QUI

ir q din pon 1 d<

rbi

exprime que la quantité

conserve une valeur constante pendant le mouvement du point. Si l'on désigne par V la fonction $ changée de signe, et si Ton détermine la constante arbitraire que renferme cette fonction de manière à ce que V soit toujours positif, Téquation des forces vives deviendra :

- mv* + V = constante,

et sous cette forme on voit que les deux quantités ^ mv* et V,

toutes deux variables, mais toutes deux positives, sont telles qu'à un accroissement de Tune correspond une diminution égale de l'autre. On peut donc considérer la fonction V comme représentant la quantité de force vive que le point est susceptible d'acquérir : de là le nom de potentiel attribué à cette fonction.

Les surfaces que nous avons considérées et qui s'obtiennent en égalant à une constante la fonction des forces ou le potentiel, ont reçu le nom de sv/rfaces de niveau. Elles jouent dans le mouvement étudié un rôle très important, et nous démontrerons immédiatement quelques-unes de leurs propriétés les plus remarquables.

A tout instant du mouvement la résultante des forces qui agissent sur le point mobile est normale à la surface de niveam, que ce point traverse.

En effet, soit

la surface traversée ; on a par hypothèse : ^

si donc on se déplace de manière à rester sur la surface de

"îl^pp

:,y,s) = e, d*^ devant être nul, les déplacements dx, (feront à la condition

) précisément la perpendicularité de ces déplacements ultante F dont X, Y et Z sont les projections sur les

observer encore que la force résultante, perpendi- :i qu'on vient de le démontrer à la surface de niveau a.nte, est dirigée par rapport à cette surface du côté où la fonction * va en croissant.

Considérons en effet deux surfaces de niveau ' infiniment voisines :

(S') *(x,y,2) = c + dc.

traversées en m, et m' par

le point mobile, et soit n

la normale à la surface S en in perce la surface

ail élémentaire correspondant au déplacement mm'

s'appliquanfc suivant que F est de même sens que ens opposé. En effet, par raison de continuité m'n considéré comme perpendiculaire à mn en négligeant int petits d'ordre supérieur. Mais d'autre part, ce mentaire a pour expression l'accroissement de la ', c'est-à-dire de. Ces deux expressions devant ême signe, on voit que si de est positif, F doit ême direction que mn, ce qui démontre la propriété

'^■fc •

ÉTUDE DES FORCES — STATIQUE ET DYNAMIQUE Il résulte encore de là relation

F. Tnn = dc,

que si Ton considère une série de surfaces de niveau consécutives correspondant à des accroissements égaux de la constante c, Vintensité de la force e^t pour chaque position du point m inversement proportionnelle à Vespacement correspondant mn des surfaces^ ou, si Ton préfère, inversement proportionnelle à Vépaisseur de la couche que ce point traveT^Cy en entendant par couche l'espace compris qntre deux surfaces consécutives.

6S. E:Keniples de q[uelques cas ou la eondltton d^ntésrAbtlité est satisfaite. — La condition nécessaire et suffisante pour que la quantité

Xdx + Ydy + Zdz

soit la différentielle exacte d'une fonction de x^y,z est exprimée, comme Ton sait, par les trois relations :

dX dy-

dY

"dx

dY

Tz'

dy

dZ dx"

dX "dz

Signalons quelques .cas simples et importants où cette condition se trouve remplie.

Si d'abord on suppose une force unique constante en grandeur

;tîoD, en prenant cette direction pour axe des s on a :

X = 0 Y = 0 Z = mg,

Lccdiération constante correspondant pour le point

. force agissante.

tité Xdx + Ydy + ZdsBe réduit alors à mgdz, qni est

tielle de la fonction mgz.

aces de niveau sont donc des plans piirallèles à XOY,

ition générale est :

;=coDstaDtc.

iséquence remarquable résulte dans ce cas de l'équa-

-^mv'-^mv\ = mg{z-z,).

t, quelle qw soit la trajectoire suivie par le point vitesse ne dépend que de la projection du chemin su/r la direction de la force.

rrons plus loin que cette observation peut s'appliquer tombant sous l'actioa de l'attraction terrestre : la [e cette attraction s'appelle direction verticale, et la ' — O prend alors le nom de hauteur de chute : on néralement la hauteur de chute à partir d'une haateur mdant à une vitesse initiale nulle. Si l'on désigne par A teur, l'expression de la vitesse est donnée par la

mtrales. — La condition d'intëgrabilité est encore satiss les fois que la résultante F est une force centrale, 3 passe par un point fixe 0 et est fonction de la dis- 1 point mobile k ce point fixe ; car alors la quantité

qui est égale à

fcosadsj

peut se mettre, à cause de ds cos a = dr, sous la forme

expression qui représente toujours la différentielle d'une certaine fonction de r, c'est-à-dire d'une fonction de X, y, 2, si Ton remplace r par sa valeur en fonction des coordonnées.

L'intégrale étant alors de la forme $ (r), les surfaces de niveau :

^ (r) = constante, sont des sphères de centre 0.

Si, au lieu d'une résultante F passant par un point fixe, on avait un système de forces agissant simultanément sur le point m, passant respectivement par des points fixes 0, 0', O'' et fonctions des distances du point m à ces points fixes, le second membre de l'équation des forces vives pourrait se mettre sous la forme :

et donnerait en s'intégrant une quantité de la forme :

4>(r) + ir(r') + X(r"),

qui, égalée à une constante arbitraire, représenterait les surfaces de niveau.

Dans le cas particulier où Ton a deux forces de grandeurs

constantes passant par deux points fixes 0 et 0', les surfaces de niveau sont ;

r 4- r" = GODstaDte,

c'est-à-dire des ellipsoïdes de révolution engendrés par des ellipses homofocales dont 0 et 0' sont les foyers.

Si les forces agissant sur le point mobile et passant par des points fixes sont proportionnelles aux distances du point mobile ■ aux points fixes, on trouve des sphères, i peut le reconnaître aisément, soit par l'équation des B niveau, qui est dans ce cas :

Xr*+X'T^ + Vr^* + ... — eomiaate,

mt par î., X', \" des constantes, soit en remarquant iiltante de ces diverses forces passe par un point fixe portionnelle à la distance du point mobile b ce point fet, ces forces sont des grandeurs géométriques de la

r(u-6), etc.,

it le rayon vecteur du point mobile, a, b... les rayons

s fixes.

lultante (qui est leur somme géométrique) est donc de

(l + X' + )."...)u— (la + V5+l"c-f...).

léfinit actuellement un nouveau centre u de rayon A

dition :

{X + l' + X"-f..OA = (Xa -F X'6 + X"c + ...),

on voit que la résultante pourra se mettre sous la forme" :

ce qui démontre le résultat annoncé.

Considérons enfin le cas de forces attractives émanant de points fixes et inversement proportionnelles aux carrés des distances r, t^t".,. du point mobile à ces points fixes (loi de Newton).

Dans ce cas le travail élémentaire a pour expression :

La fonction des forces est donc égale à :

et le potentiel à — ^ — > le signe 2 s'appliquant dans ces

diverses expressions à tous les pôles d'attraction qui agissent sur le point mobile.

09. Observations sur l'effet des forces dont le travail est constamment nul. — On doit remarquer que si parmi les forces agissant sur un point, il y en a qui sont constamment normales à sa trajectoire, ces forces n'entrant pas dans Téquation des forces vives, il n'y a lieu d'en tenir compte ni pour la condition d'intégrabilité, ni pour la détermination des surfaces de niveau.

Cette remarque iiçportante, que nous aurons l'occasion d'appliquer fréquemment dans la suite, nécessite quelques explications pour être bien comprise.

Des forces F qui admettent une fonction des forces et déter-

!S surfaces de niveau auxquelles elles sont normales, nt être évidemmeQt que des fonctions des coordon-

. donc dea forces telles que lorsque le point mobile passe int donné de l'espace, elles prennent une valeur déterndépendante de tonte autre circonstance. Si l'on adjoint ces certaines forces R normales à la trajectoire ou t plus généralement de circonstances qui peuvent ir une même position du point mobile, ces forces évine sauraient déterminer un système de surfaces de uisqu'elles ne satisfont pas à la condition précédente, abstraction faite des forces R, on considère le système ces de niveau S relatif aux seules forces F, le point ^prendra bien la même vitesse toutes les fois qu'il traversera dans son mouvement une même surface S. Mais dans ce cas la résultante générale 4> des forces appliquées au point mobile ne sera plus normale à S, puisqu'elle s'obtiendra par la composition de la résultante mF des (résultante normale à la surface de niveau S] avec la ! mR des forces R, qui est normale par hypothèse à la 3 G du point m.

ivera l'application de ces remarques dans la démona- 1 théorème de la moindre action. Ce théorème, qui me propriété générale du mouvement d'un point, se naturellement à la suite du théorème des quanttités de Qt et du théorème des forces vives. Mais nous en rendémonstration à un prochain chapitre (S 03), parce qne .érations que nous aurons développées sur le mouvement ; assujetti à suivre une courbe donnée nous serviront

alors à simplifier renoncé de ce théorème et à en éclaircir la signification.