdV= jFid^

le signe 2 s'appliquant à toutes les forces F^ dont F est la résultante. Intégrant cette équation entre les limites t^ et t et remarquant que les signes ^ et f peuvent être intervertis, on arrive à la relation :