COS B

cosC=V'

isent, la première sa grandeur, et les trois autres les B, G que fait son plan avec les plans des axes. Il est voir qu'une aire ainsi déterminée aura, sur un pl^" ,e P, une projection égale à la somme des projections d sur ce même plan.

û Gos (P a) = Q (cos A cos a + GOB B cos p + cos C cos t)

= (S"-) cos « + {S»") cos p + {S»-) cos ï

= |§u COS(P, w).

La considération de cette mre fl fait bien comprendre com Tarie la quantité

somme des projections des airea w de l'espace, avec l'orient du plan P BOT lequel on les projette.

On voit évidemment que cette somme, é^le à

a cos (p, û),

est tODJonrs susceptible d'un maximum correspondant an cf le plan P coïncide avec celui de l'aire û, et qu'elle devient pour tout plan perpendiculaire à celui-là (en supposant, entendu, certaines aires projetées négatives).

Le plan de l'aire û a reçu pour cette raison le nom car ristique de plan du maximum des aires.

Appliquons ces considérations purement géométriques question de Mécanique qui nous occupe.

Pour cela, noua n'avons qu'à multiplier chacune des sur élémentaires Omm' par le facteur représentant la mass point décrivant — ce qui ne modifie en rien les conclusions cédentes (*) — et nous déterminerons ainsi un plan du maxi des aires pour un point 0 quelconque de l'espace.

Si maintenant ce point 0 jouit de la propriété que les fi extérieures du système donnent par rapport & lui un mo résultant nul, le théorème des aires sera applicable pour les plans passant par ce point, et les sommes

(') Il suffit d'ailleurs de considérer l'aire élémentaire décrite par un de masse m comme représentant m surfaces ég^ales superposées.

croissant proportionnellement au temps, le plan du maximum des aires aura au point 0 une direction invariable.

Si les forces extérieures sont nullQS, le plan du maximum des^ aires aura en chaque point une direction fixe, et si les différents points du système se déplacent à un instant donné dans un même plan, ce plan étant évidemment le plan du maximum des aires, pour l'un quelconque de ses points, on voit qu'il doit conserver une direction invariable dans l'espace (*).

C'est en appliquant ces considérations à l'étude du systèmeplanétaire que Laplace est arrivé à la détermination du plan inva/riable auquel on a donné son nom.

Il est facile de reconnaître que le plan du maximum des aires relatif à un point donné est aussi le plan du moment résultant

par rapport à ce point des quantités de mouvement géométriques du système.

En effet, le moment de la quantité de mouvement mV d'un point m, dont le déplacement élémentaire est mm, est égal au double de l'aire 0mm' divisée par l'élément de temps dt et multipliée par la masse m, et son axe est une perpendiculaire OM au plan 0mm'. La projection 0\k\i! de l'aire 0mm' sur un plan quelconque P

est donc égale à ^ '^ ON étant la projection de OM sur la

normale OX au plan P.

La somme des projections des aires analogues à 0mm' multipliées par les masses respectives m des points décrivants suc un plan tel que P sera donc égale à la demi-somme, multipliée* par dt^ des projections sur l'axe OX des moments tels que OM, ou, ce qui revient au même, à la demi-projection multipliée par

(*) Résultat éyident d'ailleurs par simple raison de symétrie.

ÉTUDE DES FORCES — STATIQtB ET DYNàMIQH

dt de la résultante des moments OM, c'est-à-dire di moment résultant des quantités de mouvement du sysl

La somme des projections des aires sera donc lorsque OX coïncidera avec cet axe, ce qui prouve que moment en question coïncide bien avec celui du max aires.

Par suite encore, lorsque le théorème des aires s< cable relativement à un point 0, c'est-à-dire lorsque extérieures donneront, par rapport à ce point, une i moments nulle, l'axe du moment résultfuit des quantité vement du système relatif au point 0 aura une gr une direction constantes pendant toute la durée di ment.

i23. Application do théorème des forœi travail des forces Intèrleores. — Le théorème vives s'appliquant individuellement à cbacun des ] système, par l'addition des équations qn'il fournit on ti

s^fltv* est la somme des forces vives de tous les

système, autrement dit la force vive du système; fe sentant respectivement les grandeurs d'une force ext< d'une force intérieure, a et ^ les angles respectifs de ( avec le déplacement ds de leur point d'application, les portent sur toutes les forces extérieures et intérieures sur un même point : les signes § indiquent la sommi tous les points du système.

Les deux termes du second membre représentent 1< le travail total T des forces extérieures, le second le tn 9 des forces intérieures du système pendant l'inte temps considéré.

Cherchons à évaluer le travail intérieur ^.

ces intérieures étant deux à deux égales et opposées, il

.r exemple un système de deux forces égales et contraires

appliquées à deux

points t provenant de leurs actions mutuelles. L'expres-

imune de la grandeur de ces deux forces sera (J 54]

ant par m, et m, les masses des points correspondaDts eur distance nt, m, : la direction de ces deux forces sera celle de la droite m,wi, elle-même, en sorte que pour lement élémentaire qui amène m, en m', et m, en m', 1 du système des deux forces intérieures considérées

«.'n.9('-)[^.-îîî7q.]'

n,g, étant les projections {supposées de même sens) des ents n»,m',, m,m', sur la direction «i,m,. larenthèse peut s'écrire

ProjectioD de m', m', sur m, m, — m, m^,

l'angle de m', m', avec m,mj doit être infiniment petit, résulte du déplacement infiniment petit de cette derbe, cette différence peut être remplacée définitivement par ^l^^l avec m,m,, c'est-à-dire par dr.

rail élémentaire des deux forces considérées est donc

m,m|fi (r) dr,

ÉTUDE DBS FOaCES — STATIQUE ET DYNAMIQUE

et l'on a par conséquent pour l'ensemble du système et l'iDietTalle de temps de t, à f :

=rs'

le signe |§ s'appliquant & tous les couples que l'on peut fi en associant les points du système deux à deux, les sig et / pouvant être d'ailleurs intervertis.

La quantité soumise & l'intégration, formée d'une somii différentielles exactes, est donc elle-même une différée exacte, et si l'on désigne par $ (r) la fonction primitive dt et par ru en général la distance de deux points mi et i système, on pourra écrire

L'expression qui figure entre les crochets dans le si membre représente une fonction $ des coordonnées de toi points du système et ne contient aucune autre variable qu coordonnées; on peut donc écrire :

Ainsi, le travail total effectué par les forces intérieures système pendant un temps déterminé est égal & la différenc valeurs que prend au commencement et à la fin de cet intei la fonction S que nous venons de détinir, et qui dépend un ment des coordonnées des différents points du système.

Nous allons reconnaître qu'il est possible d'étendre ce réf dans une certaine mesure à l'ensemble de toutes les f intérieures et extérieures agissant sur le système considéré.

* 1 2'4. Fonetlon des forces t principe de la con -vntlon des forces vItcs t potentiel t vlrlel t théor de VUlarceau. — Reprenons l'expression de la fonction S

COURS DE MÉCANIQUE RATIOINNELLE ent d'être établie, et désignoDs à dd instant donné par

osantes suivant les axes de la résultante des forces is appliquées à un point quelconque m; du système. Il de vérifier que les dérivées partielles de la fonction ? irt aux coordonnées du point mi sont précisément égalée

suite immédiatement soit de l'identification de d« = S (I. dx, + g. dy, + 3, dz,)

ilcul direct de l'une des dérivées de S, -p par exemple, it de l'expression :

5 = §mi m» * (Ptt),

1*5 r , , àrn , , , dra . 1

= m,[m,pMÎi^+m.ï(r,jïiIp + ]

ons s'il existe une fonction jouissant de propriétés 3 pour les forces extérieures appliquées au système, ivons vu, au début de l'étude des forces, que dims la e rationnelle les forces devaient être toujours et uniattribuées à l'actiou de points matériels , soit qu'on irer explicitement ces points dans les raisonnements et Is, soit qu'on sous-entende leur existence et qu'on leur action par certaines conditions équivalentes. DD8 par [j.,, |Aj, [JL,... les points étrangers au système et

ÉTODE DES FORCES — STATIQI

à l'actioa desquels les forces extér ï.i1i>Ci; 5ii1»>Ci"- les coordonnées de On conçoit qu'on pourra, comme po évaluer le travail des forces extérii termes telle que :

Seulement, dans le cas actuel, le si^ différente de celle qui lui était précéi devra s'appliquer qu'aux combinaisons unissant un point m,, du système avi système.

La fonction F ainsi définie renfer données a!,,y,,ï, ; «uî/jiS,,-.- des poin li'' ^t^t'^ii--- ^^^ points étrangers ai le travail total correspondant à un in il y a lieu de tenir compte non seulemer mais aussi de celles des Ç, i], I^.

Par suite, si l'on désigne par

les composantes suivant les axes de extérieures appliquées à un point n conune dans le cas précédent :

Hua si l'on remplace Xf Yi Zj par 1 rentielle du travail des forces extérieu

dT = S(X«tx, + Y,dy

COURS DE MÉCANIQUE RATIONNELLE tient l'expression

S/dW . dW. dF . \

'est plus en général une différentielle totale, puisque les intielles partielles de F par rapport aux variables qu'elle me ne figurent pas toutes dans cette expression, ourra se faire cependant que dans certains cas particuliers ession trouvée soit la différentielle totale de F, et il ea linsî ea particulier si l'on suppose les points extérieurs . immobiles, mais ce sera là un cas exceptionnel. général d'ailleurs, ainsi que nous l'avons déjà observé, les I étrangers au système n'interviennent pas explicitement, forces extérieures se trouvent déterminées par des condiqui tiennent lieu de l'action de ces points .et qui permettent uer pour un point quelconque mi du système les composantes Z( en fonction des coordonnées xt yt zi de ce point, pourra donc rechercher directement, d'après l'expression tique de ces composantes, s'il existe une fonction F de iZ,/ îr„i/„ 5,... dont les X, Yi Z; soient les dérivées par- I. On a reconnu en Analyse qu'un certain nombre de ions étaient nécessaires et suffisantes pour qu'il en soit si ces conditions sont satisfaites, la fonction F existe, et joutant h. la fonction g relative aux forces intérieures, on ra une fonction

uira des mêmes propriétés que les fonctions F et g pour la ante générale de toutes les forces tant intérieures qu'eit^s appliquées en un point quelconque du système, fonction P, comme dans le cas du mouvement d'un point, le nom de fonction des forces.

juation des forces vives, où l'on introduit cette fonction,

OU

e— eo=T+«=F— F

en désignant par 0 la force vive 5 ^mv* du système.

Elle peut s'énoncer de la manière suivante :

Le travail total effectué pendant un temps quelconque a pour mesure la différence des valeurs correspondantes de la fonction des forces.

Si la fonction des forces est uniforme, c'est-à-dire susceptible d une valeur unique pour un système de valeurs des coordonnées •^0*2/0» ^01 ^uî^p^f- 9^î y figurent, le travail total ne dépend que des états extrêmes du système et nullement de la série des états intermédiaires qu'il a traversés.

Dans ce cas, toutes les fois que le système reprend une même* situation, la fonction des forces reprenant la même valeur, il doit en être de même de la force vive. C'est ce résultat auquel on a donné le nom de principe de la conservation des forces vives^ mais on voit, par cette discussion même, avec quelles restrictions il convient de l'appliquer.

Potentiel. — On donne le nom de potentiel à la fonction des forces changée de signe. D'après sa définition, le potentiel, que nous désignerons par V, doit satisfaire aux conditions :

V dV

j dV

X, Yj et Zj représentant les composantes pour un point quelconque m,* du système de la résultante générale de toutes les forces appliquées à ce point.

L'équation des forces vives où l'on substitue le potentiel à la fonction des forces, s'écrit :

6 + V=:©^ + Vo = con8tants

et s'énonce en disant que la somme des forces vives et du potmtiel est constante pendant toute la du/rée du mouvement,

Yiriel: théorèms de Villarceau. — On désigne, d'après Clausius, sous le nom de viriel des forces^ la somme

-ISC'^"*"!;'-^'!:^)

étendue à tous les points du système et à toutes les forces, tant intérieures qu'extérieures, appliquées à ces points, les coordon* nées Xy j/, z étant celles du point d'application de chaque force.

La considération du yiriel conduit à l'énoncé du théorème suivant dû à Villarceau.

Reprenons l'expression de la force vive

et remarquons que l'on a identiquement

fdxy id^(x*) \dt) "2 df*

en faisant subir à chacun des coefficients différentiels qui figurent dans la Valeur de 6 une transformation analogue, on trouve :

Mais si l'on désigne par l la grandeur du rayon vecteur qui va de l'origine à l'un des points du système, la première somme du second membre peut s'écrire

ou

[ml*

et elle représente la dérivé© seconde par rappc SntJ', c'est-à-dire da moment d'inertie polaire dv

La seconde somme d'ailleurs (à cause de ni-T^s:^^, "*-î7r=2^) ®^* précisément des forces, et l'équation :

qui est l'expression du théorème de Tillarces disant que : La force vive du système est égale dérivée seconde du moment polaire du System viriel des forces.

13S. Somme des travaax de Ibroes ] direetlOD constante appliquées à un points et proportionnelles aux niasses i

— Un pareil système de forces est assimilable ï pesanteur et admet une fonction des forces.

En effet les grandeurs de ces forces peuvent tées par des produits tels que :

et si l'on prend leur direction commune pour cel leur travail pour l'ensemble du système aura pi

S S mgdz = Smg [z - z,] = Ug (Ç, - C.

Ainsi, le travail des forces considérées s'obti pliant par Mg le cbemin parcouru par le centre ta direction de ces forces.

Dans le cas de la pesanteur, la quantité Ug { poids du système.

notion des forces pour le aystème de forces considérées le&

ffS^ + C.

ésentant par G une constante arbitraire.

t. Cas d*nn système qal n'est sonmls qa*ans stlons mutnelles de ses points s*ex.erçant snila loi de Ne'^vton. — Lorsqu'un système n'est soumis iction des forces intérieures, nous avons vu que la a des forces existait toujours et nous avons déterminé Sii 1 3-4). Si les actions mutuelles des points du système sont

âes attractives et conformes à la loi de Newton | ç (r) = -; J .

iion des forces sera

3 S s'appliquant à toutes les combinaisons deux à deux

nts du système.

langeant de signe cette expression, on obtient le potentiel.

r. Cas d'un système & Ualsoos i hypothèses sur rces de liaison t définition du travail virtuel t àme de Gauasi — Supposons qu'il existe des liaisons lies soient assujettis les points du système : cela veut dire iehors des forces extérieures connues F agissant sur le 9 et des forces intérieures *, il existe d'autres forces les N, dites réactions, obligeant les points à parcourir 33 lignes, ou à demeurer sur certaines surfaces, ou à re dans leurs déplacements à telle autre condition géole donnée.

rtons-nous à ce qui a été dit au sujet du mouvement d'an latériel qui .n'est pas libre.

i vu qu'en général les obligations imposées au point se traduisaient dans la mise en équation de son mouvear l'adjoûctioa aux forces connues d'autres forces incon-

naes a priori, et dont la détermination devait être complétée au moyen de certaines hypothèses.

Dans les cas simples auxquels nous avons borné notre étude, le point étant assujetti à se mouvoir sur une courbe ou sur une surface fixes, les forces inconnues, auxquelles nous avons donné le nom de réactions ont été supposées normales à la courbe ou à la surface doTvnées, et noua avons remarqué que cette hypothèse revenait à admettre que la réaction qui devait effectivement se produire représentait un minimum parmi toutes les réactions possibles.

Pour gënéraUser la solution et la rendre applicable au cas d'un système de points en nombre quelconque et de liaisons d'une nature plus complexe, on est conduit à donner à l'hypothèse précédente une forme un peu différente.

On a recours à cet effet à la considération du travail virtuel, qu'il importe dès à présent de bien définir.

Les forces appliquées à un système matériel sont des grandeurs géométriques de positions déterminées dans l'espace, et les travaux de ces forces pour des déplacements donnés de leurs points d'application sont des produits de lignes que l'on peut considérer et calculer, abstraction faite de l'idée du déplacement mécanique des points qui nous a conduits à définir ces travaux.

Ainsi, mF étant une grandeur géométrique quelconque m F. mm' ces a,

sera le travail de m F pour un déplacement virtuel mm' du point géométrique m, a, représentant l'angle que fout entre elles la direction mY et celle de mm'.

En appelant virtuel le déplacement du point m, on veut dirt que ce déplacement ne se produit pas en réalité et n'est qu'une grandeur géométrique infinitésimale servant à former la quantité mF. inm' cos a, à laquelle on a donné le nom de travail virtue pour indiquer tout & la fois l'analogie et la profonde différenct qoî existent entre cette quantité et le travail réel d'une force

Cela posé, si l'on revient à là question précédente, on recon-

sans peine que les hypothèses faites sur les réactions dans

as d'un point mobile sur une courbe ou sur une suiface,

ent se résumer en disant que pour tous les déplacements

iatibles avec les liaisons, le travail virtuel des réactions doit

nul. En effet, pour tout déplacement virtuel effectué sur la

be ou sur la surface, le travail d'une réaction normale à celle

be ou à cette surface est évidemment nul, et réciproqne*

;, si ce travail est nul pour tous les déplacements admis-

s, la condition de perpendicularité en résulte.

us cette dernière forme, l'hypothèse faite sur les aréactions

le cas du point mobile sur une courbe ou sur une surface,

s'étendre sans difficulté aux forces de liaison quelconques

leuvent affecter un système matériel.

>U8 admettrons donc que, dans un pareil système, pour Knu

tcement compatible avec les liaisoTis la somme des travaux

tels des forces de liaison est nulle.

ùs l'hypothèse ainsi formulée est susceptible d'une antre

prétation indiquée par l'illustre géomètre Gauss et quicons-

une propriété remarquable du mouvement que l'on étudie.

I a vu (S O) que la déviation d'un point mobile éttùt égale

dt* 1 accélération multipliée par le facteur -3- : cette déviatioD

lonc égale à la force résultante qui prodnit le mouvement

iplié par s — > et l'on peut aussi la considérer comme U

ne géométrique de déviations composantes respectivement )S aux produits des forces composantes par ce même facteur "entiel.

Qsi dans le cas d'un point m animé au temps t d'une vitesse soumis ft des forces connues ayant une résultante F et b orces de liaison ayant une résultante N, le déplacement du , au bout du temps dt s'obtiendra en ajoutant géométrique-

. à mm, ou ^dt une déviation m, ^, ou i égale à -s — et tme ition y.m ou B égale à -^ —

Soit Ta" une position différente de m' que les liaisons auraient

^lUji permis au point m d'occuper

à Tépoque t + dt. Pour le déplacement 'ïï\!')r\!' compatible avec les liaisons, le travail virtuel de la force N sera :

Nm'm" cos a,

en désignant par a l'angle pi. m' m", et, d*après l'hypothèse générale énoncée plus haut, on doit avoir tous les points d'un système et tous les déplacements tels que m' m* :

j^Nm'm" cos a = 0,

ou bien en multipliant par -^ tous les termes de cette équation :

j^mô. 7n' m" cos a = 0.

Mais si l'on désigne par do la variation différentielle que subit la déviation 8 lorsque Ton passe de la position m' à la position m^j et si Ton suppose que, les autres points de la figure restant fixes, le point m" se rapproche indéfiniment du point m\ la quantité m' m" cos a représente visiblement d3 à la limite, et Téquation précédente revient à

c'est-à-dire que

d. Sm8« = 0,.

C'est dans ce résultat que consiste le beau théorème énoncé par Gauss, de la manière suivante :

Le mouvement d'un système de points matériels liés entre eux d'une manière quelconque et soumis à des influences quelconques

fait, à chaque instant, dans le plus parfait accord possible PC le mouvement qu'ils auraient s'ils devenaient tous libres, st'à-dire avec la plus petite contrainte possible, en prenant ur mesure de la contrainte subie pendant iln instant inpni- 'nt petit, la somme des produits de la masse de chaque point r le carré de la distance dont il s'écarte de la position qu'il rait prise s'il eût été libre (*).

Nous devons encore observer que si les conditions de liaisons iblies entre les points d'un système étaient fonctions du temps,

déplacements virtuels tels que m'm" pour lesquels le travail i forces de liaison serait supposé nul, devraient être calculés en jsant le temps invariable. En effet, dans le raisonnement prélent, on a supposé qu'en vertu des liaisons, les deux positions

et m" attribuées successivement au point mobile pouvaient e o.ccupôes par ce point au temps I + dt, c'est-à-dire à une me époque [").

h 1 S S. Théorème de la moindre action dane le cas a sy-BtèmeB matérlela. — Lorsqu'un système matériel se nsporte d'une situatioti S, dans une situation S, sous l'action forces F déterminées par une fonction des forces F susceptible ■ne valeur unique pour chaque point de l'espace, si, par l'adjoncn de forces de liaisons'^ satisfaisant à la condition énoncée au 'cèdent paragraphe, on modifie la série des positions intermÉ- 'dres occupées par le système entre les positioJis extrêmes S, et l'intégrale

I = C r ' mvds ine valeur minimum, dans le cas oii les forces de liaisons sont

) Celte position est celle qui correspond au point {i dans la figure précé-

le:

*) Nous aurons occasion, k propos du théorème de d'Alembert, de revenir

cetle imporlanle remarque.

ICES — STATIQUE ET DYNJ

%d le système est libre et es F.

Le théorème sera démontré si Qous proavoDS i

-•SX"

résultant d'une modification infinitésimale quelco N est nulle lorsque les forces N sont égales à zér Or la variation porte à la fois sur le facteur leur ds pour chaque élément de l'intégrale, et ce î. S ^*' / peuvent être permutés, on a :

Remplaçons ds par vdt dans la première inté; sortir le facteur commun dt du signe § : cette int

r'jiJdlmwSD c'est-à-dire j ' dti^

Mais par hypothèse

5 vmu' = F + constacte.

donc

d'ailleurs, en désignant par X, Y, Z les déri

(') Avec certaines restriclions cependant, car on sail qi la différentielle première est nulle ne passe effectivement ou miDimum que si sa différentielle seconde est différent* être question que d'un minimum dans le cas actuel, ca allongeant le parcours des différents points on doit pou volonté la valeur de l'intégrale.

lUX coordonnées de l'un des points du système, ou, ce qui m même, les composantes de la résultante des forces F )s à ce point :

ds onde intégrale, où l'on remplace v par -^ devient :

A. IS""^ «est-à-d.re j^^ |^m^.

8 ds* = 2 (dxEdx + dj/Bdy + dzidz), = 2ldzdSx + dydSx + dzdlz).

tuant dans l'intégrale, il vient :

itégrant par parties :

enfin

•"S[(^-S)"H-(v-™^»>. + (z-».S)«4 iremierterme de si est nul, puisque 3ir, S j/ et î a sont nuls

ÉTCDE DES FORCES — STATIQUE ET DYNAMIQ

anx limites, et le second terme s'annule également si meot du système s'effectue sous l'action des seules fo alors on a pour chaque point

et par suite, quels que soient Sx, iy et Se, les élémeol grale sont tous égaux à zéro.

Le théorème de la moindre action se trouve ainsi dé

iSO. Equilibre des forces appliquées & tème de poluts matériels. — On dit qu'un s forces appliquées à, un système de points matériels e libre, lorsque ces forces sont telles que le système étai leur action ne le fait pas sortir de cet état de repos.

Les forces qui composent un pareil système pe toutes connues ou se diviser en forces connues et lii

130, ÉqulTalence de deux systèmes d extérieures. —Soient (S) et (S'} deux systèmes de f rieures appliquées à un même système matériel. Ces tèmes sont dits équivalents lorsque le système form forces (S) auxquelles on adjoint les forces (S') changéi donne en l'appliquant au système matériel considéré v de forces en équilibre.

Supposons deux systèmes de forces extérieures f appliqués successivement à un même système matérie les mêmes conditions initiales, et considérons en par forces appliquées à un point m de masse m.

Ces forces ont une résultante F dans le premier cas, tante F dans le second, et comme l'ensemble des 1 — F doit laisser en repos le point m supposé en rep avoir nécessairement

caries forces intérieures, qui ne dépendent que de I

: des points du système et que l'adjonction de telle ou telle îtérieure ne peut modifier, doivent donner de leur côté ultante nulle sur le point m, puisque ce point était supn repos avant l'action des forces extérieures consi-

, dans le cas général des systèmes matériels quel- 3, deux systèmes de forces équivalents sont nécessaiidentiques, puisqu'ils comportent pour chaque point du e des résultantes égales : ils doivent donc produire le mouvement élémentaire lorsqu'on les applique au même 1 de points, avec des conditions initiales identiques,

1 . Tfaéoréme du travail virtuel. — Si des form t sur un système sont en équilibre, la somme de levn ; pour un déplacement virtuel quelconque doit être nulle, roquement si cette condition est vérifiée, les forces consiont en équilibre.

ïet, les forces qui agissent sur chaque point en particulier fournir une résultante nulle {sans quoi le point, supposé ■s ne resterait pas au repos). Donc la somme des travaus forces pour tout déplacement virtuel du point doit être e qu'on exprime par l'équation

1 S devant être étendu à toutes les forces qui agissent loint considéré et Ex, Sy, Ss représentant des accroisseirtuels quelconques de ses coordonnées, nt la somme de toutes les équations analogues pour tous ■ts du système, on arrivera à. la relation

gne § s'étendra à tous les points du système et qui sera pour tous les déplacements possibles Sx, Bi/, Ss de chacun joints.

ÉTUDE DES FORCES ■- STATl

Réciproquement, si cette conditi* soient les ^, Sy, Bs qui y figurent, elle i

c'est-à-dire qu'elle revient à écrire i des forces appliquées à ce point et exprimer l'équilibre du système de

Le théorème de travail virtuel tel q et de le démontrer aurait peu d'impt cette forme générale, ptiisqu'il revii au moyen d'une formule un peu diffère de chaque point.

Mais dans le cas des systèmes & systèmes solides, l'application de c( grande importance, ainsi que nous ai naître dans la suite, parce qu'il per liaison des équations de l'équilibre.

iSa. Cas d*ao mywtAma k lii

syslèmes à liaisons, si les forces de Ihdse générale du § i Ht, il suffit à travail virtuel aux forces intérieures forces de liaisons et aux seuls dêj.

tibles avec les liaisons (*).

Supposons en effet la condition du cette manière : le système au repos i

(') On dpit observer que, dana le cas de l'i Ws auxquelles les poinls peuvent être fore ment fixée, et que plus généralement toutes doivent être indépendantes du temps. Les < donc en un certain nombre de relations ne tantes connues que les cordonnées des point

repos. Car s'il prenait un déplacement quelconque, ce déplalent serait compatible avec les liaisons, et en appliquant le )rème des forces vives dans lequel les forces de liaison itrent pas, on aurait :

t-à-dire

$mvdv = 0,

jque le second membre doit être nul d'après le théorème du l'ail virtuel dont la condition doit être vérifiée par hypothèse r ce déplacement particulier.

Ir mvdv est la demi-différentielle de mu', l'équation précéte exprime donc que

;omme §mu' était nul quand le système était au repos, cette ,ntité dont la différentielle est égale à zéro, ne peut cesser ;re nulle. Mais ^mv* est une somme de quantités toutes itives qui ne peut être nulle que si chacun des termes qui composent s'annule séparément. Donc, pour chaque point, ', et par suite v, est égal à zéro, ce qui prouve que le sysle a dû rester au repos comme nous nous proposions de le îontrer.

léciproquement, si les forces extérieures F agissant sur le sysle, jointes aux forces intérieures •!> et aux forces do liaison N t en équilibre, le système supposé au repos doit rester aa os, et par conséqueut on doit avoir pour chacun de ses

nts :

comme les forces N donnent par hypothèse une somme de ?aux nulle pour tout déplacement compatible avec les llaiis, on aura pour tout déplacement {hx, iy, iz) de cette nature

et pour Tensemble du système :

§2 travaux de F + §2 travaux de 4> =0, c'est-à-dire Téquation du travail virtuel :

telle que nous l'avons établie au commencement de ce paragraphe.

Dans le cas où le système de forces auquel on applique le théorème du travail virtuel admet un potentiel, la condition d'équilibre imposée par ce théorème exprime que la différentielle du potentiel est nulle et qu'en conséquence cette fonction doit être maximum ou minimum pour tous les déplacements virtuels que Ton considère.

133. Théorème de d'Alembert. — Dans un système de points en mouvement^ la somme des travaux des forces^ y compris pour chaque point la force d'inertie^ doit être nulle pour un déplacement virtuel quelconque, et réciproquement si cette condition est vérifiée par un système de forces d'inertie^ ce sys' tème de forces d'inertie est celui qui convient effectivement au mouvement du système.

Dans le cas d'un système à liaisons^ il n'y a lieu d^appli^ quer l'équation de d'Alembert qu'aux forces intérieures et extérieures autres que les forces de liaison et aux seuls déplacements virtuels compatibles avec les liaisons»

Le théorème de d'Alembert n'est que le théorème du travail virtuel étendu au cas où les forces ne se font pas équilibre par Tadjonction des forces d'inertie telles que nous les avons définies au paragraphe TS.

On constitue ainsi un système fictif de forces en équilibre, auxquelles les considérations précédentes sont applicables sans difficulté, dans le cas du moins où il n'y a pas de liaisons.

Plaçons-nous d'abord dans cette dernière hypothèse : il est évident que la condition

sera bien vérifiée pour tous les déplacements virtuels possibles

si la force d'inertie — m -r-ï? — m -7^» — ^-tiï attribuée à

dr dt^ dr

chaque point est bien celle correspondant au mouvement déterminé par les forces intérieures et extérieures 5;X, 2 Y et VZ agissant sur ce point : car alors cette force d'inertie ajoutée aux forces dont 2^> 2Y et ^Z sont les composantes donne pour chaque point du système une résultante nulle.

Et réciproquement, si cette condition est satisfaite pour tous les déplacements virtuels possibles, il en résulte qu'on doit avoir pour chaque point :

mS = 2'''

d\z dt*

et par conséquent les forces d'inertie figurant dans l'équation (1) sont bien celles qui conviennent au mouvement produit par le système des forces données.

Le théorème de d'Alembert ainsi entendu revient à écrire individuellement les équations du mouvement de chaque point, comme le théorème du travail virtuel revenait à écrire individuellement les équations de son équilibre.

Il ne peut y avoir de difficulté que dans le cas des liaisons, et

dans ce cas encore on vérifie aisément la première partie du théo-

UiX d ij d

rème. En effet si — m-rr' — ^-7-? et — m-r4 sont les forces

dt* dû* dt*

d'inertie que déterminent pour l'un des points du système les

forces intérieures et extérieures (X, Y, Z) et les forces de liaison, il est évident que 1% somme des travaux virtuels de toutes ces forces, réelles et fictives, sera nulle pour un déplacement virtuel quelconque- et qu'en particulier il en sera de même pour tout déplacement virtuel compatible avec les liaisons. Mais dans ce dernier cas, en faisant la somme des équations ainsi obtenues pour tous les points du système, les forces de liaison disparaissent, puisqu'elles donnent par hypothèse une somme de travaux nulle, et l'on retrouve l'équation (1):

On reconnaît ainsi que les accélérations ■-T-^^ -Âi -tjï que

reçoivent les différents points du système satisfont bien à l'équation de d'AIenibert.

La réciproque est moins aisée à établir. Elle consiste en ce que

„ dV, d'y, d*z, d*x,

SI un système d accélérations telles que —r-i —rh —rri\ -rs ' dt dt ai dt

-^- -j^rr-' fitc., attribuées aux différents poiilts (.t,, i/,, s,),

Kf y,, ïj... du système satisfait à l'équation de d'Alerabert pour tout déplacement virtuel 8j,, a^i, S:,; Sj,, Si/,, î:,..., etc., compatible avec les liaisons, ces accélérations sont précisément celles que prennent, dans les circonstances initiales données, les points du système sous l'action des forces X, Y, Z, qui entrent dans l'équation.

On l'aura démontré, si l'on prouve que l'application de l'équation de d'AIembert à tous les déplacements compatibles avec les liaisons suffit pour définir un système d'accélérations unique.

Or si nous désignons par n le nombre des points du système, le mouvement élémentaire de ces points sera connu si l'on peut exprimer en fonction de leurs coordonnées respectives et de leurs vitesses initiales les Zn composantes de leurs accélérations.