MOUVEMENT RELATIF DES SYSTÈMES MATÉRIELS
. Système matériel rapporté & des axe» d« Ions constantes passant par son centre de gra*
- Toutes les considérations précédentes s'appliquent
éndemment au mouTement relatif des systèmes ma.U condition d'adjoindre aux forces réelles les forces s définies dans l'étude générale du mouvement relatif.
Un cas très important h cause des applications i qu'on a l'occasion d'en faire, est celui d'un systômi rapporté & des axes de directions constantes menés par de gravité.
Le mouvement d'entraînement étant alors une sim lation, les forces apparentes se réduisent, comme l'oi force d'inerlie d'entraînement.
Cherchons à établir les relations qui existent entre I des quantités qui figurent dans les théorèmes généri qu'on les évalue dans le mouvement absolu ou dans ment relatif.
a) Quantités de mouvement et forces d'inertie. par u le rayon vecteur géométrique du centre de gravité G et par Ç,ti,!; 863 coordonnées relativement aux axes fixes; soient «, x, y, s; w,. a;,, y,, ï,, les grandeurs analogues pour un point quelconque du système, relativement aux axes fixes et relativement aux axes mobiles.
D'après la définition même du centre ' de gravité, on a
(1) lI. = Smi. .
Mais d'autre part
(Il « = u,+.
« = Ji, + E, y = Vi + i,
de gravité; la somme géométrique des forces d'inertie dû sys^ tème est égale à la force d'inertie de son centre de gravité.
Ces diverses relations géométriques se traduisent par des relations algébriques équivalentes en projection sur une droite quelconque.
b) Moments des quantités de mouvement et des forces d'inertie. «— Evaluons le moment de la quantité de mouvement d*un point m (tz, x^y^z) pay rapport à un axe fixe, l'axe OZ, par exemple ; on a :
^« <^u ( dy éLx\
Introduisons dans cette dernière expression, à la place de ^7, y, :;, leurs valeurs ar^ + Ç, y, + ^j ^i + C) il viendra :
Si Ton fait la somme des expressions analogues par tous les points du système, on trouve, en mettant en facteurs Ç, rj^ç,
dx.
dt
Hais en tenant compte des relations (3) et (4) cette équation se réduit à :
S»»-lr=S"("t-v.^)+«(î3?-'a-D'
relation que l'on peut écrire :
§aRo.m^ = ^31L«^m|ii + 3n..„M^ ,
■fi
et qui s'énonce en disant que la somme desmoments de qwmtités de mouvement absolues de système par rapport à un axe lixe OZ se compose :
1" De la somm£ analogue prise dans le mouvement relatif par rapport à un axe GZ,, mené parallèlement au premier par le centre de gravité G;
2° Du moment par rapport à OZ de la quantité de mouvemeni du centre de gravité supposé affecté de la masse totale M da système.
Ud calcul semblable appliqué aux forces d'ioertie conduit à un résultat tout k fait analogue.
On part du moment de la force d'inertie d'un point m
et l'on arrive à la relation
qui s'énonce de la manière suivante :
la somme des moments des forces d'inertie du système dans le mouvement absolu prise par rapport à un axe fixe OZ te compose :
l" De la somme analogue prise dans le mouvement relatif par rapport à un axe parallèle au premier mené par le centre de gravité;
2» Du moment de la force d'inertie du centre de gravité supposé affecté de la masse totale M du système.
c) Force vive. — Calculons enfin la force vive absolue du système au moyen des données du mouvement relatif. Pour cela nous ferons dans l'expression de la force riw
COURS DE HËCA.NIÛUE RATIONNELLE
r V' d? - ""' di^j =d(î >'"''■ ~ dfl y"'"''
zéro, puisque les quantités §my,,^m:r,, sont nulles. . de même évidemment des moments des impulsions i de ces forces, moments qui ne diffèrent des précéar le factear algébrique dt.
théorème s'appliquera dans ce cas au mourement ans qu'on ait aucune force apparente à joindre aai
JS.
de même dans tous les cas du théorème des forces fet, les forces d'inertie d'entraînement étant toutes itre elles et proportionnelles aux masses des points es sont appliquées, leur travail peut être évalué
d'après une remarque précédente (S 1 25) et il celui d'une force unique égale & leur somme et 1 centre de gravité. Ce travail est donc nul, puisque I gravité reste immobile dans le mouvement relatif.
fSTÈMES MATÉRIELS INFINITÉSIMAUX
éflnltlon. — Pour se rapprocher des systèmes } la nature, on a été amené à concevoir théorique- /stémes mat&iels infiiiitésimaux, c'est-à-dire coraints matériels infiniment nombreux, înûniment rapdoués de masses infiniment petites. Ces poials Heurs occuper un volume ou bien être tous situés ■face ou sur une ligne : ils constituent, dans ces , une surface ou une ligne matérielle.
li a été dit précédemment des systèmes matériels en >plique à un système infinitésimal, avec cette dîffés signes de sommation § doivent être remplacés par 'intégration.
144. Densité ou masse spé«lflqne d*ao sjnatdme inOnltésiiiial en l'un de ses points (*)t homogénéité. —
Considérons tous les points du système enfermés dans un parallélipipède rectangle infiniment petit P, de côtes dx, dy, dz, et dont la position est définie par les coordonnées x, j/ et z de son sommet a.
Désignons par m la somme des masses de tous ces points : ce sera la masse du parallélipipède, et cette masse du parallélipipède doit être supposée de même ordre infinitésimal que son Yolume dxxdyxds. - /r~7, — i
Considérons îictuellement un parallélipipède /,■/■■/'■}
y égal et contigu au précédent : nous sommes \f..A, / conduits à admettre, 'pcvr raison de continuité, '^3^' que la masse de ce parallélipipède diffère de la masse m du précédent par un accroissement dm, infiniment petit par rapport à cette première masse. En négligeant cet accroissement & côté de m, on voit que l'ensemble des deux parallélipipèdes égaux P et P' aurait une masse 2 m, et ce fîùsonnement étendu à un nombre plus grand de parallélipipèdes analogues fait voir en général qu'autour d'un point a la masse d'un volume infinitésimal est proportionnelle au volume considéré.
Gela posé, nous appellerons densité ou m<Mse spécifique du système au point a {x, y, z) le quotient ^ de la masse d'un volume infinitésimal quelconque pris & partir de a par la grandeur de ce YOlnme : ce quotient a une valeur finie et déterminée d'après les hypothèses et les déductions précédentes.
La densité, suivant cette définition, pourrait être considérée comme la masse d'un volume égal à l'unité composé avec des parallélipipèdes identiques au parallélipipède infinitésimal P.
Cette densité sera généralement, comme on voit, une fonction de X, y, z si le système est au repos, de^^, y, s et f, si le système est en mouvement.
(*) La déDomioatioa de masse spécifique a été proposée par Delaunay, par analogie avec celle de poids spécifique (Oelauaay, Mécanique, § 164).
)it être coQsidérëe comme infiniment petite dn deuxième oriire, et en raisonnant sur ces éléments comme on l'a fdt sur les parallélipipèdes élémentaires dans le cas d'un système général, on arrive à exprimer la masse de la surface, les coordonnéende son centre de gravité, ses moments d'inertie par des formales analogues aux précédentes, avec cette seule
e les intégrales triples se réduisent dans ce cas
aies doubles, de la surface supposée connue fournit en fonc-
)t z les dérivées pari.ielles de z :
surface abcd étant d'ailleurs égal à
dxdy<Jl +p* + q*, — .. . . représente le cosinus de l'angle qae fait
int avec le plan XOY, si l'on désigne par [^ la denine fonction de a; et y supposée connue également, aie d'une portion de surface sera :
égration s'étendant jusqu'aux limites de la portion
ÉTUDE DES FORCES — STATIQUE ET DYl
Le centre de gravité sera défini par lea coi telles que :
Ujixdxdt/v't -l-P" + *!'
(iydxdy v'I + P' + q'
\ [iz dxdy \/i + p' + q
Les formules relatives aux moments d'inei d'une façon tout analogue.
Dans le cas d'une ligne matérielle, on doit a élément linéaire une masse infinitésimale du pr toujours (i la masse spécifique, supposée coi point de la ligne, la masse totale d'une porti fournie par l'intégrale simple :
étendue aux limites de la portion de ligne corn
Uents 'différentiels ~, -y sont fournis en fond dx dx
équations de la ligne donnée.
Les coordonnées du centre de gravité seront
COURS DE MÉCANIQUE RATIONNELLE moles semblables serviront k calculer les moments
ipllcatlonai régies de «ymétrle. — Vapplicanules précédentes est souvent très simplifiée par certaines règles géométriques qui permettent, daos cas, d'arriver sans calcul directement au résultat, les fois qu'un système matériel homogène (volume, gne) est symétrique par rapport à un plan, lecentre t évidemment situé dans ce plan : car il n'y a pas >ur qu'il soit plutôt d'un côté de ce plan que de
les fois qu'un système hontogètie admet un plan i centre de gravité est situé dans ce plan diamétral. ut est facile à vérifler en prenant le plan pour plan direction diamétrale conjuguée pour axe des s, car donnent alors i;=0. On peut le déduire également jue que nous allons faù-e à propos de la propriété
ttème a un axe de symétrie, le centre de gravité se i axe : ce résultat est évident, si l'on remarque que mination du centre de gravité d'un système, on peut Btituer à une portion' quelconque du système va el unique ayant une masse égale h celle de cette oincidant avec son centre de gravité (*). En appliremarque à cbacun des couples de points syméappèrt & l'axe, on n'a plus ensuite qu'à composer ui sont toutes situées sur l'axe, et leur centre de mve évidemment sur cet axe.
Hème a un centre de figure, le centre de gravité coin- :entre de figure : évident par suite de la remarque
le iromédialeiDeDt des formules qui détermiDent le centre de
ORCES — STATIOUI
le quelques r^
er quelques résulta
i d'une aire triangu!
âdiaoes du trianglf
ème.
lalogue le centre (
lOgèue est & l'iot
tour triangulaire i de ses côtés est ■ T au système trois points matériels situés aux milieux a, h et c des cdtés du triangle donné et doués chacun d'une masse proportionnelle & la longueur du côté sur lequel il se trouve. Les deux masses 6 et c par exemple seront respectivement proportionnelles aux côtés oc, ab du triangle abc, semblable au triangle donné. Par 3 partiel de ces deux points se trouvera e sant bc dans le rapport inverse de ac e point comme origine et la droite cb coi avoir ^mx — 0, c'est-à-dire :
Ia droite ox est donc, d'après une pro; trice de l'angle bac, et le centre de grav à cette droite. Donc enfin, par analogie section des trois bissectrices du trianglt!
On trouvera dans les traités spéciaux intéressants relatifs à la situation des ce tèmes donnés (voir notamment Gollig Problèmes de Mécanique rationnelle, etc
^Bl. Tbéorèmee de Gnldln. -
théorèmes célèbres connus sous le nom
trouvent naturellement leur place : ces théorèmes permettent es -effet de déterminer dans des cas assez nombreux les centres de gravité de surfaces planes ou de lignes planes.
Premier théorème. — Lorsqu'une ligne plane tourne autour ^une droite située dans son plan, l'aire de la surface qu'ellt engendre est égale au produit de la longuew de cette ligne par la circonférence qu£ décrit son centre de gravité (déterminé bien «ntendu en supposant la ligne plane homogène).
Pour démontrer ce théorème, rapportons la courbe mobile ï deux axes rectangulaires OX, OY pris dans son plan et dont l'un, OY par exemple, coïncide avec l'aie autour duquel la rotation s'opère.
Un élément mm' ou tfs décrit, par sa rotation autour de OY, un tronc de cône infinitésimal dont la surface est :
2 nxda.
La surface totale décrite par l'arc de courbe CD sera donc :
k = Çîr:xda=iJiÇxds,
l'intégrale s'étendant aux limites G et D de l'arc. Or:
en désignant par Ç Fabscisse du centre de gravité et par S lalongueur de l'arc CD. Donc :
A = 2itÇxS,
ce qui démontre le théorème.
Remarque. — On suppose, dans la démonstration précédeole, que l'arc de courbe CD esttoutentier d'un même côté del'ftxeOÏ;
s'il en était autrement, le théorème ne s'appliquerut plus qu'à la condition de considérer comme positives les surfaces correspondant aux portions de l'arc CD situées d'un cOté de OY et comme négatives les autres.
Second théorèhe. — Lorsqu'une surface plane tourne autour d'une droite situ^ da/ns son plan, le volu^ne de la surface derévolutùm qu'elle engendre est égal au produit de l'aire de cette surface par la circonférence que décrit son centre de gravité.
Rapportons comme précédemment la surface mobile & deux aies rectangulaires OX, OY situés dans son plan, en choisissant pourOY l'axe de rotation donné.
Si l'on décompose l'fùre en rectangles infinitésimaux tels que ahdc ayant pour côtés dx et dy, chacun de ces rectangles engendre par sa révolution autour de l'axe un anneau prisma- y tique infinitésimal dont le volume est
%Kxdxdy.
Le volume total sera donc :
la double intégration s'étendant aux limites de la surface donnée. Mais le centre de gravité de cette surface supposée homogène a pour abscisse \ tel que
en désignant par A l'aire de la surface. Donc
<» qui démontre le second théorème.
de cette ligne qui se trouvent appliquées & un instant urCAet surCfi.
orces d'inertie des différents éléments mm! ou ^it du I auront pour expressions :
— H'''''';j7îP<'>'r tous les éléments situés sur CH,
— itd«^ pour tous ceux pris sur CK.
nêmes éléments sont soumis chacon par l'eflfet de la ix h. une force verticale
des accroissements virtuels Zx, Zy attribués à x et & y, le le ces forces (les seules à considérer dans la question ) sera donc :
élément de GH
élément de CK
