V-ds Usinp — -^Uy

.saut la somme des travaux analogues pour tout le stsen négligeant les termes relatifs aux points qui, par suite .cément virtuel, passent de l'une des droites sur l'autre, ividemment négligeables à côté de la somme générale i , on a pour l'expression du travail virtuel total :

lurs les parenthèses peuvent être mises en dehors des , ainsi que les facteurs i^Sir, ^^y, puisqu'elles ont pour éléments la même valeur ; l'intégration de ds a'^ectae

ÉTUDE DES FORCES — STATFI

■r, y, s représentant tes coordonnées mentaire et r sa dislance au point m Pour un volume matériel de diraens de la résultante générale des attracti seraient :

les intégrales triples s'appliquant k U Dans le cas de l'attraction de Newto sions deviennent :

et il est facile de reconnaître que X, rapport à a, ^, y de la fonction

qui est la fonction des forces pour 1< Le potentiel V serait donc égal à

Hais, dans les études d'attraction,' 1<

306 COURS DE HËCA.N1ÛUË RATIONNELLE

de préférence la fonction

qui ne diffère de F et de V que par les facteurs constants ±mk et à laquelle, pour éviter toute confusion, on a donné le nom de fonction potentielle.

La recherche des composantes X, Y, Z de l'attraction se ramène par la considération de la fonction potentielle à celle d'une intégrale unique (2); en effet, lorsque la fonction « est connue on a, par de simples dérivations,

V , du ,. , 'lu ., .du

\= iith-~ ^ = m/(-p; Z = mh-j —

L'intégration de :

j*\j|î<ij:dy.J;

exige bien entendu la connaissance de la densjté jj. en chaque point du volume : ^ représente donc une fonction supposée connue de x,y, z\ on axlmet d'ailleurs que cette fonction, d'après sa signification, ne peut devenir infinie en aucun point du système. En posant

u = constante,

on obtiendrait l'équation générale des surfaces de niveav auxquelles les attractions R sont normales.

Dans quelques cas très simples la détermination de l'attraclion (X, Y, Z) peut se faire directement par des considérations élémentaires de géométrie ; nous allons donner un exemple d'une détermination de ce genre.

* tSO. AUraetlon d'une eouche apliérlque boni»- Séne sur an point qni n'appartient pas A eette «Nkttnhe. — Considérons une coucbë spbériqse homogène de

deositë [i. comprise entre deux sphères concentriques de rayon r et r + dr et proposons-nous de déterminer la résultante des attractions exercées par cette couche sur un point m que nous supposerons d'abord h l'intérieur de la plus petite sphère.

Prenons pour plan de la figure un plan quelconque mené par le centre 0 et le point m et soit nn un arc élémentaire pris arbitrairement sur le grand cercle qui limite intérieurement la section de la couche sphërique.

A cet arc nn' correspond nn anneau matériel dont les rectangles ombrés nn'pp', n^n'^p^p', sont les sections par le plan de la figure.

Le volume de cet anneau, en désignant par h la distance du point n & Om, est égal à :

La résultante n de ses attractions sur le point m est une force dirigée par raison de symétrie suivant le diamètre 0»i et de m vers 0, dans le cas de la figure, et la gi-andeur de cette résultante s'obtient en multipliant par le cosinus de l'angle nmO ou f la somme des attractions de tous les éléments de l'anneau ; cette résultante sera donc :

■ ■ .m(a>chWdr) !!„,

Mais si nous joignons n et n' au point m ef si nous prolongeons

308 COURS DE HËCANIQtlE RATIONNELLE

le3 droites ainsi obtenues jusqu'à leurs secondes întersections avec la epbère de rayon r, nous déterminerons ainsi un second anneau jy'rr', q,qiry„ dont l'action sur le point m sera représentée par une résultante r' dirigée encore suiviint le diamètre Oni, mais en sens inverse de la précédente. Cette résultante calculée de la même manière que r a pour expression

m (Zxh' qq dr) u n' = — 2 ==~ -^ cos o.

D'ailleurs, la figure donne par des similitudes de triangles

mq mil qq nn^

et pa^-eonséquent

Ainsi les deux résultantes r et r' sont égales, et comme elles sont opposées, elles se détruisent. D'ailleurs la couche Bpbérique tout entière pouvant se décomposer en couples d'anneaux analogues à ceux que nous venons de considérer, on en conclut que l'action totale d'une couche spkérique homogène sur vn point pris à l'intérieta- de sa surface interne, est égale à zéro.

Supposons actuellement que le point m soit situé en dehorsde la couche sphérique et décomposons encore cette couche par des plans perpendiculaires h Om en une série d'anneaux dont nous évaluerons séparément les actions sur le point m.

La résultante r des actions de l'un de ces anneaux nn'pp'

«,n,p,pj' est une force dirigée suivant mO, et l'on a comme dans le cas précédent :

Cette expression peut d'ailleurs s'écrire :

m'siir'ace un'n.Ji', x tir) u

«n désignant par surface nn'n,n', la surface de la zone sphériqaa correspondant àl'auneau.

Considérons le point m' conjugué harmonique de m sur le diamètre Om, par rapport au diamètre aa' de la sphère. On aura :

ôa* = Om. o^',

c'est-à-dire, pui8que^=Ôn

dm' ÔTi

O";! *" Om'

Les triangles m' On, Onm sont donc semblables et, par suite, l'angle Onm' est égal h l'angle Omn ou y.

Si donc, da point rnl comme centre, on décrit une sphère de rayon mrJ et si Ton désigne par cr la surface de la zone infinitésimale que détachent sur cette sphère les cônes de sommet m! ayant les cercles nn^^ v!ri^ pour bases^ les arcs r\!i et n'7^ étant respectivement perpendiculaires aux rayons in^n et On qui font entre eux Tangle f , on aura :

<j = surface nn'Uyv!^ x ces 9.

D*autre part, les triangles semblables déjà considérés donnent encore, en désignant par l la distance Om :

mn __ ro!n

d'où

L*expression de r peut donc s'écrire :

et comme dans cette expression le facteur — Î-J5 — est constant^

Fattraction totale R, exercée par la couche sphérique tout entière sur le point m, s'obtiendra en multipliant par ce facteur la somme des expressions telles que

mil

relatives à tous ces anneaux. Mais la quantité ==1 représente la

surface correspondant à <r sur une sphère concentrique de rayon égal à Tunité.

La somme de ces expressions pour la couche sphérique entière sera donc égale à la surface totale de cette sphère de rayon 1 ^ c'est-à-dire à 4ic.

ÉTUDE DES FORCES — STATIQUE ET DYNAMIQUE 31 i

Donc, enfin 1

Ainsi, la résultante des attractions d'une couche sphérique sur un point extérieur est la même que si la masse totale de la c&uche sphérique était réunie en son centre (*) .

Ces résultats ayant une très grande importance, nous en donnerons une seconde démonstration par le calcul.

* 1 ST. Autre démoneitratloii. — La résultante des attractions exercées sur le poijat m par un anneau sphérique nn^n^n\ étant, d'après le paragraphe précédent,

m (2 n h n n dr) a cos o R = ,

désignons par u la longueur mn et cherchons à exprimer les autres variables en fonction de u.

Soit 0 Tangle nO m, on a les relations

/i = r sin 0,

7in' = rdO,

u» = r* + i"--2i7- cosO,

u cos 9 = r cos 0 — i,

d'où l'on déduit

— ^, • . A .A TU du h 7174 =7'*sinOdO= — z — »

cos 9 =

r cos 0 — l r* — i' — u"

isU

(*) La diçcoDlinuité apparente entre les valeurs de Tattraction sur un point qui se Iransporterait de Tintérieur à l'extérieur de la couche sphérique, s*ex|pUquer par ce fait que le point ne peut passer de lune de ces situations dans l'autre sans occuper des positions intermédiaires dans l'épaisseur de la cojuche elle-même, positions pour lesquelles les raisonnements et les'çalculs ci-<le88as ne sont plus applicables.

Portant ces valeurs dans Texpression de r, on a

m.Kardr/r' — !• .\^

= ^« V"ïïi — *j^"-

Pour obtenir la résultante générale R, on devra prendre, si le point est intérieur à la couche sphérique, l'intégrale

Xr + l

et Ton trouve

rmz[ï.rdr rr* — /-

L U Jr+<

c'est-à-dire zéro.

Si le point m, au contraire, est extérieur à la couche considérée, les limites de l'intégrale deviennent / — r et { + ^ ^^ ^^ quantité

rr«-ii -li-r

est égale à

Donc, en valeur absolue,

m. 4;:r'd>'ji

On retrouve ainsi par le calcul les résultats auxquels nous avait conduits la démonstration géométrique précédente.

• 1 S8. Corollaire t attraction d'une spiiére homosAne on €M»mpo0ée de couciies concentriquefl homogènes sur un point extérieur ou intérieur A cette spiière. — Les résultats précédents permettent de calcnler l'attraction exercée sur un point m par une sphère homogène ou composée de couches concentriques homogènes.

Si le point est extérieur à la sphère, chacune des. couches

■''^^"'•I^iT.^W'lJW"" ;■

iûâaitésimalea concentriques dans lesquelles la sphère peut être dëcomposée exerce, comme on l'a démontré, la même attraction sur le point m que si la masse de cette coache était réunie au centreO delà sphère.

Par conséquent, l'attraction de la sphère tout entière sur un point extérieur m sera la même que si toute sa masse se trouvait eonderuée au centre 0.

Si le point est intérieur à la sphère considérée, imaginons deux sphères concentriques déterminant nne couche sphérique infiniment mince renfermant le point m. Cette couche sépare la sphère en deux portions correspondant aux aeotions ombrées de la figure. La première A, à laquelle le résultat précédent est applicable, agira sur le point m

comme si toute sa masse était ■■■•■

transporiiée au centre 0; la seconde B pourra ae décomposer en couches spbériques homogènes qui donnent toutes sur ce point m une résultante nulle : l'action de

cette portion B se réduira donc à zéro. Enfin, la couche qui renferme m, étant infiniment mince, ne peut donner que des actions infinitésimales et par conséquent négligeables, sauf pour les portions de cette couche infiniment voisines de m. Mais si nous «onsidérons un élément de volume infiniment petit dv de masse moyenne i*, situé & une distance infiniment petite p du point m, dv étant du troisième ordre de petitesse, l'attraction de ce volume

sera négligeable, bien que p soit infinia;ent petit.

31è COURS DE MÉCANIQUE RATIONNELLE

Donc, enfin, l'attraction totale de la sphère sur un point m situé dans son intérieur sera la même que si la masse de tous les points compris à l'intérieur de la sphère concentrique de yayon Om se trouvait condensée au centre Oi

« 159. Étude générale de la fonction potentielle.—

Eu général, la détermination de l'attraction d'un, système matériel sur un point ne peut pas s'effectuer aussi simplement (pie dans les questions précédentes. Mais <:ette détermination est complète si l'on arrive à connaître la fonction potentielle

car on en déduit alors les composantes de l'attraction :

La solution du problème revient donc à la recherche de Is fonction u.

Cette fonction jouit de quelques propriétés remarquables qu'il est important de connaître.

D'abord, on peut remarquer qu'elle conserve toujours une valeur finie, même si r passe par la valeur zéro, c'est-à-dire si If point attiré (a, p, f) se trouve à l'intérieur du système qui l'attire. En effet, prenant le point m pour pôle et transformant l'expression de tt en coordonnées polaires, on trouve

t.= ffCiirsiuOded?d

et sous cette forme on reconnaît qu'aucun élément de l'int^ale ne devient jamais infini.

ÉTUDE DES FORCES— STATIOUE ET DYNAMIQUE 3i&

Formons les dérivées de « par rapport à «, p, y. Ces dérivées respectivemeat égales à

ont pour expressions

5^ = -J'îî'*V'"-*-'"'

et l'on peut remarquer qu'elles restent finies et continues, comme la fonction u, même lorsque r passe par zéro. En effet, remplaçant dans l'élément d'intégrale dx dy dz par l'expression du volume élémentaire en coordonnées polaires, comme nous l'avons

fait plus haut, on trouve pour —z — par exemple

et le facteur . qui représente un cosinus, conservant toujours une valeur finie, l'élément d'intégrale ne devient jamais infini.

Dérivons une seconde fois par rapport à et, p, y, nous trouverons :

=SSV[i-^^]

dx.dy.dz,

Si le point m {a, p, y) est extérieur au système qui l'attire,

r ne devenant jamais nul, tous les éléments de ces intégrales conservent une valeur finie, et l'on trouve, en les ajoutant

Si le point fn est intérieur au système, nous pouvons, en décrivant une sphère infiniment petite de rayOQ f n de centre c compreaaolle point m, détacher do s}^ tème la portion infiotmeDi voisine de m, et la fonction Uj, relative & la partie extérieure (ombrée sur k figure), satisfera évidemment à l'équation (a). Mais la fonction «, applicable à tout if système, est la somme de la fonction u, et de la fonctioD ti,. relative à la sphère infinitivement petite. L'expression

aura donc la même valeur que

et c'est cette dernière quantité que nous chercherons à évaluer. Pour cela, nous remarquerons que si X,, Y,, Z, sont les composantes de l'attraction de la sphère sur m, on a :

<iu,Jtj^ du,ïj tfu, z^ da mh dp~mft d^^mk

L'expression cherchée est donc égale & :

Or, si l'on appelle [i, la densité du système au voisioag point m, densité que l'on peut considérer comme constante dans tout l'intérieur de la petite sphère, on sait que l'attraction Fj de cette sphère sur le point m sera la même que si la masse comprise dans la sphère intérieure de rayon cm étaitcondensée au pointe. Soient S, i\, ï les coordonnées du point c, et X la distance ''I», on aura donc après réduction

t, = li = ".»h3",

Y, = m/ift,| = h|ï|,

et par suite

Les deux relations (a] et [b) auxquelles satisfait la fonctî( selon que le point m est extérieur ou intérieur au système, dues la première à Laplace, la seconde à Poisson.

Ces formules ont une grande importance : nous allons do un exemple de leur application.

* IBO. Attraction d*an cylindre Indéfini, d*ép seor finlct compiisé de coucbea homogèncii. — G<

dérons un cylindre matériel de révolution, creux et indi

3f8 COURS DE MÉCANIQUE RATIONNELLE

homogène ou composé (te couches cylindriques homogènes qui peuvent être infiniment minces, ce qui revient à supposer que la densité variable est une fonction de la distance à l'axe. Cherchons à détermioer [a résultante des attractions de ce cylindre sur un point m, que nous supposerons d'abord situé en dehors de l'épaisseur du cylindre matériel. Prenons pour axes l'aie du cylindre OZ et deux autres axes rectangulaires quelconques OX, OY dans un plan perpendiculaire au premier. Soient a, ^.

-f les coordonnées du point m.

Il est évident, d'abord par simple raison de symétrie, que la résultante cherchée est dirigée suivant la perpendiculaire ttip, abaissée du point m sur l'axe et fonction uniquement de la grandeur rde cette perpendiculaire. Ainsi, la fonction potentielle u, indépendante de y, doit être uniquement fonction de r, fit ses dérivées relatives à a, p peuvent se calculer par l'intermédiaire de r, lié à a, 0 par la relation

On aura donc '

du du dr du x

da.~ dr da ~ dr r'

d«'~dr'r" + dr Vi- ''V d'u d'u p' dH/i ^^ dp'~ dr> r'"*" dr ^r r»/

dï" •

«t l'ëquation de Laplace .

à laquelle la foaction v doit satisfaire, devient, en y pi valeurs et en tenant compte de la relation (1),

ou en multipliant par r On en conclut, en désignant par G une constante,

et la connaissance derésultante, car on a :

- suffit pour la déterminât

■z=îi>", '■

d'où

La valeur de la constante G doit être évidemment nulle pour les points situés à l'intérieur de la couche cylindrique, car la résultante doit s'annuler par raison de symétrie lorsque le point m est situé sur Taxe, c'est-à-dire pour r=0, et si C différait de zéro, la formule (4) donnerait au contraire pour R une valeur infinie. On a donc dans ce cas :

Au contraire, pour une position de m extérieure à la couche cylindrique, C doit avoir une valeur différente de zéro, et l'étude du cas où le point m est situé dans l'épaisseur même de la couche nous conduira par continuité à la détermination de cette valeur.

Dans ce dernier cas, l'équation de Poisson

doit remplacer celle de Laplace. En substituant aux dérivées de u les expressions précédemment obtenues, cette équation devient :

' dr^ r dr ^

(3') tf^r ^) = -4rurd^.'

En désignant par r^ et r, les rayons des cylindres limitant intérieurement et extérieurement la couche et remarquant que (A est une fonction de r, on trouve par l'intégration de l'équation (3') effectuée entre les limites r^ et r

du /du\ rr , .

Or ( ^ l doit être nul , puisqu'il représente la va

-j- pour un point situé sur la surface interne, pour lei

formules (6) sont applicables. L'équation précédente st donc à.

du ir, pr

et elle fournit les valeurs de -j — , et par suite de R, po

position du point dans l'épaisseur de la couche. Elle est ap en particulier à un point de la surface externe en y faisan! Mais pour ce dernier point, la formule (4)

doit être également applicable. En identifiant les r donnés par ces deux formules, on trouve :

c=—4Jty'v '■*''•,

et la valeur de la constante G, pour les points situés en de la coache, se trouve ainsi déterminée.

nblable conduirait dans le cas d'une couche sphéîsultats identiques avec ceux que nous avons abtenus.

tmctlon d'an «ystènie de dlmeiuloni n point très éloigné. — CoDSidéroDS an 1 de forme et de dimensions quelconques, mais

ions à nous rendre compte de la valeur limite de exerce sur un point extérieur, lorsque ce point iment.

ance wtC du point m à. un point fixe C pris dans 'iel, r sa distance mn h un élément quelconque n lume.

txercée par l'élément n sera dirigée suivant mu ignant par [t la densité au point n, k

mhy.dv L*

avec mC ud angle e qui tend vers zéro, tandis — s'approche indéfiniment de l'unité. A la limiteremplacer la force en question par une force mfijido

dirigée suivant mC, et la somme de toutes les forces analogi poar l'ensemble du volume sera, eu désignant par M la ma: totale :

mhTÂ

Ce résultat s'énonce en disant que l'attraction d'un systè fini sur un point matériel très éloigné et dont la distance ai mente de plus en plus, tend à. prendre la même valeur que si masse entière du système était condensée en l'un quelcom de ses points.

SOLIDES THÉORIQUES

I OS. DéflnItioD. — Ou appelle solide théorique en Mé nique rationnelle un système matériel inSnitésimal tellem constitué que les forces intérieures maintiennent absolum invariables les distances respectives de tous ses points.

Le solide ainsi défini est, comme on voit, identique avec c< de la Géométrie ou de la Cinématique, avec cette différence i ses points sont des points matériels au lieu d'être des poi géométriques.

Mais la légitimité de l'hypothèse qui sert de définition au sol mécanique a besoin d'être justifiée, car s'il est toujours possi d'assujettir à telle condition qu'on voudra les points d'un syst* àla condition de déterminer les forces de liaison en conséquen rien n'autorise à supposer que ces forces de liaison seront forces iiilérieures, ce qui les oblige (S 116) à être binai, mutuelles et à ne dépendre que de la position relative des poi qu'elles affectent.

II résulte môme des hypothèses fondamentales de la Dynami que le solide mécanique ne peut se concevoir que comme cas hm

En effet, si des forces extérieures sont supposées agir certains points d'un pareil système pris au repos, elles doiv communiquer & ces points des accélérations, et le solide pourra conserver son invariabilité que si ses autres points

es premiers ou réagissent sur eux de manière à mouvement. Or, ces deux hypothèses sont égaleîles, car les forces intérieures ne pouvant être par l'action mutuelle des points du solide et lement de la masse de ces points et de leurs es, ces réactions ne sont pas modi&ées par l'inorces extérieures considérées, et par conséquent t ni déplacer des points du solide qui étaient primipos, ni s'opposer au déplacement de ceux qui ïtés par les forces extérieures.

faut toujours supposer que l'application d'une à un ou plusieurs points du système produit un ces points par rapport aux points voisins et par nation du système : par l'efTet même de cette i réactions intérieures se trouvent modifiées et i manière à empocher la déformation de s'aug- ;e.

cas limite où une déformation infiniment petite iduire ce résultat, et nous aurons ainsi le solide l'il faut le concevoir en Statique et en Dyna-

ncore que la conception du solide nécessite une fonction ç (r) qui représente l'attraction exercée isse sur l'unité de masse & la distance r. En effet, soit un solide composé d'un nombre fini ou infini de points, mais limité. Nous pourrons toujours choisir un point m de ce solide par lequel il sera possible de mener un plan P qui laisse le solide tout entier au-dessus et au-dessous de lui. Si le solide n'est supposé soumis à auieure, et si on l'imagine en repos, le point m

m ÏDfliiiment petile, il faut entendre une déformaiion telle Q point aux poinU voisina ne subisseat que des varistions ir rapport k ces distancea ellea-mémes.

irs se ramener {S 16) à une translation élémentaire Lpagnée d'une rotation élémentaire, tontes les quanlont la valeur dépend des déplacements élémentaires suc- 3 des différents points du solide doivent pouvoir s'évan fonction d'un petit nombre d'éléments simples dépendant grandeur et de la direction de ces deux déplacements inlît petits.

plus, l'axe de la rotation élémentaire pouvant être conduit ique instant par un point arbitraire, à la condition de er en conséquence la valeur de la translation, on pourra imaginer que le déplacement du solide s'obtient par une translation égale à celle de l'un de ses points et par une rotation autour d'un axe passant par ce point. On choisit généralement pour cette décomposition du mouvement le centre de gravité G du solide.

On aura alors à considérer :

1° Un mouvement de ation d'ensemble égal à celui du centre de gravité 0 r„^) par rapport aux axes fixes 0 (S,Y,Z); lin mouvement relatif par rapport aux axes G{X„Y„Z,], èles à OX, OY, OZ, menés par le centre de gravité, mouvement est une certaine rotation w, dont nous désias par^,g,r les composantes, suivant les axes, mouvement absolu du solide résultera de la composition de !ux mouvements simultanés.

appliquant simplement au cas du solide les résultats du raphe i 41 , nous reconnaîtrons que la somme géométrique tantités de mouvement est nulle dans le mouvement relatif

)RCES — STATIQUE E' et qa eue est égale dans le moavemeQt ab!

c'est-à-dire à la quantité de mouvement i où serait concentrée la masse entière du s Les sommes des moments des quantités dt port aux trois axes G (X,, Y,, Z,) dans sont ;

c'est-à-dire à canse des relations

démontrées précédemment {% 45}.

II) S^H-GY, ""^=9 Sm(r; + T:)-r $mz,

^Oïbaz, m^=r S'"(^î + !/î)-PS"'^t

L'axe du moment résultant des quantit solide relatif à son centre de gravité dans est une grandeur géométrique ayant les dentés pour projections sur les trois axes C

Si ces axes coïncidaient à un instant principaux d'inertie du point G, en désigi

Multipliant alors par la masse correspondante de chaque point et changeant le signe, on a les projections — m --Tjr^ — ^ 77^'

— "Wi -—!• de la force d'inertie de ce point sur les trois axes

G (Xj, Y,,Zj) et les moments de cette force d'inertie, par rapport à ces mêmes axes, s'obtiennent en formant les quantités

Y' di* ^' dt* )

Enfin les sommes cherchées pour l'ensemble du solide résultent de l'addition des quantités analogues pour tous les points, ce qui conduit aux expressions

.(.p-g)S-..-(«^fOS»"-

Telles sont, dans le mouvement relatif, les valeurs des sommes des moments des forces d*inertie, pris par rapport aux trois axes coordonnés G(Xj,Y,,ZJ.

Si ces axes coïncidaient à un instant donné avec les axes

(*) Ces formules, comnie toutes celles relatives aux questions traitées dans ce chapitre, se déduisent simplement les unes des autres par une permutation tournante des lettres qu'elles renferment.

e) Travail élémentaire. — Dans un solide, ainsi que nous l'avons fait observer, ce sont les forces intérieures qui, jouant le rôle de liaisons, sont chargées de maintenir Tinvariabilité du système. L'hypothèse ordinaire (par laquelle on élimine les forces de liaisons de Téquation des forces vives, de réquation du travail virtuel et de celle de d'Alembert, en admettant que la somme de leurs travaux est nulle pour les déplacements compatibles avec les liaisons) a donc besoin, dans ce cas particulier, d une justification spéciale. On Tobtient en remarquant que le travail des réactions mutuelles de deux points ayant pour expression générale

mm' 9 (r) dry

ce travail devient négligeable si Ton admet, comme on l'a fait pour les solides, que les variations de distances telles que rfr, sans être rigoureusement nulles, ne prennent que des valeurs infinitésimales d'ordre supérieur. Par conséquent, dans l'équation des forces vives appliquée aux solides, les forces extérieures doivent seules figurer.