V?VE

d'où:

les temps étant comptés positivement, le signe — doit être écarté devant le radical pour la première période du mouvement où d 0 est positif.

Traitons d'abord le cas du mouvement oscillatoire. Dans ce cas

COURS DE HËCANIQUE RATIOSSELLE

t ~- est inférieur à l'unité. Posons 2r

oduction de cette constante et de cette variiible noatxpression générale de ( devient :

' Vsji'l-K'sin*?'

• de ( se trouve ainsi exprimée par l'intégrale elliptique ère espèce que nous avons désignée par F (ç) dans le Inalijse (S 243).

compte les temps à partir de l'instant où le point isse en a, l'intégrale devra avoir zéro pour limite infét si l'on veut calculer le temps employé pour la demi-

n de a en |x,, on devra intégrer jusqu'à s, puisque la

pi, correspond à un angle 9, tel que :

«0,) = 2r8in'-

«n ç, = 1 et », = jée de l'oscillatioD entière sera doDC ;

La valeur de Vintégrale elliptique complète qui figure dans cette expression peut s'obtenir au moyen d'un développement en série. En effet K étant inférieur à Tunité, il en est de même

a fortiori du produit K* sin* 9, et l'expression (1 — K' sin* ç)"» peut être développée en série par la formule du binôme qui donne :

(l-K«sin«9)'"*^ = l- ^-l^K«sin»9+ ^—IZA-J ^ K* sin* ?

(-HH-iHz!)

K* sin* 9 4-

= l + iK«sin«9 + 5^K*8in*? + y^R«sm«? +

Par suite :

+ 2T-ë / 8in«9d? +

Mais, d'après un résultat obtenu en Analyse (§ 2S9), on a généralement :

En appliquant cette formule à l'évaluation des intégrales précédentes et calculant directement la première, on trouve :

ETCDE DES FORCES — STATIQUE ET DYNAMIQUE i73

Examinons actuellement le cas da mouvement révolutif.

2r Désignons par K' le rapport -r- qui, dans ce cas, est inférieur à

l'unité. L'équation (3) s'écrira :

'=l\/|/v.-";sin.|'

ou.en posant g = ?:

On retrouve encore pour l'expression de ( la fonction elliptique de première espèce. La durée de la demi-révolution s'obtiendra

en intégrant de 6 = 0 à 6 = x, c'est-à-dire de<p = 0à?=5,et

celle de la révolution eatière sera par c

ôT i = K..y|[. + gK; + ^K: + l^|è|Kr+...].

occupe la position H"H" tangente au cercle, l'équation (3) se

réduit à :

il'

et donne par une intégration facile :

t=\/ - log. nép. tg (— p-) + constanle. Si l'on veut calculer le temps T nécessaire pour parcourir la

aa', on doit prendre l'expression précédente t ic et l'on trouve pour T une valeur infinie. que le point mobile, comme nous l'avions s indéfiniment du point a' sans jamais l'at-

mesare da temps. — On réalise dans la iut que nous venons d'étudier en suspendant it fixe une bille pesante de faible diamètre,

elle-même après l'avoir d'abord tenue au s en effet dans la suite que l'attraction terlimilëe dans ce cas à une force de direction

mobile à un simple point matériel. On admet

ion du fil joue le même rôle que la réaction

irécédente.

le pendule, et la loi de l'isochronisme des

s'applique au phénomène physique que l'on

strictions énoncées au paragraphe 56.

li au commencement de la Dynamique un uei les phénomènes mécaniques idéaus doîentiquement à des époques différentes, si la

points est identique.

incipe dans le monde matériel, on pourra par ! d'un phénomène mécanique identique détertemps toujours la même, qui, choisie pour e à la mesure d'une durée quelconque, irai pour cette mesure le pendule, parce que ochronisme (en admettant bien entendu que que théorique se trouvent vérifiées dans le I), il ne sera pas nécessaire de reproduire ne écart initial pour obtenir des oscillations ussi parce que, d'après la loi de périodicité ulaire, les phénomènes égaux en durée se lêmes dans ce mouvement sans qu'on ait

Il est vrai que, dans la pratique, la résistance de lair dont on n'a pas tenu compte doit jouer un certain rôle. Mais cette résistance est faible si les dimensions du corps pesant sont faibles elles-mêmes (*). En outre, si cette résistance a pour eflfet de diminuer peu à peu l'écart initial, cet eflfet ne modifie pas la durée des oscillations, et le retard qu'elle apporte à chaque oscillation doit être sensiblement le même pour des oscillations peu différentes.

Telles sont les raisons qui ont fait choisir le pendule pour la mesure pratique du temps. Nous n'entrerons pas ici dans la description des dispositions à réaliser pour l'établissement d'un pendule. Nous nous bornerons à développer à propos de la mesure du temps quelques considérations générales sur le choix des unités fondamentales adoptées en Mécanique.

90. OlMservations générales sur les unités adoptées en Mécanique t eonilition d'itomosénéité des équations. — Une grandeur se mesure généralement par son rapport à une grandeur de même espèce arbitrairement choisie comme unité.

Les équations de la Mécanique renferment des grandeurs de trois espèces :

I** Des longueurs, des surfaces, des volumes, des angles;

2* Des temps, des vitesses linéaires, angulaires et aréolaires, des accélérations correspondant à ces vitesses ;

3** Des masses, des forces et des travaux.

Les quantités de la première espèce sont de nature purement géométrique et s'expriment au moyen de longueurs ; celles de seconde espèce sont des quantités cinématiques, exprimables au moyen de longueurs et de durées ; enfin celles de troisième espèce renferment dans leurs expressions des longueurs, des durées et des masses. Toutes ces quantités peuvent donc se rapporter à trois grandeurs fondamentales : la longueur, la durée et la masse ^

(*) On ratténue encore en donnant au corps pesant la forme d'une lentille très aplatie dans le sens du mouvement.

ÉTUDE DES FORCES — STATIQUE ET DYNAMl

Telle est la condition d'homogénéité à laquell équations de la Mécanique doivent satisfaire.

Cette considération permet dans certains cas d forme des équations que l'on doit obtenir. Ainsi, dfi pendule que nous venons d'étudier, la durée de l'c l'on suppose la vitesse initiale nulle, ne dépend évidei quatre quantités qui sont : la masse m du point m( lération g due à la pesanteur, la longueur r du fil tial 0,. La détermination de T doit donc se faire au relation telle que

Haia cette relation devant satisfaire à. la conditio néité par rapport aux longueurs qui n'entrent que d quantités g et r, si on l'écrit sous la forme

le facteur - étant indépendant de l'unité de longueu:

plus que dans g (abstraction faite du facteur -), c

quantité doit disparaître comme facteur commua de qui se réduira ainsi à :

La condition d'homogénéité par rapport aux i d'autre part que ta variable m, qui dépend seule i masse, disparaisse aussi comme facteur commun.

Enfin, si dans la relation subsistante

on remplace -par -TwT*, le factenr -rju étant ind

'■ temps qui n'inÛue plus, abstraction faite de ce derlur, que sur la aeule quantité T, celle-ci devra dispaon tour et il restera en définitive

|ui, résolue par rapport à T, donnera pour la durée de }n une expression de la forme

conforme à celui que nous avons précédemment

usuelles : unités G, G, S. — L'unité de longtteur usuelle ire : c'est la longueur à la température de la glace fonmètre étalon en platine construit par Borda et déposé ives nationales. Cette unité choisie par la Commission istituée le 8 mai 1790 avait été déterminée, d'après des géodésiques faites par Delambre et Méchain à cette omme représentant exactement la dix-millionième parirt du méridien terrestre.

Été conservée et même adoptée depuis lors par la plunations étrangères, bien que d'après des mesures plus les évaluations de Delambre et Méchain aient dû subir corrections.

■ de temps généralement usitée est la seconde : c'est ile l'oscillation à la latitude de Paris d'un pendule dont ur est-égale à 0°, 99390. Cette unité a été choisie, ainsi l'avons déjà fait observer {g i), parce qu'elle répond à ion exacte, la 86.400* partie, du jour moyen dont la t souvent à mesurer le temps dans les calculs astro^ . Si l'on désigne par g l'accélération due à la pesanteur, de g qui dépend, comme nous l'avons remarqué, des 1 longueur et de temps choisies, sera donnée à la

ÉTUDE DES FORCES — STATIQUE ET DTNAIIIQUE latitude de Paris par la formule du pendule

'Vl

où l'on doit remplacer r par 0,99390 et T par l'unité. trouve ïÙQsi :

If ous établirons plus loin (§ i 04) la formule qui lie entre e les valeurs de g aux différentes latitudes.

Pour les grandeurs de la troisième espèce (masse, force, vail), on a pris à l'origine la force comme grandeur fondan taie et Yunité de force adoptée a été le kilogramme, c'est-àle poids à Paris d'un étalon déposé aux Archives nationale représentant & peu près exactement le poids d'un litre d'eau p à Paris dans le vide à la température de 4'',1. Mais, ainsi nous le verrons plus loin, le poids d'un corps, c'est-à-dir résultante apparente de l'attraction terrestre sur ce ci entraîné par le mouvement de la Terre, doit varier sensiblen suivant le point du globe où l'on se place; et par conséquen l'on veut conserver le kilogramme comme unité fondament on se trouve dans la nécessité d'avoir un étalon différen chaque point de la Terre. C'est pour éviter cet inconvénient l'Association britannique a proposé de choisir la masse cor grandeur fondamentale, et de traiter la force comme gran< dérivée. La masse d'un étalon reste en effet la même en quel point qu'on le place. Dans ce système, qu'on désigne sous le : de CGS {centimètre, gramme, seconde), l'unité de longueuré le centimètre et l'unité de temps la seconde, l'unité de massf celle d'un centimètre cube d'eau distillée à la tempéra de 4'',1 : on lui donne le nom de gramme-masse. L'unité force qui en résulte, d'après la formule

P= mg,

le poids P du gramme-masse divisé par l'accélération g due L pesanteur : cette unité de force a reçu le nom de dyne. A is l'accélératioiL étant égale en centimètres-secondes à 980,9, 1 poids d'un centimètre cube d'eau distillée étant un gramme. aleur de la dyne est donc :

i gramme

un peu plus d'un milligramme.

afin l'imité de travail, qui a reçu le nom d'erg, est le trade l'unité de force (dyne) lorsque son point d'application ourt dans la direction de la force l'unité de longueur (centi- ■e).

1 France, l'emploi rationnel de ces nouvelles unités n'a pa^^ re prévalu, et l'on conserve en générall'unité de force comme i fondamentale. Dans la pratique, on ne tient pas compte linajre des variations de la pesanteur, qui pour la plupart applications sont sans importance, et l'on détermine le poids corps par la balance, c'est-à-dire par la comparaison avec loids gradués et rapportés eux-mêmes à l'étalon des Archives. loids métrique p^ d'un corps ainsi mesuré est indépendant eu où l'on opère sa détermination, les Tanations de la pesasse faisant également sentir sur le corps pesé et sur les s auxquels on le compare : c'est le poids réel qu'aurait à s le corps considéré. Il est donc essentiel de distinguer ce i métrique du poids théorique p auquel il est lié par la ion

représente la valeur de l'accélération due & la pesanteur air I: où l'on effectue la pesée.

1 . c) Pendule eyoloidal. — Le calcul du paragraphe 89 ire que l'isocbronisme des oscillations circulaires n'est pas

e proposer do rechercher la courhe rirons, c'est-à-dire celle pour laquelle les

^actement la même durée quelle qu'en soit

l'amplitude.

On s'assure aisément que la cyclolde renversée satisfait à cette condition. ÂppliquoDseneffetdans le cas de cette courhe l'équation des quantités de mouvement projetées sur la tangente ; nous aurons, en désignant par « l'angle au centre mcd du cercle générateur, et en nous rappelant que la tangente à la cyclolde est la droite me qui joint li point m à l'extrémité du diamètre vertical de ce cercle :

Or, d'après la propriété connue de la développante BÂ.',

2 r cos^ = me = smn = -arc cycloldal mB. Désignons par s l'arc cycloldal mB, l'équation (1) devient

et l'on voit que le mouvement du point sur la cyclolde est exactement assimilable au mouvement rectiligne du paragraphe 75. Ce mouvement se compose donc d'oscillations rigoureusement

Tones dont la durée

[dépendante de la position initiale m^.

réalise matériellemeiit le pendule cycloldal en construisant arcs rigides de cyclolde OA, OB, et en suspendant une bille à un fîl fixé au point 0 et de longueur égale & quatre fois le rayon du cercle générateui- de la cyclolde AOB.

Dans le mouvement, le fil s'enroule sur les arcs OA, OB, et oblige la bille à décrire une développante de la cyclolde rigide qui est précisément une cyclolde égale.

tte disposition ingénieuse imaginée par Huyghens n'esl » employée dans la pratique, tant à cause des difficultés de ;ruction et d'ajustement des arcs cycloldaux qu'en raison adhérence du fil contre ces arcs : ce double inconvénient lenserait, et au delà, l'exactitude théorique de l'appareil.

e intégration facile permettrait d'ailleurs de suivre en sens se les calculs précédents et de s'assurer ainsi que la ïde est la seule courbe jouissant de la propriété du tautolisme.

Z. Cas où-la tn^ectolre n'est pa« dlreetemeat nue et »e trouve déterminée piu* certnines eondl-

m. — Pour compléter cette étude du mouvement d'un point ine courbe, nous signalerons ici quelques problèmes spé- : où, la trajectoire n'étant pas directement connue, on peut ' à la déterminer par certaines conditions imposées à la ion supposée normale i. cette courbe.

ÉTUDE DES FOaCES — STATIQUE ET DYNAMIQUE 183

La méthode précédemment exposée ne s'applique pas, bien entendu, dans les questions de ce genre, dont la solution est en général fort diMcile. Nous nous bornerons à montrer sur exemple comment, dans quelques cas particuliers, les problèn de cette nature peuvent être résolus.

Supposons qu'on veuille déterminer dans un plan vertical

trajectoire obligée d'un point pesant par cette condition que

réaction normale à adjoindre à la pesanteur ait une valeur égt

à la composante normale de cette force- Les équations du mouvement du point m en projection sur

tangente et la normale k la trajectoire

sont alors, en désignant par a l'angle que

fait avec l'horizontale la tangente à la

courbe,

do m-^^= — mg sin a,

m -■ = — 8 mg cos a {').

Ces équations peuvent s'écrire d'ailleurs :

"'= — Sgpcosa,

et l'on voit que l'élimination de v entre ces deux relations do conduire à une liaison entre p et a qui sera l'équation différentiel] de courbure de la trajectoire cherchée. On trouve effectivemen en différentiant la seconde et en y portant la valeur de vd tirée de la première ;

cosadp = 2psin<tc(<i,

CI Dans le cas de lafigure, les directions posilivea luivant la tangente ■ la normale étant mt et mn, les seconds membres doi»ent être éyideramei affectés da signe — et la dlacusssion des autres cas qui peuvent se présent» ferait voir qu'on est toujours ramené à la même détermination de siRoes

ÉTUDE DES FORCES — STATIQUE ET DYNAMIQUE li

pour que le point mobile se transporte do a en b dans le mo'~ de temps possible.

Le temps employé par le point mobile et dont il faut cbercl le minimum a pour expression :

Remarquons d'abord que la solution doit se trouver contei dans le plan oa, bb^ mené par ab perpendiculatrement au plan En eftet, si l'on considère une trajectoire a|jL& menée en deb de ce plan, en faisant décrire à a|x un cône de révolution auti de aa^ on obtiendrait dans le plan aa^ bf^, la génératrice am ce cône, et la ligne brisée amb pour laquelle am= ai* etTn6< serait parcourue dans un temps moindre que a^ii, ce qui mon que a^ ne saurait satisfaire à la condition proposée.

Cherchons donc la solution dans le plan aa, bb^ et pour c

'-ife

prenons comme variables auxiliaires les angles a et 3 que f respectivement am et mb avec la perpendiculaire au plan P. Ces deux angles sont liés par la relation

htga+htg^ = d,

^signant par A, A et rf les distances aa, , bb^ des deux points es au plan P, et la longueur a^ £, .

troduisons les variables a et ^ dans l'expression du temps oyë, cette expression devient

wcos«''"»'cosp'

L solution du problème s'obtiendra en égalant à zéro sa ■entieile. On trouve ainsi :

ailleurs, la diffërentiation de la relation (1) donne :

COs'a COS'p

combinant les équations (2) et (3) on obtient la pro-

aractérise la position de amb, satisfaisant aux condition'! ■oblème.

venons actuellement à la démonstration du théorème

aé.

aginons la série des surfaces de niveau définies par les

s F entre le point m, et le point m, et soit C {m^ mm'm"m,}

ijectoire qui répond au minimum de l'intégrale.

tte trajectoire devra satisfaire évidemment & la condition

ETUDE DES FORCES r- STATIQUE ET DYNAMIQUE

du minimum pour chacune de ses parties. Si l'on considère en particulier l'arc infinitésimal mifnfmf' correspondant à trois points consécutifs et si, laissant les points m et m" immobiles, on attribue au point m' différentes positions sur la surface de niveau S' à laquelle il appartient, celle qu'il occupe effectivement doit rendre minimum la somme des deux éléments de l'intégrale fournis par les deux éléments mm' et mm" de la trajectoire. Désignons

par V et v-^-dv les deux valeurs que prend la vitesse lorsque le point traverse les surfaces S et S'. On pourra considérer ces deux vitesses (en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur) comme applicables respectivement aux trajets mm' et ram". Les deux éléments correspondants de l'intégrale ont alors pour expression

m v>, mm' + m (u -f dv) w! m,'\

et conune le déplacement du point m' ne modifie ni mv ni m (v-fdv), on se trouve dans des conditions analogues à celles du problème préliminaire : le minimum exige donc que le plan m m' m" osculateur à la trajectoire contienne la normale m' F à la surface de niveau S', et qu'on ait en outre

sma

t? + du

sin(a + d>) V

en désignant par a et (a + dix) les angles que font les directions mm' et m'm" avec celle de la normale à S'.

On peut reconnaître d'abord par la relation (1) que si v va en

donc coïncider avec celle de F, qui appartient aussi à ce plan, et par conséquent la réaction R normale à la trajectoire, qui s'ajoute en général à F pour former *, doit être nulle dans ce cas, comme nous nous proposions de le faire voir (*)

Le théorème de la moindre action peut se démontrer également par le calcul des variations : nous aurons recours à cette démonstration dans le cas des systèmes de points matériels.

L'intégrale minimum peut s'écrire encore par la substitution de vdt à ds

J'unis

Le produit mvds ou mv^dt est désigné quelquefois sous le nom de quomtitë d'action du point mobile ; de là le nom du théorème qu'on vient de démontrer.

941. BraeliUitoclupone. — A la démonstration précédente se rattache la solution d'un problème intéressant qui peut s'énoncer de la manière suivante :

Etant donné un point matériel qui se déplace entre deux positions m^ et m, soi^ V action de forces F déterminées par une fonction des forces susceptible d*v/ne valeur unique en chaque point de V espace^ on oblige ce point par V adjonction d*u/ne réaction R à décrire entre m^ et m, une trajectoire donnée^ et Von demande quelle doit être cette trajectoire pour que le temps employé par le point mobile pov/r effectuer le parcours m^ m, soit aussi petit que possible.

Ce problème revient à chercher le minimum de l'intégrale

ou

(*) En eflet cette réaction R normale k la trajectoire ne saurait coïncider avec F en direction.

. >f -«^ifc"-

)a appliquant à sa solutioB un raisonnement calqué sur celui paragraptie précèdent, on arrive à la relation

ne diffère de celle que nous avions trouvée que par le renverlent du rapport figurant dans le premier membre. Il résulte

ce changement que pour la trajectoire convenant à cette stion nouvelle, dm est positif avec dv, contrairement à ce qui ,it lieu dans le cas de la moindre action. Le centre de coure [il, se trouve donc sur la normale principale du côté de la face S. Le plan osculateur ^^m'm" contient d'ailleurs, comme cédemment, la force F, et par suite laréaction R est dirigée fant la normale principale «î;*,.

.a. relation (!'} conduit d'autre part aux équations dv

cot a d » = + —

cette dernière identique à Téquation analogue du précédent paragraphe.

La résultante générale $, qui détermine le mouvement, doit donc, comme dans le cas précédent, faire Tangle a avec la tangente nfiirJ't à la trajectoire, mais comme, dans le cas actuel, elle se trouve située dans Tangle ^^iv!m'\ au lieu de coïncider avec la force F, elle est symétrique de cette force par rapport à la tangente m'm". La force R normale à la trajectoire et qui, par sa composition avec F, doit donner <&, sera donc dirigée parallèlement à 'm'^^ et égale, comme on le voit sur la figure, à la longueur F<ï>, c'est-à-dire à 2 F sîna.

Cette propriété suffit dans bien des cas pour déterminer la nature de la courbe cherchée, qui a regu le nom de brachistochrone.