ÉQUILIBRE D'UN SOLIDE THÉORIQUE

164t. Conditions d'écpilltbre de» systèmee de forces extérieures appliquées à un solide titéorlqpie.

— Supposons un solide en repos : les forces extérieures agissant sur ses différents points forment alors, avec les forces intérieures correspondantes, un système de forces en équilibre (S 1 IT) ; cherchons les relations qui doivent exister dans ce cas entre les forces extérieures.

Pour les trouver, appliquons au solide le théorème du travail virtuel. Ce théorème est applicable à tout déplacement compatible avec les liaisons, abstraction faite des forces de liaison, puisqu'il n'existe pas d'autres liaisons que celles dues aux réactions intérieures, et que le travail de ces réactions est nul. Cette

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sont satisfaites, le système des forces extérieures considéré est en équilibre avec les forces intérieures qui doivent spontanément se produire ; c'est-à-dire qu'appliqué au solide en repos, il ne modifie pas cet état de repos.

En eifet, si Ton attribue au solide un déplacement infiniment petit quelconque compatible avec les liaisons, ce déplacement sera hélicoïdal [Cinématique Si©) et pourra toujours être considéré comme résultant de la composition de trois translations •élémentaires parallèles aux trois axes et de trois rotations élémentaires autour de ces axes. La différentielle A d'une coordonnée X d'un point dans ce déplacement hélicoïdal sera la somme algébrique des six différentielles dx^ dlx^ él^x. . . de cette coordonnée dans les six déplacements composants, et, par suite, l'expression

qui figure dans le premier membre de l'équation du travail virtuel, sera nulle, puisqu'elle se décomposera dans la somme des six expressions analogues relatives aux mouvements composants, expressions qui sont toutes nulles d'après les conditions précédemment établies. Donc, enfin, l'équation du travail virtuel se trouvant vérifiée pour tout déplacement compatible avec les liaisons, les conditions d'équilibre seront bien satisfaites.

Le résultat auquel nous sommes arrivés peut s'énoncer de la manière suivante :

Pov/r quun système de forces extérieures appliquées à un solide soit en équilibre^ cest-à-dire laisse en repos le solide supposé primitivement en repos, il faut et il suffit :

1® Çue la somme des projections de ces forces sur une droite quelconque soit nulle, ou bien encore que leur résultante de translation (somme géométrique) soit nulle, car il est facile de reconnaître que cette condition équivaut aux trois équations (1);

2** Que la somme des moments de ces forces par rapport à un point quelconque de V espace soit nulle, car, le moment par rapport à. une droite d'une quantité géométrique donnée en situa-

ETUDE DES FORCES — STATiQ

tion dans l'espace étant la projcc moment de cette même quantité par :

droite, on voit d'abord que les trois cette condition unique que la somme extérieures par rapport à l'origine do

D'aatre part, si l'on déplace d'une des coordonnées, cette dernière cond satisfaite.

Supposons, en effet, qu'on prenne point 0' {j^, y, 2') ; les moments relatif: lèles aux premiers, menés par 0', ser pour O'X' par exemple :

quantité égale à zéro en vertu des éq Il en sera de même pour O'Y' et 0' Donc, la somme des moments reh

0' est nulle, puisque ses projections si

sont égales à zéro.