Application au cas d^nit point pesant. — Si les
forces F se réduisent à la pesanteur, c'est-à-dire à une force
verticale mg de grandeur constante, les surfaces de niveau sont des plans horizontaux. On peut remarquer d'abord que, dans ce cas, la brachistochrone est une courbe plane contenue dans le
3 mais indéterminée en direction*, en
désignant par h la hauteur de chute ^ correspondant à cette
vitesse, réquation(a}
deviendrait /
la courbe cherchée serait donc encore une cycloïde, mais la droite de hase de cette cycloïde, au lieu d'être l'horizontale m^X, serait une parallèle m, X, à cette horizontale menée à une hauteur A au-dessus de m, ; le mouvement sur l'arc de cycloïde m, m, s'efEectuerait d'ailleurs comme si le point mobile était parti d'un point de m, X, sans vitesse initiale {'). On peut remarquer que si l'on déterminait la direction de la vitesse initiale t-,, de manière à ce que le point m soumis aux
O 11 est facile de reconnaître qu'une cycloïde eat complètement déterminée loraqu'on conaalt deux de ses points m, m, et sa droite de base m^ Xg. Dans le cas où le point m part de m, sans vitesse, ta brachistocbrone s'obtient très simplement en coDstraisant d'abord snr m, X, et a*ec m, comme point de rebroussement une cjeiolds anxUiûra, quelcoitqae d'aillenrs, m, 7 qnt conpe la corde m, m, en (i,
La cycloïde cherchée se déduit de cette cycloïde auxiliaire, comme courbe homothétique, avec r comme pAle d'homothétie et — ^ — ^ comme rapport.
9 actions de la pesanteur vienoe passer en m, dans sa chute lolique, la parabole m P, ainsi obtenue, répondrait, d'après éorème de la moindre action, au minimum de l'intégrale
ds, comme la cycloldemC répond au minimum du temps!,
■à-dire de l'i
peut observer encore que d'après les démonstrations dentés, la trajectoire de la moindre action, ainsi qiie li listochrone ont des plans osculateurs qui passent par la F, et qui sont normaux par conséquent à la surface de u que traverse à l'instant considéré le point mobile.
Point assujetti à se mouvoir sur une surface donnée. \. Soient :
ition de la surface sur laquelle un point m est assujetti à se
oir;
Y, Z les projections suivant les axes de la résultante F des
I connues.
i forces inconnues qu'il faudra adjoindre à, F pour obliger le
à rester sur la surface auront une résultante R que nous
lerons réaction de la surface et dont nous désignerons par
„ R, les trois composantes suivant les axes.
. équations du mouvement seront donc :
a donc en tout quatre équations entre les sept variables ;, R,, R^, R„ ett et le problème resterait indéterminé, c'est-
à-dire qu'il y aurait pour la réaction une infinité de grani admissibles, si l'on ne se donnait pas deux équations nouv On les obtient en imposant à la réaction la condition normale à la surface donTiée. Cette condition s'exprime p; équations n\ Rx — Rt __ Ri
Égalant ces trois rapports à
V(i)"+(S)'+fê)*
on en déduit les expressions de R„ R,, R, en fonction i X, y, s et ces valeurs portées dans les relations (3) fourni avec l'équation de la surface un système de quatre équj qui, ne renfermant plus que R, x, y, s et t, permettent d'i mer en fonction du temps les quatre premières de ces vari:
L'application des théorèmes des forces vives ou des qua de mouvement projetées sur la tangente ne pourrait plus duire comme dans le cas précédent à la solution immédia problème, car la trajectoire n'étant pas connue, la compc tangentielle de la force F n'est pas a priori déterminée.
Mais les observations relatives aux surfaces de niveau encore applicables.
En particulier, si la force F est nulle, l'équation des : vives montre que la vitesse est constante en grandeu: réaction qui est déjà normale à la trajectoire par cela qu'elle est normale à la surface, doit être dirigée dans c suivant la normale principale à cette trajectoire et sa gra
doit être égale à 1 c'est-à-dire qu'elle varie en raison in
P du rayon de courbure p de la courbe. Il résulte encore de 1 le plan oscnlateur de la trajectoire est normal à la surfa comme cette propriété appartient à la courbe d'une manier
Le signe — dont est affecté le dernier par une discussion à faire sur la &gure.
Éliminant R,, R,, R. par l'application d( on trouvera :
'"di*- T "'"•
équations qui, jointes & celle de la sphè: tement la solution du problème.
Cette solution, qui n'offre plus que de exigerait pour être exposée ici des déveloi râbles : nous nous bornerons & donner approchée de la question.
9S. Remarques générales s*«pi tiens précédentes. — 11 est intéressan
hj-pothèses faites sur les réactions dans li cédentes reviennent à supposer ces réact possible.
En effet supposons d'abord que le point i La réaction inconnue R composée ave forces connues constitue la force totale * ment du point sur sa courbe trajectoire ou astreint à se mouvoir. Cette force * est pro] sait, à l'accélération du point. D'autre pa: repos, son premier déplacement élémenta vant son accélération, donc cette accéléi force ^) doit être : dans le premier cas, trajectoire; dans le second cas, tangente La plus petite grandeur géométrique qui une résultante satisfaisant et ces condition ment : dans le premier cas en abaissant
îur la tangente à la trajectoire; dans le second : de l'extrémité de F une perpendiculaire sur le surface donnée.
tellement que le point ait une vitesse initiale i\.
le sera plus dirigée suivant la tangente à la
elle devra être située dans son plan osculateur
et sa composante nonnale
à la trajectoire sera égale à
— =) en appelant p le rayon P courbure de cette courbe.
Cette composante normale mn, dans le cas où la trajectoire est connue, peut être immédiatement consaité de la résultante * sera nécessairement située sur la parallèle nk à ml menée par n. La plus petite des grandeurs géométriques qui, ajoutées à F, satisfont à cette condition, est la perpendiculaire abaissée de l'extrémité de F sur nk, et l'on voit que cette réaction minimum est normale à la courbe donnée.
le point mobile se déplace sur une surface, il est la projection n^ de la force * sur la nonnale
à la surface est égale à — 2, r désignant le rayon de courbure
de la section normale qui passe par la vitesse initiale mv^. En
effet, cette projection doit s'obtenir en projetant sur la normale à
la surface la composante mn ou — - dirigée suivant la normale
principale à la trajectoire. Désignant par 6 l'angle pmn que fait le plan osculateur à cette trajectoire avec la normale à la surface, on aura :
mp = — ' 008 0,
c'est-à-dire à cause du théorème de Meusnier qui donne p = r cos 0
— mvl
ainsi que nous l'avions annoncé.
La surface étant connue ainsi que la vitesse initiale v^, on peut construire mp et l'extrémité de la résultante $ sera nécessairement située dans le plan P parallèle au plan tangent mené par le point p. La plus petite des grandeurs géométriques qui, ajoutées à F, satisfont à cette condition, est évidemment la j)erpendiculaire abaissée de l'extrémité de F sur le plan P et l'on voit que cette réaction minimum est normale à la surface donnée (*).
Nous reviendrons sur ce sujet à propos des liaisons appliquées aux systèmes matériels en général (§ 129).
90. €3aleiil de la réaction. — Ces observations fournissent le moyen de calculer simplement et directement la valeur de la réaction dans les deux cas étudiés :
(*) Cette détermination de la réaction s'applique évidemment d'une manière continue à toute époque du mouvement en prenant, au lieu de la vitesse initiale v^^ la valeur de v correspondante.
réaction normale à la courbe ne puisse être que répulsive, ou en d*autres termes que le cercle ne retienne pas le point mobile, mais Tempéche seulement de pénétrer dans son intérieur : c'est ce qu'on réalisera matériellement par exemple au moyen d'une bille roulant sur un cercle plein vertical.
On demande à quel moment de son mouvement la bille se détachera du cercle.
On donne la position initiale m^ et Ton suppose nulle la vitesse initiale.
Dans le cas actuel, la trajectoire est plane et la force connue mg est située dans son plan.
En appliquant la construction précédente, on a en projection sur le rayon Om l'équation algébrique :
. mu*
R = mg cos 9,
et Ton voit que, tant que le. point m reste voisin de son point de départ m^ supposé peu éloigné de A, la hauteur de chute étant faible, la vitesse est petite et la valeur de R négative, c'està-dire que la réaction est dirigée suivant le prolongement de Om.
A mesure que v augmente et que cos 9 diminue, R va en diminuant, il devient nul pour la valeur particulière
7 = Sf cos <?i.
Or si Aj est la hauteur de chute correspondante :
13] = 2 sf/14 = 2 gr (cos 90 — cos 9j) ; en portant cette expression dans l'équation précédente, on trouve
3 cos 9i = 2 cos 9o,
C08 ?! = 5 COS Oj,
e la position cherchée. Lorsque le mobile les conditions du mouvement cessent d'être s détache du cercle, et tombe suivant la loi iraboUque des points pesants, lier où le point de départ serait le point A se détacherait pour l'angle ç, donné par la
cosç, =
apprc»ehée pour le problème du
le* — Reprenons la figure du pendule sphérique. A un moment donné, on construit la résultante générale m* comme il a été indiqué au paragraphe 09.
On voit que cette résultante rencontre constamment le diamètre vertical OA.de la sphère, ce qui permet d'abord , d'appliquer le théorème des aires au mouvement projeté sur le plan horizontal.
Ce mouvement s'effec- EOQS l'action de la force i^^, projection
résenter évidemment que comme cas limite, soit jépart infiniment voisin de A, soit que, parlant exaclint mobile s'y trouve animé d'une vitesse initiale
Pour calculer la grandeur de cette projection, projetons horizontalement le contour mp^ : en désignant par 6 Tangle en 0, nous aurons
ji(p = sin 6 + rngf sin 6 cos 6.
Or
en appelant h la hauteur de chute, égale à
r (cos 8 — cos 6j^),
si 0^ est Técart initial.
On a donc enfin
{i 9 = 3 mq sin 8 cos 8 — 2 mg sin 8 cos 8^.
Supposons maintenant que le point mobile s*écarte peu de la verticale, les cosinus de ^^ et de 6 pourront être approximativement remplacés par l'unité, et le mouvement du point p. pourra être considéré comme produit par l'action d'une force centrale égale à ing sin.O, c'est-à-dire proportionnelle à (xo).
Les calculs du paragraphe S2 sont dès lors applicables et donnent pour le point jjl un mouvement elliptique dont la révolution complète*^ s'effectue, autour de a> comme centre, dans un
temps « i /- indépendant de toutes les conditions initiales.
V 9 Le mouvement du point m se déduit immédiatement de celui de
sa projection.
