REPOS OU MOUVEMENT D'UN POINT MATÉRIEL QUI N'EST PAS LIBRE

)ii dit qu'un point matériel n'est pas libre lorsqu'en forces connues qui agissent sur lui il est soumis

s forces inconnues, à la connaissance desquelles on certaines conditions imposées au mouvement. Ce!:

onsistent par exemple dans l'obligation de décrire

ire donnée ou de rester sur une surface.

î bornerons à l'étude de ces deux cas spéciaux :

in* assujetti à décrire une trajectoire donnée.

S de la trajectoire;

\ projections sur les trois axes de la résultante F da

es.

i inconnues pourront être également remplacées par

ite inconnue unique R, qu'on appelle réaction delà

I désignerons par R„ R,, R, les trois composantes

tiOQ, suivant les axes.

ons du mouvement seront alors :

Elles fournissent 'avec les deux équations (1) un système de cinq équations où entrent, avec x^ y, z et ty les trois composantes inconnues R„ R^, R, de la réaction R. En éliminant ces trois dernières inconnues, il ne resterait que deux équations entre a?, y, 5 et i : il y a donc indétermination en général, c'està-dire qu'une infinité de réactions différentes peuvent, en s'ajoutant aux forces connues, produire le mouvement voulu.

Pour résoudre complètement la question, il faut se donner une condition de plus. C'est ce que l'on fait en supposant que la réaction est normale à la trajectoire ; on est conduit ainsi à la nouvelle condition :

i3) Rx dx + Rydy + R, dz = 0.

La solution complète est alors renfermée dans les équations (i) (2) et (3). Mais on peut y arriver plus simplement par l'emploi du théorème des forces vives ou du théorème des quantités de mouvement projetées sur la tangente.

En effet, la trajectoire étant connue, on n'a plus qu'à chercher la loi du mouvement sur cette trajectoire. Appliquant l'un des deux théorèmes ci-dessus mentionnés, on élimine immédiatement la réaction inconnue, puisqu'elle est supposée normale à la trajectoire. On a donc par le théorème des quantités de mouvement, en désignant par /J la composante tangentielle de la résultante des forces connues :

mv

— mro= / ftdt.

et par le théorème des forces vives :

î^mu* — muA= 1 Ud8= j Txdjc + Ydt/ + ZdzV

Supposons l'une de ces deux équations intégrée, on obtiendra ainsi une expression de t; de la forme

COURS DE HÉCANIi

ds = * (x

S équations de la traject l'on peut en déduire dx, .ituant alors dans l'équs de la forme

n(r)dî =

1 tirera l'expression de z m complète de la questi

le cas particulier où ( exacte d'une fonction de niveau est applicabl ?i la réaction n'existait

Application au mou ttl & parcourir un*

3int pesant reprendra d 1 traversera un même pi vitesse sera d'ailleurs ;

lant h la hauteur de chut RS à l'examen de quelqu

a) Mouvement reetiligne. — Supposons en premier lieu que la trajectoire obligée soit une droite AB faisant un angle ç avec la . jJS'

direction verticale de la force. Soit s le chemin AM parcouru à partir de la position initiale A où le point était au repos. Ce chemin est lié à la hauteur de chute par

8 cos ? = /i, et Féquation des forces vives

tj* = 2 g/i

devient

doù

et en intégrant :

«"'' da = v/s g cos 9 dt.

s' = )Ji^t.

car la constante d'intégration est nulle, si Ton compte le temps à partir de Tinstant où le point mobile part de A.

Elevons en A une perpendiculaire à AB et soit N sa rencontre avec la verticale du point M. On a :

cos 9

et réquation précédente peut s'écrire :

y/iM=..

Ainsi, quelle que soit Tinclinaison ç, le temps écoulé est proportionnel à la racine carrée de la grandeur MN, construite

ainsi que nous venons de le dire.

Il en résulte que, si Ton considère différentes droites AM, A'M, A"M, etc., formant les cordes d'une circonférence décrite sur MN comme diamètre, des points mobiles pesants, partant des positions A, A', A"... sans vitesses initiales, mettront le même temps à parcourir toutes ces cordes, la rapidité plus ou moins grande de leur mouvement compensant exactement les différences des longueurs parcourues.

b) Mouvement clrciilatre dans un plan vertical. -— Prenons actuellement comme trajectoire obligée un cercle situé dans un plan vertical.

Soient 0 le centre du cercle, r son rayon, m la position occupée

par le point mobile à l'époque t de son mouvement, ô Tangle que fait le rayon Om avec la verticale Oa, 0 étant compté positivement dans le sens de la flèche. Les deux forces qui déterminent le mouvement sont la pesanteur mg et la réaction supposée normale au cercle.

Ecrivons que la composante tangentielle

d'V m -r de la résultante des forces se réat

duit dans le cas actuel à la projection

de mg de la tangente ; nous aurons ainsi

la relation :

m-Tr- = — mg siti 0,

ÉTUDE DES FORCES — STATIQUE ET DYNAMIQUE i67

on à cause de :

de ^ = ^di'

.1) - 5ir = -smO;

cette équation, qui détermine 6 en fonction de «, est l'équation différentielle du mouvement étudié.

Une première intégration de l'équation (1) s'efifectue sans difïi-

culte, en multipliant par -r- ses deux membres. On trouve :

fg[{^y-{Ty^=''''-'^''-

\ désignant la grandeur initiale de Técart angulaire ©* ( 37 ) "^

vitesse angulaire correspondante (*).

Sans pousser plus loin les calculs, l'inspection des équations (1 ) et (2) suffit déjà pour se rendre compte des principales circonstances du mouvement qui doit se produire.

Il est évident d'abord, d'après la propriété des surfaces de niveau, que le point m reprendra la même vitesse toutes les fois qu'il passera par un même point du cercle ou par un point symétrique du premier par rapport au diamètre vertical aa\

vj

Construisons la hauteur de chute ^ correspondant à la vitesse

initiale 1;^ et traçons une horizontale en portant cette hauteur au-dessus de la position initiale.

Trois cas peuvent alors se présenter, selon que l'horizontale rencontrera la circonférence, passera au-dessus d'elle ou lui sera tangente.

Dans le premier cas, si nous désignons par jx^ et ja^ les points

(*) L'équation (2) résulte d'ailleurs immédiatement de TappIicatioD du théorème des forées vives.

s DE MÉCANIQUE RATIONNELLE

orlzoDtale HH avec le cercle, tout se passera

nobile était parti de la position jx, avec une

. Sa vitesse ira en croissant jusqu'au moment le point le plus bas de sa trajectoire : elle

1 reprenant les mêmes râleurs lorsque le point passera par les po-

j^ sitions symétriques par

rapport à la verticale de celles qu'il a déjà traversées : enfin elle s'annulera pour la positioD [*,. A partir de cette position le mouvement se reproduira identique à lui-même, mais en sens inverse de jXj en (*, et ainsi de suite.

)int mobile exécutera une série d'oscillations de la verticale aa' : dans ce cas, le mouve-

itoire. L'angle y-fi^, compté dans le sens de

mplitude des oscillations.

)ccupe une position telle que H'H' et passe e, la vitesse du point mobile ne s'annulera îment de rotation se continuera indéfiniment autour du centre : il est dit alors révohilif.

B oti l'horizontale est la tangente H"H'' au obile devrait rester au repos au point de ait atteindre cette position. Mais nous reconju'eu réalité il se rapproche indéfiniment de iiilibre sans jamais pouvoir l'atteindre.

tlon de l'équation du mouvemeiit clr-

Qona actuellement l'équation (2) et cherchons itégration. Pour simplifier le calcul, nous

introduirons à la place des premières données une constante nouvelle, la hauteur h de l'horizontale HH au-dessus du point a. Cette hauteur s'exprime facilement en fonction de v^ et de 6^,. En effet, la vitesse v au point a est donnée par la relation :

t>* — vj=2gr(l— cosOo), et elle est égale d'autre part à :

On a donc :

L'équation (2) où l'on porte la valeur de s- ( -37 ) fournie par cette relation devient :

dtj r r 2

j^/dO\« h

et l'on en tire :

di- <"