AppllfMtt^oiui astronomlqaefl de ce ppoblème
} avons vu en Cinématique que, d'après les observatioos )nomiques résumées sous forme de lois par Kepler, le mou- Bnt des planètes autour du soleil pouvait être assimilé à i d'un point matériel dont l'accélération serait à chaque mt dirigée vers le soleil et inversement proportionnelle au é de sa distance à, cet astre. Le mouvement d'un pareil poiut précisément celui que nous venons d'étudier, puisque, rès la proportionnalité des forces aux accélérations, la force {uelle nous avons soumis notre point mobile népond exactet àla loi d'accélération observée par Kepler. Mais la solution iquelle nous sommes arrivés est, comme ou voit, plus Srale et renferme le cas des orbites elliptiques comme un particulier.
3. c) Hoavensent plan d*an point soua l*actloB ne force fonetton géométrique da rayon veetenr.
lans le cas d'un mouvement plan, si la force est une foncgéométrique f (u} du rayon vecteur u, la relation fondataie
qui sert de définition même à la force, devient :
et la solution du problème est renfermée dans cette équation unique qui équivaut aux deux équations différentielles algébriques :
On intégrera l'équation (1) comme une équation algébrique, et le résultat sera celui qu'on aurait trouvé pour le mouvement rectiligne défini par :
à la condition de substituer dans ce résultat le rayon géométrique u à la quantité algébrique x.
Prenons, par exemple, le cas où F est proportionnel à tt et représentons par mK'u cette force, K désignant une constante algébrique ou géométrique. En appliquant le calcul du paragraphe T5 et en supposant une vitesse initiale V^, nous trouverons : •
li = Cl CCS (Kt + Cj), = Cf ces Cj ces Kt — Cl sin Cg sin Kf,
ou en désignant par A et B les constantes géométriques G^ cos C, et — C, sin C, :
(2) u = Â cos Kt + B sin K(.
Les conditions initiales de situation et de vitesse déterminent A et B ; on trouve :
et réquation (2), où Ton porte ces valeurs, devient :
(20 « = «0 cos K« + ^ sin Kt.
Si Ton attribue au coefficient K une valeur algébrique (ce qui revient à supposer que la force a la direction même du rayon vecteur, au lieu de faire avec lui un angle constant), il est facile de reconnaître que cette trajectoire est une ellipse dont les
grandeurs géométriques u^ et ~ sont deux diamètres conjugués
en grandeur et en direction.
Prenons en effet les directions de ces deux grandeurs comme
axes coordonnés obliques, et désignons par a et b leurs longueurs, les coordonnées Ç et yj d'un point de rayon u appartenant à la courbe seront :
£ = acosK^ 7) = &siaK<;
éliminant t entre ces relations, on trouve l'équation connue de l'ellipse rapportée à ses diamètres conjugués :
Une remarque importante, et que nous avons déjà faite dans le cas du mouvement rectiligne auquel se réduit le mouvement actuel si V^=0, c'est que le mouvement est périodique, le mobile repassant par les mêmes positions et les mêmes vitesses toutes les fois que Kt augmente d'un nombre quelconque de foisî:. La durée de la période définie par
OU
est indépendante de la position et de la vitesse initiales.
On peut encore observer que dans le cas où la force passe par Torigine des rayons vecteurs, c'est-à-dire lorsque le coefficient K est algébrique, comme nous Tavons supposé en dernier lieu, le résultat auquel nous sommes parvenus peut se déduire très simplement du principe des mouvements projetés (S T3).
Imaginons, en effet, un point m animé d'un mouvement circulaire uniforme ; dans un pareil mouvement, on sait que Taccélération est centripète et égale à w V ; la force résultante produisant ce mouvement est donc une force m/* de grandeur constante passant par le centre du cercle.
Projetons ce mouvement sur un plan quelconque, la circonférence trajectoire se projettera suivant une ellipse; la force mf aura pour projection une force jjiç dirigée vers le
centre de l'ellipse et proportionnelle au demi-diamètre (i)|jl, et, d'après le principe rappelé plus haut, c'est à cette force que devra être attribué le mouvement elliptique du point jx; donc, etc.-.
Dans l'hypothèse où le coefficient K aurait une valeur géométrique, c'est-à-dire où la force ferait un angle constant avec le rayon vecteur auquel elle est proportionnelle, la trajectoire serait d'une nature beaucoup moins simple, mais l'équation (2^) en fournirait encore l'équation .
83. Ckmdltioii des orbites fermées s problème de M. jr. Bertrand. — Aux problèmes que nous venons de traiter se rattache la question suivante, qui présente au point de vue astronomique un intérêt considérable.
Trowoer les lois d'attraction qui imposent des trajectoires fermées a/ax mobiles soumis à Vinfluence d*ime force cerirtraie.
M. Bertrand a résolu cette question {Comptes rendus de l'Académie des sciences, 20 octobre 1873); mais nous ne pouvons reproduire ici l'analyse ingénieuse qui l'a conduit à la solution. Nous noua bornerons à énoncer les résultats auxquels il est parvenu.
Les deus lois ,par lesquelles la force est supposée proportionnelle à la distance r ou à l'inrerse de son carré sont les seules qui imposent à la trajectoire, supposée comprise entre deux cercles concentriques, la condition de se fermer après un nombre entier de révolutions autour du centre d'attraction. Nous avons reconnu d'ailleurs que, dans ces deux cas, la trajectoire est une ellipse, c'est-à-dire une courbe fermée.
Ainsi, parmi les lois d'attraction qui supposent l'action nulle
à. une distance infinie, celle de la nature ( ç (r) = -j j est la seule
pour laquelle un mobile, lancé arbitrairement avec une vitesse inférieure à une certaine limite et attiré vers un centre fixe, décrit nécessairement autour de ce centre une courbe fermée : toutes les lois d'attraction permettent les orbites fermées, mais la loi de la nature est la seule qui les impose.
* S4.c^Moaveineot plan d*aii point pesant «laïuiiiD milieu résistant. — Dans certains cas, au lieu d'employer les coordonnées ordinaires, on peut se servir avec avantage des composantes normales et tangentielles des forces pour arriver directement à la détermination de l'équation de courbure de la trajectoire. ' , ■
L'étude du mouvement d'un point pesant dans un milieu résistant nous fournira l'exemple d'une solution de ce genre.
Reprenant les données générales du S 70, nous supposerons que le point mobile soit soumis, en dehors de la pesanteur, & une force résistante dirigée en sens inverse de sa vitesse v et proportionnelle au carré de cette vitesse; nous désignerons par Xmti* la grandeur de cette force.
Le mouvement s'effectuera, comme dans le cas où la pessn-
teur agit seule, dans le plan vertical passant par la vitesse initiale Y^y et à un instant donné du mouvement les composantes
tangentielle et nonnale de la résultante des forces auront pour expressions :
-— . = — g sm a — A v> • at
— = — g CCS a
Msds, à cause àe dt=—^lB, première de ces équations peut
s écrire :
vdv = •— g sin a d« — Xu*d«,
OU bien encore, en substituant à v* sa valeur tirée de l'équation (2) :
• vdv =]— g (sin ada — Xp cos a d«).
D*autre part, Téquation (2) donne par différentiation :
vduss — I (cosadp — psinadaj » •
ou, en remplaçant pt2a par dsj
vdv == — I (cos «dp— sin adsX
18 deux valeurs de vdv et supprimant le facteur comitient la relation :
cos adp + 3siaad« + Z Xpcosads = 0,
irire en divisant tons ses termes par pcosa et remle second ds par pda :
^ — 3lgad« + 2Xds = 0.
I forme l'équation (3] est immédiatement întégrable, oier membre est la somme de trois différentielles, ei ) cette intégration :
log. nép. p + 3 log. oép. cos « + 2X« + c = 0
1 diflérentielle de courbure de la trajectoire (*). nir l'équation de courbure elle-même, il suffit de ds
.riables; on trouve ainsi ;
par K une nouvelle constante, constantes c et K so calculeront en appliquant i(4) et (5) aux conditions initiales du problème, c'est-
quen que si X = 0, cette éqnalioD se réduit bien à celle de b
nr -^ r
à-dire en y remplaçant s par zéro, a par a^, direction de la vitesse initiale, et p par la valeur p^, que fournit l'équation (2) :
Po = —
i7 cos «0
Enfin, pour achever de déterminer le mouvement du point sur sa trajectoire, on pourra tirer rf^ de l'équation (2), en y remplaçant v*
par ^ ^ ; on trouve ainsi :
g ces a
et en substituant à p, dans cette relation, sa valeur fournie par l'équation (4) :
^ ces* a cô5
"■»[ii^->°«-*p-«(H)]*''
on obtient une relation différentielle entre t et a, qui fournirait t en fonction de a par une quadrature.
On peut encore remarquer qu'en mettant à la place de p dans l'équation (4) sa valeur
tirée de l'équation (2), l'expression ainsi obtenue
tj*cos*« = — ge ^'
qui donne en fonction de l'arc parcouru s la projection horizon -
(*) La constante c doit recevoir des valeurs géométriques qui expliquent Tégalité entre le premier membre essentiellement positif de cette équation et le second membre affecté du signe — •
On peut remarquer que la valeur de u.est formée par deux composantes :
L'une, — (l — e ) parallèle à la vitesse initiale Vq^ L'autre, — f [' — T (* — «~ ^01 parallèle à la verticale OZ.
On est naturellement conduit par cette remarque à rapporter la trajectoire pour plus de simplicité à deux axes, OX' et OZ, parallèles à ces deux directions. En désignant Z par v^ la grandeur de la vitesse initiale, la position du point mobile se trouve alors définie par les coordonnées :
et l'élimination de t entre ces deux relations fournirait Téquation de la trajectoire. Il est intéressant d'observer que cette équation sera la même, quelle que soit la direction de la vitesse initiale. Cette propriété remarquable de la trajectoire a été signalée par M. le colonel Astier. Enfin, écrivant la valeur de u :
git
on voit que si, conservant toujours la verticale pour axe des z, on prend pour axe des x la direction OX" définie par la grandeur géométrique
