FORCES INSTANTANÉES ET PERCUSSIONS

70. Déflnitloii t effet d'une percussion sur. un point. — Considérons un point matériel de masse m se déplaçant sous l'action d'une certaine force F, agissant sur lui pendant un temps {t — t^) : la variation de la vitesse du point en grandeur et en direction pendant cet intervalle de temps se trouvera exprimée, d'après le théorème des quantités de mouvement, par la relation géométrique

(mV — mVo) = {^ Fdt.

Supposons actuellement que la grandeur de la force F aille en augmentant indéfiniment, tandis que l'intervalle de temps {t — t^) pendant lequel elle agit diminue et tend vers zéro ; supposons de plus que le produit

Fdty

auquel se réduit finalement l'intégrale du second membre, tende vers une limite finie P.

On dira alors que le point mobile est soumis à l'action d'une percussion P (*). L'effet de cette percussion se manifestera par un changement brusque dans la vitesse, exprimé par la relation géométrique :

(2) m(V-Vo) = P.

Le résultat serait le même si le point m, au lieu d'être soumis

(*) Afin d^éviter toute confusion, nous adoptons de préférence la dénomi*^ nation de percussion^ pour désigner le produit Fd^ ou P qui est une impul-^ êiorif en réservant le nom de force instantanée pour la force F^ infinie à la limite, qui produit cette pei^rassion.

dans lesquelles les seconds membres seront alors constamment connus, permettront d'obtenir par une double intégration trois relations où entreront le temps t et les trois coordonnées oo^y^z du point mobile. - . •

Le mouvement du point sera donc déterminé : on connaîtra à chaque instant sa position dans l'espace, et Télimination du temps t fournira deux équations entre x^yeiz qui définiront la trajectoire.

Si les forces satisfont aux trois relations :

2X1=0 2Yi=.o 2z,=o, •

elles sont dites se faire équilibre^ c'est-à-dire qu'elles ne modifient en rien Tétat de mouvement ou de repos du point sur lequel elles agissent ; en particulier, si le point était primitivement en repos, il resterait en repos sous l'action d'un pareil système de forces.

72. Déflnitioii de la Ibrce d'inertie. — L'équilibre des forces appliquées à un point mobile étant défini, comme nous venons de le faire, par l'équation géométrique

ou par les équations algébriques équivalentes

le mouvement de ce point est déterminé de même par l'équation géométrique

2F,=mr =

ou par les équations algébriques équivalentes

yi.=

d^ dt«

COURS DE MÉCANIQUE RATIONNELLE ie que si l'on définissait une force fictive égale à

ï les composantes suivant les axes seraient par conséquent:

"^ d? "" di* '"di*'

aonvelle force sattsferut avec les autres aux conditions

ibre.

t cette force fictive qui a reçu le nom de force d'inertie :

isidératioD est souvent utile pour simplifier les raisonne-

et les énoncés.

, Remarque anr le mouvement de la prcjeetlon point mobile. — Si l'on projette un point mobile de :e sur un plan ou sur une droite, l'accélération du point i est évidemment la projection de l'accélération du point de «. On voit donc que si l'on suppose au point projeté une égale & celle du point de L'espace, son mouvement pourra ttribué à une force qui sera précisément la projection de [ui agit sur le point qu'on projette^

UTION DU PRORLÈME DU HOUVEHENT D'UN POINT LIBRE DANS QUELQUES CAS PARTICULIERS

1° Mouvement rcetUlBne.

:. Soit d'abord une force de direction constante OX agissant Q point de masse m partant du repos, ou animé d'une vitesse initiale de même direc- , -, ^^^^ ^^^ j^ force.

Il n'y aura évidemment au-

lotif pour que le point mobile sorte de la droite OX. En ni donc cette droite pour axe des x, on n'aura à conserver

\^-iA

que la première des équations (1), les deux autres étant toujours identiquement satisfaites.

La trajectoire sera la droite OX et la position qu'occupera à chaque instant le point m sur cette trajectoire sera déterminée par l'intégration de l'équation

Différents cas peuvent se présenter; examinons les plus simples :

Si X est une fonction connue du temps t seulement f ), on a :

d'où, en intégrant une première fois,

équation qui donne à chaque instant la vitesse. La constante G se détermine par les circonstances initiales et est égale à

Une seconde intégration donne :

ma;= rF(Od^ + C<+C',

Àrl

d'où X en fonction du temps ; la nouvelle constante G' s'exprime comme la précédente en fonction des circonstances initiales.

Supposons en second lieu que X soit une fonction connue de X.

f] Nous avons vu précédemment de quelle manière cette hypothèse devait être entendue.

ÉTUDET des forges 7- STATIQUE ET DYNAMIQUE 133

d'où

dt-

mdv

et en intégrant

'=fm*<'-><''*''

résolvant actuellement par rapport à t;, on a :

c'est-à-dire

d*où X en fonction de t par une seconde intégration.

Les trois cas que nous venons d'examiner sont les plus simples qui puissent se présenter et ceux que Ton rencontre le plus fré« qaemment dans les applications pratiques. Mais il est à peine besoin de faire remarquer que des cas plus compliqués pourraient se rencontrer également, par exemple celui où X serait simultanément fonction de Xy de t et de v.

75. ApiiUcatton de la solution précédente & qaelqae« exemples simples. — a) Mouvement vibratoire. — Soit d'abord un point matériel m partant du repos et attiré vers un centre fixe 0 proportioimellement à sa distance à ce centre.

L'équation difiFérentielle de ce mouvement sera :

m-— 3 = — AX

OU

frU

en posant pour simplifier :

coefficients constants dont

ans équation linéaire e générale est :

i = C, cos(e( + C,).

instantes arbitraires G, et G^ se déterminent par les nces initiales.

compte le temps à partir de l'instant où le point mobile is sa position de repos initial en À, la force d'attracimmencé d'agir, on doit avoir pour t = Q, x = a et

)n en conclut G, = 0, G, = a et la solution devient :

facile de donner une image très nette du mouvement ,r cette équation. Décrivons du point 0 comme centre avec OA pour rayon une circonférence, et ima^ons un mobile M qui partant de A en même temps que m décrive la circonférence avec une vitesse angulaire uniforme s. Au bout d'un temps quelconque t, il aura parcouru un arc st et sa projection orthogonale sur le diamètre OA coïncidera précisément avec m.

On voit que le point m de part et d'autre du point 0 entre les positions A et A' et que la durée de son oscillation simple e employée par M pour décrire le demi-cercle, c'esttemps

Cette durée, indépendante de a, ne dépend que du coefficient d'attraction s. Nous aurons plusieurs fois dans la suite roccasion d'appliquer ce résultat remarquable.

b) Mouvement d* un point sous V action d'une force de grandeur et de direction constantes et d'une résistance opposée à la vitesse et proportionnelle à son carré.

Si Ton suppose le point partant du repos, son mouvement s*ef«

fectaera évidemment suivant une droite menée par sa position

initiale 0 parallèlement à la force qui le sollicite. Prenons donc

comme axe cette droite OZ, que nous supposerons verticale et

dirigée de haut en bas, et désignons par z le chemin Om par-

dz couru par le point mobile à Tépoque ^, par t; ou -^ sa vitesse à

la môme époque, par m sa masse, par mg la force constante qui

agit sur lui, enfin par -7^ v* la grandeur de la force résistante.

L'équation du mouvement du point sera :

OU bien

dv r v*\

Une intégration facile donne par la séparation des variables :

2) « = 25 log. nép. j^—^

sans constantes d'intégration, puisque, pour t = 0, v doit être nul par hypothèse.

Pour achever la solution, résolvons l'équation (2) par rapport

Si la vitesse t;^ est dirigée dans le sens OZ, les calculs se feront comme ci-dessus, et le mouvement sera le même que celui d'un point parti sans vitesse d'une position initiale 0^, située à une certaine hauteur au-dessus de 0.

Si la vitesse v^ est dirigée de bas en haut, les équations précédentes, au moins pendant la première phase du mouvement, doivent être modifiées, car le mouvement s'effectuant de bas en haut, la résistance s'ajoute à la -force constante mg au lieu de s'en retrancher.

Ainsi Téquation (1) deviendra, en comptant positivement les vitesses dans le sens ZO de la'vitesse initiale,

« jr=-«{'+p)-

Les résultats de l'intégration se trouvent modifiés à leur tour par ce changement de signe, et Ton trouve :

v^Ktg(^C^f^

avec la condition initiale :

v^-KtgC pour déterminer la constante.

De là, par développement detgfc — ^ j>

tgC—tg-^ Tj^cos ^ — K sin —

(Z') c=K !^=K îj-. ^

l + <SfC/g|- vosin^.- +Kcos^

c'est-à-dire, à cause de dz = vdt

Vocosg Rsm~-

dz = K -, ^dt

v^ sm ^ -i- K cos |-

COURS DE MÉCANIQUE RATIONNELLE tégrant

z= ^ log. nép. (o. siD |î + K C08 |f) + C

condition initiale

- log. nép. K + C

terminer la constante G', enfin :

= — -log.nép.

atilon (SO fait voir que la vitesse va en diminuant avecc mule pour :

moment le mobile s'est élevé h. une hauteur 00, ou h par la relation

.,<,g.„ép.\^ jj j=-

log. nép. ■

tir de cet instant la vitesse du point mobile changeant de 3 formules ci-dessus cessent d'être applicables, mais celles s au premier cas étudié commencent & l'être, et le mouse continue comme si le point partait de la situation 0,

sans vitesse initiale. On trouvera plus loin (§ 84) la solution du même problème dans le cas où la vitesse initiale ayant une direction quelconque, le mouvement du point s'effectue suivant une trajectoire courbe.

9* MoiiT'einieiit enrvlllffne.

TO. a) Mouvement parabolique des points peiMM&ts.

— Lorsqu'un projectile est lancé à la surface de la Terre, on peut, ainsi que nous le verrons plus loin, assimiler approximativement son mouvement à celui d'un point matériel animé d'une vitesse initiale connue, mais quelconque d'ailleurs, et soumis à l'action d'une force nommée pesanteur, constante tant en grandeur qu'en direction.

Nous appellerons point pesant un point matériel soumis à l'action d'une pareille force.

Nous étudierons actuellement le problème du mouvement d'un point pesant en prenant pour axes deux axes rectangulaires, le premier OZ opposé à la direc- I tien de la force , le second OX déterminé de façon à ce que le plan ZOX renferme la vitesse initiale.

Nous placerons l'origine des coordonnées au mobile.

Soit alors i;^ la grandeur de sa vitesse initiale et a l'angle que cette vitesse fait avec l'axe OX. Les équations du mouvement pourront se réduire à deux (car il n'y à pas de raison pour que

point occupé par la position initiale du

JRS DE KËCANIOUE RATIONNELLE t plan ZOX). Oa aura donc :.

-mg ou

mg la force constante, intégration donne, en tenant compte des iales :

dt~

-gt + Vf sin a.

de ces équations montre que la projection

vitesse est constante.

intégration fournit la solution complète dn

uve;

x^v, cosa t

ivent être nulles, puisque le point mobile part

mps zéro.

, on obtient l'équation :

+ tg»Jt,

le parabole à axe vertical passant par l'origine, difficulté que la tangente à cette parabole an a direction de la vitesse initiale.

0, on trouve d'abord

a racme,

no -»î sin a cosa vJSÎDSa

c'est cette longueur qu'on appelle en balistique la portée du projectile.

Si, laissant constante la grandeur de la vitesse initiale, on en fait varier la direction, on obtiendra la plus grande portée possible lorsque sin 2a sera égal à 1, c'est-à-dire pour a = 45®. Gçtte

portée maximum est égale à -^•

La plus grande hauteur qu'atteint le projectile correspond à

l'abscisse -^ ou -^ • Cette hauteur, qui s'appelle Aàwteur

du jet, varie avec a si t;^ reste constant, et atteint son maxi-

mum pour a =90® : elle est égale dans ce cas à ^•

Remarquons encore que si le point pesant était abandonné à lai-même sans vitesse initiale et tombait suivant la verticale OZ, Téquation de son mouvement sur cette droite serait

Sa hauteur de chute au bout du temps ^ = 1 serait donc — |

et pourrait servir de mesure à la constante g. La valeur de cette constante est liée, on le voit, au choix de l'unité de temps qu'on a adoptée. Si, par exemple, on prenait une nouvelle unité

n fois plus grande que la précédente, en remplaçant t par — . et g

par g' dans la relation précédente et égalant ensuite les valeurs de z, on trouverait pour nouvelle valeur de g :

7V. Parabole et paraboloîde de sûreté. — Cherchons à déterminer l'enveloppe de toutes les paraboles que l'on peut obtenir avec une vitesse initiale donnée et une inclinaison variable.

Remarquons pour cela que si l'on cherche à déterminer a de

.COURS DE MÉCANiaUE RATIONNELLE

re à faire passer la parabole par un point donné m (x„ i,), équation de condition

)Q peut écrire

-||(i + tg*«) + i,tg.^

donne en général deux râleurs pour tga. i veut dire qu'il existe en général deux paraboles et deni oies seulement passant par un point donna m du plan ZOI.

aveloppe étant le lieu des points d'intersection de l'une s courbes avec la courbe ïnâniment voisine, on voit que lints de cette enveloppe devront satisfûre à la condition nner en portant leurs coordonnées dans l'équation (I) valeurs de tga infiniment peu différentes, c'est-à-dire ï à la limite, condition d'égalité des racines de l'équation (t)

rï-==w

est donc Téquation de T enveloppe cherchée.

Cette courbe, qui est encore une parabole, mais dont Taxe est OZ et qui ne passe j)lus par Torigine, a regu le nom de paror bole de sûreté. En effet, elle limite la région du plan où peut arriver un projectile lancé du point 0 avec une vitesse initiale connue, et en se plaçant en dehors de cette parabole on est assuré de ne pouvoir être atteint, quelle que soit la direction suivant laquelle est envoyé le projectile.

Si la vitesse initiale pouvait recevoir une direction absolument arbitraire autour du point 0, en répétant le même raisonnement dans tous les plans conduits par OZ, on arriverait à déterminer un paraboloîde de sûreté qui ne serait autre que le parabololde de révolution engendré par la rotation de la parabole de sûreté autour de OZ.

78. Problème du Jet d'eau. — À la question que nous venons de traiter se rattache encore la solution du problème suivant :

Des points mobiles pesants en nombre quelconque sont lancés simultanément du point 0 avec une même vitesse initiale i;^, mais dans des directions différentes : on demande le lieu de ces points après un temps donné t.

Il n'y a évidemment à s*occuper que des points lancés dans le plan ZOX, puisque dans chaque plan vertical tout se passera de la même manière.

écritures, l'expression de la force sohs

m&sse da point matériel et (■. une constante.

Soit m,v, la vitesse initiale :

conduisons un plan par le centre d'attraction 0 et par cette Tîtesse initiale : il n'y aura aucune raison pour que le point mobile sorte de ce plan; nous prendrons donc dans ce plan deux axes rectangulaires OX, OY, et les équations différentielles du mouvement se réduiront à

Intégration. — Si, après avoir multiplié respectivement par y et par x les deux équations (1), on les retranche ensmte membre à membre, on trouve :

d'où

dy dx „

G étant une constante à déterminer par les circODStances initiales.

En passant aux coordonnées polures, on doit faire :

x=r cos 0

COURS DE MÉCANIQUE RATIONNELLE naéquent

dx dr . . .dS

^ = ^C08 8 r8.ne-

du dr . ^ „ d8

tioQ (2) où l'on substitue ces valeurs se réduit & :

aurions pu écrire immédiatement cette équation en int que la force passant par un point fixe, le théorème est applicable.

du point mobile.

lifint maintenant la première des équations (1) par dx^ le par dy, et ajoutant, on obtient

td{d3? + dy*) [Il

= -S|dC^ + y*)=-^d'--

ds? + dy*=ds'' =v*dt*, ]ue

d(da!* + dy*) = Srrdi)dP.

tion précédente revient donc à :

»do=— ^dr.

ÉTUDE DES FORCES — STATIQUE ET DYNAMIQUE Sous cette forme elle est immédiatement intëgrable et doi

(il «■=^+'.,

en désignant par h une constante.

Cette équation, comme l'équation (3), aurait pu s'écrire imi diatement. En effet, le théorème des forces vives appliqué au actuel fournit l'équation :

On voit sur cet exemple comment l'application des tliéorè: généraux, si elle n'est pas indispensable, peut, dans un particolier, sintpliGer considérablement la solution.

Remplaçons actuellement v* par son expression en coordoni polaires :

df '*' dt*'

l'équation (5), où nous aurons porté cette valeur, jointe à l'éi tion (3), nous fournira le système des deux équations suivai pouvant remplacer les équations (1)

Eliminant dt entre ces équations, on obtient la relation

ry/kr^ + i^r — C* c'est l'équation différentielle en r et 6 de la trajectoire, qui p

et par suite

Telle est l'équation de Torbite : c'est, on le voit, une section conique ayant le centre d'attraction pour Tun de ses foyers.

La constante a représente le grand axe de la conique.

La constante e n'est autre chose que V excentricité de la courbe^ et c'est cette constante qui détermine la nature de la conique.

On a une ellipse si « < 1 , une hyperbole si ^ > 1 , une parabole si«=l.

Dans ce dernier cas a doit devenir infini pour que le produit a (1 — e*) conserve une valeur finie : ce produit représente alors le pa/ramètre de la parabole.

2* Loi du mouvement sv/r l' orbite. — Pour obtenir la loi du mouvement du point mobile sur l'orbite ainsi déterminée, reprenons l'équation

r«d6 = Cdf,

et remplaçons d6 par sa valeur en [fonction de r. Il vient, à cause de

C« = a(i(l — e«) et /i = — 5^, (9) . ^^^

y—^rH-îfir — a|x (1 — e*)

Définissons une nouvelle variable auxiliaire u en posant :

(10) r = a (1 — e ces u).

L'équation (10) donne par différentiation :

dr=zae sin udu.

En portant dans l'équation (9) ces valeurs de r et de dr^ on

COURS DE MÉCANIQUE RATIONNELLE e après simplification

aV^(l— ecosu)du

tte relation intégrée en y remplaçant la constante — ^

• et appelant e une constante d'intégration nouvelle, coni l'équation

w — esio w = nl + j,

étennine u en fonction de t. Connaissant u, r en résulte

la relation (10) et 6 résulte de r par l'équation de

te.

problème se trouve donc entièrement résolu.

t. Remarques. — Représentation de la variable auxi- I u. — La quantité u que nous avons employée comme ble auxiliaire et qui a reçu le nom d'anomalie excentrique, isceptible, dans le cas d'une orbite elliptique, d'une reprétion géométrique très simple.

Décrivons un cercle sur le grand axe de l'ellipse comme diamètre. Au point m de la conique correspondra sur le cercle un point M de même abscisse et l'angle MOA sera précisément égal à l'anomalie excentrique, effet, l'équation de la conique donne, en désignant par p aramètre,

1 -t-ecoa «' re part, en projetant sur le grand axe OÂ le contour OFmM, OH ces HOA = OF + Fm cos i,

c'est-à-dire

a cos MOA =:c + r cos a.

Or, l'équation (12) donne

r cos tt = *^ 1 e

donc

a cos MOA = ^ •

Mais

ce + p=ia,

donc enfin

aecosMOA = a — r,

et

r = a (1 — ecosMOA);

relation qui] [démontre bien l'identité de l'angle MOA avec l'angle u.

Influence des conditions initiales. •— Diaprés les relations établies entre les constantes, on vérifie aisément que

Bailleurs,

On voit donc que e sera plus grand ou plus petit que l'unité,

selon que A ou i;î sera positif ou négatif,

Si cj -<0 l'orbite est elliptique,

Si v] ^ > 0 id. hyperboliqae,

Si v', — -;^ = 0 iA. parabolique.

On reconnatt ainsi que la nature de l'orbite est indépendante de la direction de la vitesse initiale, c'est-à-dire de l'angle 9 qu'elle fait avec le rayon vecteur r,.