II.I.R

a COURS DE HËCANIQUE RATIONNELLE

* i 1 0. Solution appro«iiée du problÀme précédeiit

-SapposoDS que lependule s'écarte assez peu de la verticale pour que a; et ^ restent toujours très petits, et que z ne diffère de I que par me qoanttté négligeable; dd pourra pofl«r approximativement ;

i dernière des équations (1) se réduira & :

I) On en déduira :

-2» cosX-jï-

t en portant cette valeur dane les deux premières, on trouvera :

d'y yl

-2<u COSX

dy\ d'J

+ 2u sinx

,dy^

gucosl^f) — 2o)siiïl

Supposons encore {la étant très petit ainsi que x et y) que le ermes en ux, lay soient négligeables, il restera ;

Posons pour simplifier :

ta SÎD X=:h,

les éqnations s'écriront

. ^ .fi

.rr

Projetons actuellement m en (x sur le plan XOY et désignons par u le rayon vecteur O^OMx-^-yiixx point [jl. En multipliant la seconde des équations (2) par i et rajoutant à la première, on obtiendra T équation géométrique :

f.dx

yi) = 0,

c'est-à-dire

^+8hi^ + ..« = 0.

équation linéaire à coefScients 'constants, qui s'intègre sans difficulté et donne

ursCje'^+Cse^

en désignant par a et 3 les racines de Téquation caractéristique

6« + 2/iî0 4-fe' = O.

Ces racines sont :

e = — /il d= v^iTKrZftt,

mais h*, à cause de co* qu'il contient en facteur, est négligeable à côté de A* dans le radical ; on peut donc écrire approximativement :

COURS DE MÉCANIQUE RATIONNELLE »rt, ai «, est la valeur initiale de «, et ai la vitesse iniest supposée nulle, on a, pour déterminer les cons- 3, lea relations

C, + C, = ti„

1 (3] où l'on porte cea valeurs, a'écrit :

nte, dans la limite des approximations admises, le lu point (t, projection du pendule.

I à noua rendre compte de la nature de la trajectoire : DUS mettrons l'équation (4] sous la forme :

« = j|c~*"[(fi + 'Oe"'+(ft-h)e"*"].

laçant

e"' par (ces ht + i sia kt)

e~*" par (cos ftl — i sin AI)'

w = ^•- e 2 fc cos ft( + 2 Ai sin kl •

ÉTUDE DES FORCES — STATIQUE ET DYI BésigDOns par A et B les coDstantes géomét t. A». -, ■ j

rAcosftI+ B sin Ail-

w = !l cos kl + B sÏD kt ;

le rayon vectenr w décrit une ellipse (S 8S) doi axes, et le rayon vecteur « s'obtient» en multîi c'est-à-dire en le faisant tourner d'un îingle — au temps. Donc, enfin, le point ^ décrit unf entraînée dans un mouvement de rotation uoifo verticale, et la vitesse angulaire de ce mouve ment est — h, c'est-à-dire qu'elle est dirigée dan ouest-nord. D'après la valeur de A, égal à w si angulaire varie avec la latitude : nulle à l'équ égale au pôle à la vitesse de rotation terrestre. Remarquons encore que h étant très petit pa

petit axe -V- de l'ellipse est très petit par rap]

axe tt, : la trajectoire s'écarte donc fort peu OmZ, et tout se passe en apparence comme si, lant dans un plan vertical, son plan d'oscill entraîné dans le mouvement de rotation qi définir.

Les conditions de ce problème ont été réalisé au Panthéon, dans une expérience célèbre qui première fois une preuve expérimentale de la i globe.

PLIQUÉES A UN SYSTÈME DE INTS MATÉRIELS