A. MOUVEMENT ABSOLU D'UN POINT
3. Déanltlon de la trajectoire* de la vitesse et de** aeeélératloos d'un point. — Trajectoire. — On appelle trajectoire d'un point mobile le lieu des positions successives occupées par ce point dans l'espace : ce lieu, d'après le principe de continuité énoncé plus haut, est toujours une courbe continue.
Vitesse et accélérations. — Considérons, à partir d'un instant
donné t, une série d'intervalles de temps infiniment petits égaux
entre eux, que nous désignerons par dt et soient m, m', m"j
m'",., les positions successives occupées par le point mobile aux
époques correspondantes.
Les déplacements infiniment petits mm' y m'm'\ m"m"'.,. qui
caractérisent le mou- \ vement du point m à
\ partir de la position et de r époque considérées sont les accroissements géométri ques (*) que prend par refïet du mouvement le rayon vecteur Om> ou u qui va d'un point
fixe 0 au point mobile m. Ainsi les positions 771, m', m", m'"...
occupées par le point aux époques t, ^-|-rf^, ^-j- 2dï, t + Mt.,.
sont définies par les rayons vecteurs
w + du ou symboliquement u (1+ d)
u -f 2 du + d« u id. u (1 +d)*
u-{-Zdu + Zâ}u-\-â}u id. u{H-d)", etc.,
et Ton voit, par la forme de ces relations, qu'en général la position m**,, occupée par le point à l'époque t-^-ndt, s'exprimera en fonctions de u et de ses n premières différentielles.
Le cas le plus simple qui puisse se présenter est celui où tous les déplacements successifs mm\ m'm'\ m'^m'"... sont égaux en direction et en grandeur. Dans ce cas la trajectoire du point est évidemment une droite : le mouvement est dit rectiligne^ et, de
(*) Pour la définition et le caJculdes quantités géométriquesy dont il sera fait un fréquent usage dans la suile^ le lecteur eaj; prié de se reporter à mon Cours d'Analyse.
CINÉMATIQUE 5
plus, il est uniforme^ c'est-à-dire que le chemin parcouru sur la droite est proportionnel au temps employé à le parcourir.
La nature de ce mouvement se trouve caractérisée par la valeur du rapport constant entre Tespace parcouru et le temps
employé : ce rapport égal à -j- est une grandeur géométrique,
dp
généralement finie, à laquelle on a donné le nom de vitesse et
qui détermine par sa direction celle de la droite trajectoire et par sa grandeur la rapidité avec laquelle le point mobile se meut sur cette droite. Nous désignerons par V cette vitesse et par V sa grandeur abstraction faitç de la direction qui doit lui être attribuée.
Revenant actuellement au cas général, nous reconnaîtrons qu.e
la définition de la vitesse, telle qu'elle viçnt d'être donnée pour
le cas particulier du mouvement rectiligne, s'y applique sans
aucune difficulté.
du La grandeur V, égale à — et dirigée suivant la tcmgente à la
at
trajectoire^ définit à l'instant considéré le mouvement rectiligne et uniforme dans lequel se transformerait le mouvement cur^ viligne et varié que l'on considère si, à partir de cet instant, ce mouvement se continuait en restant identijque à lui-même. Mais en réalité ce mouvement varie : sa vitesse change donc à chaque instant de grandeur et de direction, et pour caractériser ces variations on est naturellement conduit à considérer les quantités géométriques suivantes :
p dY d*u ^ ' dt dt^ '
P dV, d«V * " dt ^ dt*
= dt*'
dv, d«r,
'"" dt " dt*
d»V d*u df* d<*'
^ dr„i
auxquelles on a donné le nom à* accélérations. Ces quantités, qui sont évidemment nulles dans le mouvement rectiligne et uniforme, déterminent dans le mouvement curviligne et varié les positions successives occupées par le point mobile à partir de la position m, puisque leur connaissance équivaut à celle des différentielles successives de u. Ce sont, si Ton veut, les dérivées successives du rarjon vecteur considéré comme fonction géométrique du temps, en entendant par dérivées des rapports d'accroissements différentiels qui existent toujours et sont toujours parfaitement définis par Texistence même du mouvement, dans le cas même où l'expression du rayon vecteur en fonction du temps ne serait pas connue.
La vitesse est la première de ces dérivées et l'accélération d'ordre n en général est la dérivée d'ordre (71+ 1).
On réserve ordinairement la dénomination pure et simple d'accélération à l'accélération du premier ordre ; celle du second ordre a reçu le nom de sur accélération.
Si, faisant abstraction de la direction des accélérations, on se borne à considérer leurs grandeurs, on désignera ces grandeurs par les lettres minuscules
Ti ïi Ts ••• T»»>
qui ne doivent jamais être confondues avec les grandeurs géométriques correspondantes.
ds La grandeur v de la vitesse est évidemment égale à —, en dési-
CINÉMATIQUE 7
gnant par ds Tare différentiel de trajectoire correspondant à Vêlement de temps dt.
41. Cwk» du mouvement rectllisne. — Nous avons déjà défini le mouvement rectiligne et uniforme pour lequel toutes les accélérations sont nulles.
Mais le mouvement peut être rectiligne sans être uniforme : le mobile parcourt alors sa droite trajectoire avec une rapidité variable. Les accroissements du^ d^u, d^u... de son rayon vecteur étant tous dirigés suivant la droite trajectoire, toutes les accélérations ont la direction de cette droite pour direction commune, et Ton peut se borner à considérer leurs grandeurs, qui deviennent égales aux dérivées algébriques successives du chemin pai;couru par rapport au temps.
Ainsi, en désignant par s ce chemin, on a :
ds
dt d^s
T2=5ïr'etc.
Un cas simple et intéressant est celui du mouvement uniformément variée pour lequel Taccélération première est constante. Si Ton représente par c cette valeur constante, on a alors :
dv
Ti ou d'où
Ti ou 3^=c,
et par suite
ds , ^
V ou -77=^0 + 0/»
at
et*
8 =8o-{'Vot+Y'
en désignant par Vo et So les valeurs initiales, au temps zéro de la vitesse et du chemin parcouru.
Le mouvement est dit uniformément accéléré on uniformément retardéy selon que la constante c est positive ou négative. Dans le premier cas, en effet, la vitesse va constamment en croissant; dans le second cas, au contraire, elle décroît à partir de sa valeur initiale Vo supposée positive et finit par changer de signe. A partir de ce moment, le mobile rétrograde sur sa droite trajectoire.
S. Expression de la vitesse et des accélérations d'un point au moyen de ses coordonnées rectilifl^es.
— Les définitions précédentes permettent d'exprimer sans difficulté la vitesse et les accélérations d'un point au moyen de ses coordonnées lorsque le mouvement de ce point est connu, c'està-dire lorsque les coordonnées qui déterminent sa position dans l'espace sont données en fonction du temps. Soient par exemple
y=KO,
en coordonnées rectilignes. Désignant par A, i, j des quantités géométriques égales à^Tunité en grandeur et portées sur les axes, on a
u = /ia; + ij/+jz,
d'où
du ,dx . .dw . .dz d^u d*x .d'y , .d'z
etc.
équations qui résolvent complètement la question en décomposant chaque accélération en une somme de trois quantités parallèles aux trois axes et exprimées en fonction des coordonnées.
CINÉMATIQUE
Si les axes sont rectangulaires, la grandeur algébrique de Taccélération d'ordre n sera
^— VVdï^J +V3?htJ +(^dFn; •
Si les axes étaient obliques, l'expression serait moins simple, mais aussi facile à établir.
O. Courbes des espaces et des vitesses. — On se sert souvent pour les applications pratiques de coordonnées rectangulaires pour figurer la relation qui existe dans un mouvement déterminé entre le temps écoulé t et T espace s parcouru par le point mobile sur sa trajectoire; soit
s = fit)
cette relation, la courbe qui la représente est dite cou/rbe des espaces. Le coefficient angulaire tg<f »
de la tangente à cette courbe en Tun de ses points est égal à la valeur
correspondante de la grandeur -^ de
la vitesse, pourvu toutefois que Tunité de temps et Tunité d'espace soient représentées par une même longueur sur la figure.
On peut construire une courbe analogue dite courbe des vitesses en prenant, au lieu des espaces, les vitesses pour ordonnées.
T. Vitesse ansulaire et vitesse aréolafre d'un point. — Si Ton rapporte le mouvement plan d'un point m à une origine 0 prise dans son plan, on pourra considérer comme fonctions du temps pendant le mouvement du point : 0
1® L'angle mOa ou 9 que fait le rayon mobile Om avec un rayon-origine Oa;
iO COURS DE MÉCANIQUE RATIONNELLE
2* L'aire mOa ou A balayée par le rayon vecteur Om à partir du môme rayon-origine.
On appelle :
Vitesse angulaire du point mobile le rapport différentiel -^ »
Vitesse aréolaire du point mobile le rapport différentiel - —
ac
S. Relationei entre la vitesse et les accélérations d'un point mobile et les éléments caractéristicpies de sa tri^ectoire. — On a \ii dans le Cours d'Analyse ce que l'on doit entendre par éléments caractéristiques d'une courbe. Ce sont des éléments géométriques de grandeur finie, déterminés par la connaissance des points consécutifs de la courbe.
Ainsi la connaissance de deux points consécutifs détermine la tangente; celle de trois points le rayon de courbure^ etc., etc., et cette détermination est indépendante dans son résultat de la loi suivant laquelle se succèdent les points consécutifs sur la courbe, pourvu qu'ils* soient, bien entendu, infiniment voisins les uns des autres.
Le choix des éléments caractéristiques d'une courbe est d'ailleurs indéterminé. Ainsi comme élément du deuxième ordre on pourra adopter soit le rayon de courbure, soit la courbure qui en est l'inverse, soit toute autre expression liée à la courbure d'une façon quelconque.
Pour les courbes planes on a une série d'éléments caractéristiques toute naturelle dans la tangente, le rayon de première courbure et les rayons de courbure des développées successives de la courbe.
Ces grandeurs ont pour expressions les coefficients différentiels
ds d}s d'« .
T"» TPI» "jI» ®^c* a CL a a* a a'
qui sont les dérivées successives de l'arc s, c'est-à-dire du chemin parcouru considéré comme fonction de l'angle a que fait
CINÉMATIQUE
la direction de la tangente, c'est-à-dire celle de la courbe même, avec une direction fixe prise pour origine. Cet angle est alors considéré comme variable indépendante , c'est-à-dire qu'il reçoit des accroissements successifs égaux.
Les rayons de courbure ainsi déterminés définissent la courbe d'une façon très naturelle, en établissant à partir d'un point la liaison qui existe entre le chemin qu'on parcourt sur la courbe et l'angle correspondant dont on tourne.
Mais la même liaison peut être aussi bien définie en prenant
les dérivées de l'angle a par rapport au chemin parcouru, qui
devient alors variable indépendante, et, bien que ces nouvelles
quantités
* ds d»a
etc.
aient une représentation géométrique moins immédiate et moins simple que les précédentes, nous les adopterons cependant parce qu'elles se prêtent à une extension plus naturelle aux courbes à double courbure.
Dans la génération de ces courbes, en effet, on a deux rotations à considérer :
1^ La rotation de la tangente tournant d'un angle infiniment petit da dans le plan osculateur : cet angle est celui des deux côtés consécutifs 1-2 et 2-3 du polygone infinitésimal ;
2^ La rotation du plan osculateur, tournant autour de la tangente d'un angle infiniment petit d^ : cet angle est celui des deux plans osculateurs consécutifs 123 et 234.
Prenant donc l'arc s comme variable indépendante, c'est-àdire donnant au chemin parcouru des accroissements égaux,
Fu»»
nous obtiendrons les deux séries suivantes d'éléments caractéristiques qui oflEriront une complète symétrie :
da d8
de
ds
d'à ds« £6
a, —.-—..., etc.
Et il sera facile d'exprimer ensuite au moyen de ces élé9ients les autres éléments caractéristique^ d'un usagé plus habituel.
Ainsi désignant par p et r les rayons de courbure et de cat?ibrure et par R le rayon de la sphère osculatrice, on établira sans peine les relations suivantes :
=?rv'«!ô!+«|'«tc-
d'où réciproquement
ao =
-5^ft«-pt,etc.
Ces préliminaires une fois établis, il est clair que si la vitesse et les accélérations géométriques d'un point sont données à un instant déterminé, on connaît par là même les positions successives que ce point occupe aux temps t, ^ + cî^, t + 2d^^ etc., dans l'espace, c'est-à-dire qu'on doit pouvoir déterminer :
1** Les éléments caractéristiques de sa trajectoire;
2^ La rapidité avec laquelle le point mobile se déplace sur cette trajectoire, ou en d'autres termes l'arc parcouru s en fonction du temps t employé à le parcourir.
CINÉMATIQUE 43
Cherchons à établir les formules qui expriment cette double liaison.
Pour cela soit mené par un point quelconque 0 un trièdre trirectangle 0 (T, N, P) formé par trois grandeurs géométriques T, N et P égales à Tunité, et supposons que le sommet de ce trièdre restant fixe, ses côtés se déplacent pendant le temps où le point mobile décrit sa trajectoire de manière à rester constamment parallèles :
OT, à la tangente à la trajectoire dirigée dans le sens du mouvement ;
ON, à la normale principale dirigée vers le centre de courbure ;
OP, à la binormale dirigée vers le centre de cambrure. •
Il est facile de reconnaître que les accroissements différentiels géométriques de T, N et P seront donnés par les formules :
dT = Nda
dN = — Tda + PdO.
(1) dP = — Nde
En effet, le trièdre peut être amené de sa position première à une position infiniment voisine par une rotation da, autour de" OP (*) suivie d*une rotation dô autour de OT (**). Il est facile de s'assuVer d'ailleurs (et nous reviendrons sur ce sujet à propos des mouvements simultanés) que le déplacement infiniment petit que prend un point par la succession de ces deux rotations, infiniment petites, est, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur, la somme géométrique des déplacements que chaque rotation produirait si elle existait seule.
Or la rotation rfa produit les variations différentielles suivantes :
(*) Cette rotation tend toujours à amener OT sur ON. (**) Cette rotation tend toujours à amener ON sur OP.
PoiirT + Ndft,
Pour N — Tda,
Pour? 0;
de même la rotation dO produit :
PourT 0,
PourN + PdO,
PourP — Nde,
et Ton en déduit par addition les relations (1) précédemment écrites.
Si maintenant on désigne par v la grandeur algébrique de la vitesse, on a l'identité
qui donne par une simple différentiation
d V «, du . d T fpdv , ^j ^ dct -, du ... ,
Il serait aisé d'obtenir par des différentiations successives les accélérations d'ordres suivants F,, r,... Nous nous bornerons à la relation ci-dessus- qui donne l'accélération au moyen de ses deux composantes dirigées l'une suivant la tangente, l'autre suivant la normale principale à la trajectoire.
Dans cette expression de F, et dans celles plus complexes qu'on • obtiendrait pour F,, F,, figurent, comme on voit, des éléments de deux natures : les uns, comme la vitesse v et ses dérivées par rapport au temps, dépendent de la rapidité avec laquelle Iç point se déplace sur sa trajectoire; les autres, comme a^, a,... 6^, 6,... dépendent uniquement de la nature géométrique de cette trajectoire et en sont les éléments caractéristiques.
Il est facile d'ailleurs d'introduire dans ces expressions à la place de a,, a, et ô, les rayons de courbure et de cambrure ainsi que le rayon de la sphère osculatrice : il suffit de faire usagé pour cela des formules précédemment établies. On trouvera ainsi pour F, en particulier :
„ du «, u*
at 0
ppfp
aNEHATIQUE 15
Od voit que l'accélération du premier ordre est située dans le plan osculateur de la trajectoire et qu'elle peut être considérée comme la somme géométrique de deux composantes: l'une, tangentielle,
dirigée dans le sens du mouvement et égale à -r-; l'autre , normale, dir^ée vers le centre de courbure et égale à — La pre-
P mière de ces composantes subsiste seule ai le mouvement est
rectitigoe, puîsqu'aloFs - s'annule; au contraire, l'accélération
P se réduit à sa composante normale si la grandeur de la vitesse est constante, c'est-à-dire si le mouvement est uniforme sur la trajectoire.
Dans le cas du mouvement circulaire, si l'on appelle u la vitesse angulaire autour du centre, on a visiblement :
Les composantes de l'accélération sont alors :
dirigée vers le centre du cercle, et
dirigée suivant la tangente dans le sens du mouvement.
Si le mouvement circulaire est uniforme, l'accélération se réduit à sa composante centripète u'r.
9. Antre méthode pour l'évaluation des composantes normale et tangentielle de l'accélération <l*an point en fonction de la vitesse r* de sa dérivée et de la courbure de la trajectoire t déviation* — Si
au lieu de chercher l'expression générale des accélérations en fonction de la vitesse v, de ses dérivées et des éléments géométriques de la trajectoire, on se propose simplement de calculer
cette expression pour laccélération première F^, on peut y arriver directement par les considérations suivantes :
Portons sur la tangente à la trajectoire à partir de la position m, que le point occupe à un / instant donné /, une longueur
Or- -••JtP' mm^^ ou v^i, àt représentant
'^s. /l V" ^ ^^ espace de temps que nous
1>. / Jit^ ferons tendre ultérieurement
\ //^ vers zéro. Joignons le point m
s^y^ ainsi obtenu au point m', position
que prendra au temps t-^-t^iX^ point mobile sur sa trajectoire.
La grandeur géométrique m^rri^ située dans le plan mm^'m! osculateur à la limite à la trajectoire, est dite la déviation du point m, lorsque A^ devient infiniment petit.
Si Ton désigne par u le rayon vecteur du point m, on devra noter
u 4- Au,
celui du point m\ c'est-à-dire, en développant Au par une formule d'Analyse {Calcul différentiel^ § T8) applicable évidemment aux grandeurs géométriques ;
, (du\M . fd*u\ Al
quant au rayon vecteur de m^, il est égal à en sorte que
Si Ton suppose actuellement que At devienne infiniment petit, en le remplaçant par la différentielle dt et en réduisant Tex-
CINÉMATIQUE 17
pression de tn^rri à son terme principal, on a : d'où l'on conclut
^^=-dr' '
Ainsi l'accélération première est égale, au facteur -7^5 près, à
la déviation m^m'. Décomposons actuellement cette grandeur
géométrique m, m' en ses deux composantes m^\k et \km' suivant la tangente à la trajectoire et sa normale principale, et nous obtiendrons pour les composantes tangentielle et normale de l'accélération les expressions
2|xm'
-dT
Mais, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au second, on peut confondre l'arc mm! ou As avec sa projection m[K sur la tangente, c'est-à-dire qu'on a :
. /d8\ dt , /'dH\ dt^ , et par suite
d'où l'on conclut :
Wli,
V V, - 'W - \d?) - dt'
D'autre part, d'après une expression connue du rayon de courbure {Calcul différentiel, § 1 64),
— / -- ^îîil xT^dj}
donc
On retrouve ainsi les expressions de (yJ» et (v,)^ obtenues au paragraphe précédent.
