COURS DE H

ms que les cond A équations en

ttions (où peut a raplus pourréso t nous allODS faî

, puisque les depiacemenrs virtueis ex,, oy,, es, j ex,, etc., qui figurent dans les équations de d'Alembert is à la seule condition de satisfaire aux équations (3), itiant ces équations (sans y faire varier la lettre t, remarque du S tUTt), on obtiendra k relations de la

, dL, . , dL., , dL, , dL, . . dL,, , dL,, dL,, dL,- ,

ttent d'éliminer k déplacements virtuels tels que ix^, les exprimant linéairement en fonction des 3 » — k

mt ces valeurs dans l'équation de d'Alembert, elle ne i plus que 3 n — k diftérentielles virtuelles et elle se omposée linéairement avec ces différentielles. Elle sera forme

M3x™ + N 3x, + PS y, + QBz, + = 0,

lie, et comme les 3 » — k différentielles 8x., Sx,, 5^,, ., qui subsistent dans cette équation sont absolument

arbitraires, elle se décomposera en 3 n — /( équations :

P=0, elc-,

qui, jointes aux A; équations (2), formeront un système de 3 )i

équations, détenninant pour les dérivées secondes-j-jî-i—TTîi---

un système de valeurs unique (").

Il est important d'insister sur la différence qui existe entre les déplacements virtuels 5x„ Si/,,.., etc., et les déplacements réels dx^, dy^ . . . des mêmes points. Ces derniers déplacements satisfont, eux aussi, à des équations qu'on obtient en différentiant les relations (2) ; maïs, dans ce dernier cas, la différentiation des relations (2) doit être faite en supposant le temps t variable. On trouve fùnsi des équations de la forme :

rfL,

qui ne se confondraient avec celles précédemment obtenues que si le temps ne figurait pas dans les équations de liaison. C'est dans ce cas seulement que les déplacements réels se présenteront comme cas particuliers des déplacements virtuels entrant dans l'équation de d'Alembert (").

C) Ce syslème est uaique en raison de la forme linéaire des équatioiu fournies par la différentiation des équations (S) et par les équations (4).

I") Supposons, pour éclaîrcir encore ce point, qu'une des équations de liaison (2' consiste dans l'obligation pour le point m, (x,, y„ ;,), par exemple, de se mouvoir sur une surface

mobile elle-mêrae dans l'espace. A un instant donné, la force de liaison N sera normale à ia position S qu'occupe ia surface & cette époque. C'est donc UQ déplacement virtuel tangent à ta surface S qu'il convient d'attribuer au

ïteurs )., , )i,. . . , fournissent donc, comme nous l'avions annoncé, détermination complète de ces forces auxquelles on donne elquefois le nom de temion des liens.

* 1 3S. Autres énoncée du tliéorémede d*Aleiiibertt >BervatlonrB sur l'application de ce théorème. —

théorème de d'Alembert s'énonce quelquefois en disant que

ns U7i système en mouvement, il yaà cliaque instant équilibre l'aide des liaisons entre les forces intérievres, les forces exté- •ures connues et les forces d'inertie du système. Cet énoncé !St qu'une expression un peu différente de l'équation

S[(2-»S)«-(2v-™S)^»Hi:-"S)-]="'

langage ordinaire.

Si l'on multiplie par dl tous les termes de cette équation, on ut l'écrire :

Les quantités telles que Xdt sont des impulsions élémentmres, pour l'un quelconque des points du système, les sommes

VXd( V^di "^làt

it les composantes suivant les axes des accroissements élémenres que prendrait la quantité de mouvement de ce point penat le temps d( si les forces F (X, Y,Z) agissaient seules. Les quantités

sont au contraire les accroissements élémentaires que prend efTectivement la quantité de mouvement du point considéré sous l'action des forces F et des forcés de liaison. On peut donc dire que les parenthèses telles que .

sont les quantités élémentaires de mouvement perdues ou gagnées par un point du système par l'effet des liaisons, et le théorème de d'Âlembert peut s'énoncer en disant que dans un système en mouvement ily a à chaque instant équilibre, d l'aide des liaisons, entre les quantités élémentaires de mouveTnent perdues ou gagnées par les différents points du système.

On ne doit jamais oublier, lorsqu'il s'agit d'appliquer le théorème de d'Alembert, les restrictions que comporte la démons* tration de ce théorème. Cette démonstration n'est applicable qu'aux systèmes pour lesquels la somme des travaux des forces de liaison est nulle pour tout déplacement compatible avec les liaisons.

D'ailleurs, les forces de liaison devant toujours représenter les actions de points matériels (intérieurs ou extérieurs aii système] sur les points du système (S 51), et ces actions ne pouvant se modifier que si les positions relatives des points se modifient ellesmêmes, lorsqu'on imagine certaines liaisons, il y a toujours lieu de vérifier si la nature de ces liaisons est compatible avec les principes fondamentaux de l'étude des forces. Nous aurons occasion de revenir et d'insister sur ce point à propos des systèmes solides.

Remarquons enfin que l'équation de d'Alembert, revenant & ^aler à zéro la somme des travaux de toutes les forces autres que les liaisons (y compris les forces d'inertie} pour tous les déplacements virtuels compatibles avec ces liaisons, on pourra, dans certaines questions, évaluer ces travaux, non pas au moyen

ectangulaires, ainsi que nous l'avons fait jusfonction d'un certain nombre de paramètres a nature des liaisons données, de manière à lement à la formation des termes dans lesquels '6 de l'équation (1) se décompose, et qui doivent égalés à zéro. On trouvera dans les applications ivant un exemple de calcul de ce genre.

îatlon À quelques exemples. — Premier sidérons le cas très simple d'un système formé de deux points m et m', de masses m et m', assujettis à rester à une distance constante l'un de l'autre ('). Admettons, pour simplifier, que ces points soient initialement au repos et supposons qu'une force verticale constante mg soit appli- —r quée au point vi. Le système évidemment ne sortira pas du plan vertical pas- 1 rapportant donc le mouvement à deux ases, itre horizontal, situés dans ce plan, on aura e d'Alembert

le cas actuel que ce sont les forces in J^rietire«ré8uil«ni âes deux pointa qui constituent la liaison et rendeoi la linlB invariable. A priori cette supposition semble fn principe de la MécsDÎque d'après lequel l'action mulnelli' pend que de la masse de ces points et de leur disunc^' )na plus loin à propos des solides comment cette hypoifiée. On doit remarquer aussi que, dans l'exemple en de liaison satisfont bien aux conditions de la ibéorie 30ur tout déplacement compatible avec les liaisons, la m et m' restant invariable, fa somme det iTanvx .leèiëro(giai).

9 la droite mm' autour de G, probldme dont nous indii solution à propos des solides.

problème. — Moitvement de deux points m et m', de masses m et m' assujettis à se mouvoir sur deus! droites fixes A. et B et soumis uniquement à leur action mutuelle di' rigée suivant la droite qui les joint ft proportionnelle à leur distance:

Soit ab ou d la plus courte distance des deux droites A et B, 9 l'angle qu'elles font entre elles, r la distance variable mm' des points mobiles. Prenons, pour caractëiiser la position de ces points, au lieu de coordonnées ordinaires, les longueurs am et bm' que nous désignerons par X et y. En menant par m la égale et parallèle à ab, on aura, par ta considéraangle rectangle mpm',

r* = d* +'pm'* = d' + x' + y* — 2 xy ces 9.

ment, un déplacement virtuel quelconque, compatible

isons, s'obtiendra en faisant varier xety d'une façon

et en déterminant la variation de r au moyen de

i le travail virtuel correspondant à un déplacement de

le travail se composera :

.vailde la force d'inertie — m-T-^du point m, égal

ÉTUDE DES FORCES — STATI

3' Du travail des actions mutoi à — mm' (p (r) 5r, en désignant par ç représenter la loi d'attraction.

L'équation de d'ÂIembert, qui cons de ces travaas, s'écrira donc :

En 7 remplaçant Sr par la valeur gj.(jc-l/COsfl) Bj: + f

déduite de la relation (1), on trouve ; + m m' (X — y I

dV^

et comme Zx et hj sont absolument i décompose dans les deux suivantes :

di*

-y coi

+ m (ij — xeoi

qui sont les équations du problème, par sa valeur en fonction de x et de de deux équations simultanées h tro Dans le cas particulier où l'attrac nellement à la distance [f (r) = kr] linéaires et d'une intégration facile.

137. StabiUté de Véqulllb rida. — Un système matériel étant libre est dit stable si le système de fore tende & ramener le système matéi

déplace ses points inflaiment peu par une action quelt qu'on les abandonne ensuite, sans vitesses, à eusest-à-dire au système de forces qui agissait primitiveeux.

bre est dit instable dans le cas contraire, ^montrerons que la condition nécessaire et suffisante ;abilité de l'équilibre, c'est que la force vive virtuelle du oit maximum pour un déplacement virtuel quelconque, e avec les liaisons, à partir de la position consi-

(sentiel de définir d'abord d'une manière précise ce que Ddons par force vive virtuelle.

le théorème du travail virtuel, lorsqu'un système est re, on a, pour tout déplacemeot virtuel compatible avec

S[(Sx)!« + (j;ï)aï + (jz)îz] = o.

ce déplacement virtuel devenait un déplacement réel, i formant le premier membre représenterait la différen-

[mu' de la force vive du système. On regardera donc par

ette quantité comme la différentielle de la force vive virlystème (*), et la condition d'équilibre pourra s'exprimer [ne pour qu'un système matériel soit enéquilibre, ilfaui que sa force vive virtuelle ait sa différentielle mklk. ? soit maximum ou minimum pourja siluation consi-

56, je dis que si la force vive virtuelle est maximum, sera stable.

ns, en efEet, que par une action extérieure quelconqae I ait été infiniment peu déplacé de sa position d'équilibre lésignerons par (S), et supposons qu'on abandonne ses

;e vive virtuelle tùosi définie est égale è. la foQctioa des forcea F : fonction existe.

ÉTUDE DES FORCES -

points soTts vitesses dans leurs tème continuait à s'écarter de la de la aituation (S') à une situât certaioes vitesses, sa force viv tive et qui partirait de zéro, di sèment positif. Mais le déplac pondrait à cet accroissement dt avec les liaisons et de mêmi système de (S) en (S'), la varia par hypothèse négative de (S) ( raison de continuité pour ce comme cette variation de forci cas actuel une variation de fo dernière variation serait négat

Donc, le système amené en déplacements opposés ii celui < par conséquent de sa position

Analytiquement, la condil reviendra à reconnaître que pi tibles avec les liaisons, la difTé

est inférieure à zéro.

Cas où le systètne de forces a tration que nous venons de d< stabilité de l'équilibre sur laq laissent quelque peu à désirer et de la rigueur. Dans le cas c tème matériel considéré adm modifiant la définition précéd suivant, qui n'est pas sujet au:

duction à la Théorie des exploi

Nous considérerons comme points soumis à un. système d(

i l'on abandonne à l'action des forces les points du Bysrès les avoir infiniment peu déplacés et leur avoir iqué des vitesses infiniment petites, leurs vitesses oujours infiniment petites, idition d'équilibre se traduisant par l'équation

ime que le potentiel est maximum ou minimum dans la considérée, nous démontrerons que dans le cas dn 1 la condition de stabilité se trouve satisfaite, et, au moment où l'on abandonne à l'action des forces le système infiniment peu déplacé, sa force vive a, par ie, une valeur infiniment petite 6, et son potentiel doit 1 à Vj + a,, Vj désignant la valeur initiale de cette fonc- , un accroissement infiniment petit du deuxième ordre if, puisque V, est un minimum. À une époque ultéla force vive sera 6 et le potentiel V, + e, e étant positif pour le motif précédemment indiqué. D'ailleurs n des forces vives donne :

0 = 8, + io~«.

étant essentiellement positif, sa valeur doit rester infîpetite, puisque les deux termes positifs du second ont des valeurs infinitésimales. Donc les vitesses des s points du système resteront nécessairement infioimeQt ainsi que nous nous proposions de le démontrer.

, AppUcatloo an cas d'un système pesant i

m. — Supposons qu'un système pesant à liaisons soit en ), et imaginons que les liaisons se traduisent par l'obli- )our le centre de gravité de se mouvoir sur une courbe C ime surface S. Soit ï la bauteur du centre de gravité

an-dessus d'un plan horizontal de comparaison. On a vu, au par graphe 18S, que la somme des travaux de la pesanteur po UD déplacement quelconque s'obtenait en multipliant le poids du système par la hauteur de chute C, — ï du centre de gravit Pour qu'il y ait ëquilibre, si l'on suppose nuls les travaux à forces intérieures, il faut, d'après le théorème de d'Alembei que pour tout déplacement virtuel compatible avec les Uaiso le travail de la pesanteur soit égal à zéro. II faudra donc qi pour tout déplacement de ce genre, la variation S!; de la ha teur du centre de gravité soit négligeable ; en d'autres termes, centre de gravité devra se trouver en un point de la courbe ou de la surface S pour lequel la tangente ou le plan tangent e horizontal.

Cette condition exprime le maximum ou le minimum du pote tiel Pc de la pesanteur. Mais pour que l'équilibre soit atabi il faut que ce potentiel soit minimum, ou bien encore que C S( minimum, puisque cette hauteur ne diffère du potentiel que p le facteur constant P. Cela revient à dire que le point occupé p le centre de gravité doit être un point plus bas que tous 1 points voisins sur la courbe ou sur la surface qu'il est assujei à décrire.

* i 39. Enei^e t principe de la conservation c l'énergie. — Après avoir précisé, comme nous l'avons îi actuellement, les conditions d'équilibre des systèmes matériel nous pouvons revenir utilement sur les notions générales exp sées au 5 ' 24 pour les éclaircir encore et faire mieux cor prendre la manière dont le travail se transmet par l'interm diiure des systèmes de points.

Reprenons l'équation générale des forces vives

et remarquons que la fonction des forces existant toujours po les forces intérieures, si l'on désigne par"? le potentiel corre pondant, on peut toujours remplacer le travail SE' par l'accroiss

COURS DE MÉCANIQUE RATIONNELLE ce potBntiel changé du signe. L'équation (1) s'écrit alors :

oit que, s'il n'y a pas de forces extérieures, la somme ioit rester constante.

toutes les transformations que peut subir un système r le jeu des réactions mutuelles de ses points n'ont effet possible que d'accroître '^ aux dépens de 6 ou âpens de ^ sans changer leur somme, lonc été naturellement conduit à adopter pour les deos s 6 et 'S' et pour leur somme H une désignation comt celle d'énergie, proposée par Rankine, a été généraleiceptée. C'est ainsi qu'on a donué les noms A'énergk e, d'énergie potentielle et d'énergie totale ou simplement î aux trois quantités 6, *? et H,

ces dénominations nouvelles, l'équation des forces inonce de la façon suivante :

î un système matériel passe d'un état à un autre, la n de son énergie est égale au travail coirespondanl des •térieures.

rticulier, s'il n'y a pas de forces extérieures, cette yarianuUe, donc : L'énergie d'un système isolé est constante. dans cet énoncé que consiste le principe de la consere l'énergie.

lUt observer encore que l'énergie potentielle "^ n'étant ue par ses dérivées, sa valeur peut être augmentée ou î d'une constante arbitraire. Par suite, si l'on imagine (EJ du système pour lequel l'énergie potentielle serait Qum absolu, et si l'on choisit la constante arbitraire de à rendre nulle la valeur correspondante de cette énergie, isidéré répondant, d'après le S i37, aux conditions d'un I stable, pour le système soustrait à l'action de toute rérieure et supposé en repos dans l'état (EJ la valeur 6, ra également nulle, et il en sera de même de l'énergie

Si donc, par l'interventioa de forces extérieures, le système partant de cet état initial était amené à un autre état (E,), son énergie nouvelle H, due à l'action des forces extérieures en représenterait exactement le travail T. Mais actuellement 6 et ^ étant essentiellement positifs, il doit en être de même de H, et par conséquent, le plus grand travail négatif que puissent exercer les forces extérieures sur le système, est celui qui rendrait B nul, c'est-à-dire un travail égal & — Hj ou à — T. C'est donc aussi le plus grand travail positif que par l'effet des réactions le système considéré est capable de développer sur les systèmes extérieurs. On peut donc dire que l'énergie d'un système représente à un instant donné sa véritable puissance mécanique (*).

140. Percussions appliquées & un système matériel. — Nous avons expliqué, à propos du mouvement d'un point, ce qu'on devait entendre par percussion et force insta/ntanée. Si des forces de cette nature sont appliquées à un système matériel, les équations des théorèmes généraux subissent des modifications analogues à celles que nous avons signalées dans le cas d'un point unique.

Considérons en particulier l'équation de d'A.Iembert appliquée à l'instant où les percussions se produisent. Cette équation, multipliée par dt, s'écrit :

§((ïx.,-„.(|)),.+(sv.,-™<§))v+(s^«-»<§) )-)=»•

Mais, à câté des forces instantanées pour lesquelles les produits Xd(, Ydt, Idt ont des limites finies P, Q, R, les autres forces sont toutes négligeables. Les percussions doivent donc

I') Ces coQsidératioDS générales et la forme même bous laquelle elles sont présentées sont empruDtées à M. Sarrau {Introduction à la Théorie des txploiifa, 8 17). ,

84 COURS DE MËCANIf

nhoiater seules dans l'équation i

jointe aux équations de liaisons, détermine les quantités

calcul analogue à celui qui fournit les valeurs de

I cas ordinaire. Les quantités telles que md( -7-\ auront 1 généra! des valeurs finies, et l'on devra substituer la

tation diflférentielle. Ces quantités représentent d'aiUenrs iations de quantités de mouvement, c'est-à-dire à un près des variations de vitesse, et l'on reconnaît qne par es percussions les vitesses du système sont en général sment modifiées.

lation (2) peut s'énoncer en disant que ; dans un sysiém à des perdissions il y a équilibre en vertu des liaisons s percussions elles accroissements de quantités de mouchangées de signe.