MOUVEMENTS RELATIFS
102. Forces apparentes t équations du mouvement relatif d'un point. — Nous avons défini le mouvement relatif en Cinématique et nous sommes arrivés à recon-
Od suppose connues les forces réelles qui agissent sur un point matériel. Soit F^ la résultante de ces forces.
On connait d'autre part le mouvement d'ensemble qui entraîne un système dont le point considéré fait partie.
Le point mobile prendra, par rapporta ce système, un mouvement relatif qui semblera un mouvement absolu à un observateur entraîné avec le système mobile.
Ce spectateur attribuera le mouvement en question, absolu pour lui en appiirence, & une force relative qu'on demande de déterminer.
Cette force relative, donnée par la relation ci-dessus
s'obtiendra en ajoutant à la force réelle F, deux forces apparentes — Fj et — Fe .
Ces deux forces apparentes s'appellent force d'inertie d'entraînement et force centrifuge composée.
Avec l'adjonction de ces forces le problème du mouvement relatif se traite exactement de la même manière que s'il s'agissût d'un mouvement absolu.
Les composantes de ces forces apparentes suivant les axes coordonnés mobiles sont faciles à obtenir : en les désignant par X„V„Z,,X„Y„Z, et appelant X, Y, Z celles de la force absolue F«, le mouvement apparent relatif aux axes mobiles supposés fixes sera donné par les équations :
"^ = '' + '''+'^' mg = Y + Y, + Y.,
On doit remarquer que la force centrifuge composée est nulle :
1' Si la vitesse relative est nulle ;
îi cette vitesse est parallèle à l'axe instantané d'entraiit;
îi le mouvement d'entraînement est une translation. ist très important de remarquer également que la force fuge composée, étant perpendiculsûre à la vitesse relative, umit aucun travail dans l'équation des forces vives uée au mouvement relatif.
te force n'entre pas non plus, pour la même raison, l'éqaatioD des quantités de mouvement projetées sur la ite.
ervons encore que, parmi les forces réelles qui entrent les équations du mouvement relatif, peuvent figurer des connues et des forces inconnues, à la conuaissance îUes on supplée par des liaisons,
3. Application de la théorie du luoavenient If & l*équlllbre et aa mouvement apparenta Ala tce de la Terre. — Réduisons dans une première dmation le mouvement de la Terre aune rotation uniforme ■ de la ligne des pôles supposée fixe, et admettons, B nous l'avons déjà fait, que l'attraction terrestre consiste ine force mG dirigée vers le centre de la Terre considérée a sphérique et communiquant la même accélération G à les points matériels (nous justifierons plus loin cette lèse, du moins dans une certaine mesure) (*). r un spectateur entraîné dans le mouvement ainsi dëfini, ction de la Terre se manifestera par une force relative qui . ni la direction de mG, ni sa grandeur, et qui s'obtiendra atant à mG les forces apparentes de la théorie précédente, a résultante mg ainsi obtenue qu'on désigne communément
L dialance au centre de la Terre pouvant être regardée comme txijorsqu'il aagit de déplacements très petits à sa surface, l'hypothèse ea 1 n'est qu'un cas particulier de celle qui suppose la force en raboQ du carré de la distance. (Voir § ISS.)
SOUS le nom de pesanteur, et à laquelle un spectateur inconscii du mouvement qni l'entralae attribuera la chute des corps ; c'< cette force que nous avons déjà fait figurer dans plusieu calculs.
La pesanteur mg est donc liée & l'attraction terrestre rée mG par la relation géométrique
mg=wiG — mr, — mr,,
ou
10-4. Premier cas. — Repon relatif t pe«antei apparente. — Dans le cas du repos relatif, la force centrifu composée est nulle.
Considérons un corps en repos relatif à la surface du globe et assimilons ce corps à un point matériel m. Soit u la vitesse de rotation de la Terre autour de la ligne des pôles PP'; nous supposerons constante cette vitesse angulaire.
En généra! le point m ne peut rester en repos relatif que par l'effet d'une certaine réaction qui l'empêche de pénétrer à l'intérieur de la surface terrestre. Désignant par R cette réaction, on aura po l'équilibre relatif la relation géométrique :
ou
mG + mw*d + R = 0,
en appelant d le rayon md du parallèle.
On en conclut
u>r = 0-,l)3398, et par suite
Ayaot WDsi détermina la valeur de G, on aura celle de g pour chaque latitude au moyen de la formule (3).
applicable à l'équateur, montre que ei la Terre tournait avec une ntesse 17 fois plus grande, g s'annulerait en ces points, c'est-àdire que les corps à l'équateur n'auraient plus de poids apparent ; ils resteraient donc en repos à la surface de la Terre, mais sans exercer aucune pression sur le sol.
Si la vitesse de la rotation terrestre venait à dépasser la valeur indiquée, le phénomène du mouvement relatif de bas en haut se produirait.
On peut se rendre compte de ces phénomènes à'une autre manière.
Soit en effet en m un point de la section équatoriale figurée dans le plan du tableau. En traitant la question sans faire intervenir le mouvement relatif et en considérant le point matériel m comme animé d'une vitesse tangentielle initiale mv égale à ur et attiré vers le centre 0 par une force inversement proportionnelle au carré de la distance, on reconnaît facilement (VS) <|ue la trajectoire de ce point est une conique qui se confond avec la courbe équatoriale, si w*r=G.
Si uV est inférieur à G, la trajectoire mC du point libre pénétrerait & l'intérieur du globe, et alors la réaction du sol
COURS DE HÉCANIQl'E It^TIONNELLE
it oblige le poiot à rester sur la surface de la Terre.
au contraire, ëtait supérieur à G, la trajectoire mC conique extérieure au cercle, rien n'empêcherait le la suivre, et alors pour un observateur situé à k
u globe, ce mobile semblerait s'élever au-dessus
Forme du méridleo terrestre t verticale
ite. — Jusqu'à présent, nous ne nous sommes occupés grandeur de la pesanteur apparente.
:tion X définie par la relation :
:tg?.
e la verticale apparente. On démontre aisément, par dérations d'hydrostatique, que la masse terrestre, lent liquide, a dû être limitée par une surface normale I point t la pesanteur apparente, La forme du glok onc pas être rigoureusement sphérique, comme nou^ ipposé d'abord, et par suite tous les calculs que nous faire sont entachés d'une certaine inexactitude. Hais si l'on applique à cetle question une méthode analogue & celle des approximations successives, fréquemment employée pour la résolution des équations en Analyse, on pourra se servir des résultats trouvés en admettant la sphéricité de la Terre pour déterminer approximati- ' vement la correction qu'on
rter à cette première hypothèse, re ainsi que la surface terrestre doit être de révolution et
2ll
<IU6 la courbe méridienne doit satisfaire à l'équation différenifelle
ou à cause de
et eu intégrant :
dx . . —G ^
tg?=p
équation d'une ellipse qui se réduirait à un cercle si co était nul, mais qui, dans les conditions réelles du mouvement terrestre, a son petit axe dirigé suivant la ligne des pôles.
Les observations géodésiques vérifient ce résultat.
Remarquons que la latitude observée en un lieu quelconque du globe doit être, d'après la forme du méridien, l'angle X et non l'angle 9.
i 00. Deuxième ea«. — Mouirement relattf.^^ Soit un point m situé à la surface de la Terre en un Heu A que nous supposerons, pour fixer les idées, placé dans l'hémisphère nord. Prenons pour axes coordonnés :
AX tangent au méridien et dirigé vers Téquateur.
AY tangent au parallèle et dirigé vers l'est.
AZ dirigé de haut en bas, suivant la verticale apparente.
D'après ce qui vient d'être dit, ces trois directions sont bien rectangulaires.
Nous aurons à appliquer les équations générales :
lU pour simplifier les écritures, noas supposerons que l'attraction terrestre, aulieu ,-| d'entrer dans la résul-
tante (X, Y, Z) des forces réelles, ait été composée avec la force d'inertie d'entraînement (X„ Y„ Z,)- Ces deux forces en ^^' I ^^^.--^ \ effet donnent, comme on
y^ "" \ l'a va dans les para-
/ N. i I graphes précédents, une
I 2 j I résultante mff dirigée sui-
yant AZ. Par cette simplification on a donc :
X, = o Y,=o 2, = ™?- Quant à la force centrifuge composée, il est facile de l'évaluer. En t si l'on convient de porter les aies des rotations dans sens tel que l'observateur dirigé suivant ces axes voie les étions correspondantes s'effectuer dans le sens du mouvement aiguilles d'une montre, la rotation ù, aura la direction qu mae la figure, et ses composantes suivant les trois axes seront :
r = a> sinX.
En substituant ces valeurs dans l'expression de raccélération uplëmentaire [CinématiqM, S -«5) on trouve :
Multipliant par f» et changeant les signes, on a :
Z,=-2muC0sX^,
et les éqaatioQS da mouvement devieoDeDt :
n -T-^ = Z + md — 2 m M C08 1 -j2 ,
Où ï, Y, Z représentent, on ne doit pas l'onblier, les composai de la résultante de toutes 1«3 forces réelles autres l'attraction terrestre.
lOV. Application A quelques exemples. — Preti exemple. — Supposons d'abord un point mobile partant repos relatif et soumis à la seule action de la pesanteur. équations de son mouToment seront :
Sans intégrer rigoureusement ce système d'équaUons, ren qnoas que lorsque le point mobile part de la position initiait
il est supposé au repos -77. -^1 -r- sont nuls; il résulte alors équations (3) que -r^ est seul différent de zéro, ce qui indique
emîer élément de chute s'effectue suivant la verticale. La sale est donc tangente à la trajectoire et l'on peut en con*
que pendant les premiers instants du mouvement t- et t^
dt al
à côté de -7dt
Les équations (3) simplifiées d'après cette remarque se réduisent à
Zfyerùcàle ajipsrenie) en intégrant la dernière,
constfiDte, puisque — s'annule pour t ^0.
rtant dans la seconde et l'intégrant à son tour, on trouve:
eurs la première relation
roir que, pour cette solution approximative, la résultante
des forces apparentes et réelles est située dans le plan Z est alors le plan oscillateur à la trajectoire.
On est ainsi conduit aux conclusions suivantes, qui < être considérées comme exactes dans la limite des approxii précédentes :
Lorsqu'un point pesant est abandonné sans vitesse ap] initiale à une certaine hauteur au-dessus du sol, son mou' apparent pour un observateur situé à la surface de la Ter fectae suivant une courbe tangente à la verticale au p' départ et dont les premiers éléments sont situés dans '. Tei*tical passant par cette verticale et par la tangente au lèle terrestre : la courbure de cette trajectoire se manifei une déviation vers l'est dont la valeur est donnée par la f
(5) S=i»coslgl*.
On peut exprimer cette déviation en fonction de la h de chute h : en effet l'équation
donne par une seconde intégration :
et
(6) 5=i.aCOsX.2hyy = ?-^„coaX.hv'S.
Mais il faut se rappeler que cette formule n'est applicabl des valeurs de k assez faibles, d'abord à cause des simplifie introduites dans les équations différentielles, ensuite pan
6 la pesanteur apparente que nous avons représentée e composante ing dirigée suivantfOZ, n'e^t constante ni en direction ni en grandeur, lorsque la position du le varie sensiblement relativement au globe terrestre. ification expérimentale de ces résultats a été faite eu iyberg, dans un puits démine, par M. Reicb. Voici les ilatives & cette expérience :
latitude 81°, h= 158-,50;
(6) donnerait :
nne des déviations observées a été de 0'",QiBZ{'].
lecond exemple. — Étudions maintenant comme second
I mouvement relatif à la surface de la Terre d'un point
esant assujetti à décrire une droite horizontale OD et
le vitesse initiale v^.
les mêmes axes que dans la question précédente.
ingle que la vitesse initiale, dirigée suivant la droite trajectoirer, fait ""y/T£tJ avec OX, a étant compté comme positif si cette vitesse initiale tombe dans l-angle YOX.
En désignant par R„ R,, R. les com- Z/l'crticalE) posantes suivant
les axes de laréac-
Que, par X„ Y„ Z, celles de la pesanteur apparente
eur de ces eipérieoces, qui ont donné lieu à des réaullats Iris semble d'ailleurs fort contestable. Voir à ce sujet un travail de bert dans la Revue des questions scienti/îquet, a»ril 1882.
(attraction terrestre et force d'inertie d'entraînement), par X„ Y„ Z, celles de la force centrifuge composée, les équations du mouvement seront :
Ci)
'" dp
