Condition d*éqalllbre simplifiée. — Pui

lea transformations que l'on fait subir k un système de fc pour le ramener au système simple composé de deux forc£ et R, ne modifient ni la somme des projections des forces su axe quelconque, ni la somme de leurs moments relatifs à un ] quelconque, il est clair que, si le premier système satisfait conditions d'équilibre, il faudra :

i" Que la soQune des projections des deux forces R, et R, une droite quelconque soit nulle, ce qui exige que ces deux ft soient représentées par des grandeurs géométriques égal* opposées.

3° Que la somme de leurs moments par rapport à un ] quelconque soit nulle, ce qui exige que les deux forces R, < soient dans le prolongement l'une de l'autre (sans quoi, f égales en grandeur et opposées en direction, elles formeraien couple dont le moment ne serait pas nul).

Ces deux conditions sont nécessaires, et réciproquement i évident qu'elles sont suffisantes.

Mais alors les deux forces R, et H, se composent en se dé saut. Donc en définitive pour qu'un système de forces extérie appliquées h un solide soit en équilibre, c'est-à-dire laiss< repos le solide au repos, il faut et il sufUt qu'en appliquant l forces les règles de composition précédemment énoncées on ai h une résultante unique qui soit égale à zéro.

IV^i. Condition |»oiii' que les force* appliquée nn «ollde se réduisent & uue résultante unlqnt

La méthode de composition des forces par le moyen des cou conduit aisément & la condition nécessaire pour qu'un systèm forces ait une résultante unique. Soient en effet comme pr demmentS2Xi SSY, SSZles sommes des projections des fo sur les trois axes 0 (S, Y, Z), et désignons par L„ L,, L sommes de leurs moments relatifs aux mêmes axes. En opé

la composition comme il a été dit au paragraphe 1 72, on obtient une résultante Q appliquée au point 0 et un couple (*, — $),

et pour que la résultante R de Q et de $ puisse fournir avec — ^ une résultante unique, il faut évidemment que cette force R rencontre — *, ce qui exige que Q soit situé dans le plan du couple, et.soit par conséquent perpendiculaire à son axe. Mais, d'après les conditions d'équivalence, cet axe doit avoir L„ L^, L, pour projections sur les trois axes coordonnés, et les projections de Q sur les mêmes axes sont

S2X, S 2 Y, S2Z, la condition de perpendicularité sera donc:

(1) uS5:x + L,S5;Y.fL,S5;z=o,

et cette condition devra être satisfaite toutes les fois que le système de forces donné pourra se réduire à une seule résultante (*).

1 T5. Obfiier valions relatives & la composition des for<^es et des couples appliqués & un solide i ana» lofi^e avec la composition des mouvements. — II

existe entre la composition des mouvements élémentaires simul- , tanés d un système invariable (S 38 et suivants) et celle des forces appliquées à un solide une analogie remarquable qu'il est intéressant de signaler. Les règles de composition sont en effet identiques si Ton assimile les axes représentatifs des rotations à

(*) Si cette condition est satisfaite pour un système d'axes donné, elle doit Têtre évidemment pour tout autre système d'axes, puisque la propriété qu'elle exprime est indépendante du choix des axes : on vérifie aisément qu il en est efiectivement ainsi.

On peut retrouver directement la relation (1) en écrivant que, dans Thypoibèse admise, il y a des points de l'espace (points de la résultante unique) pour lesquels la somme des moments des forces données est nulle : la condition, pour que de pareils points existent, se traduit précisément par l'équation (i).

des forces et les couples de forces à des ou, ce qui revient au même, les axes d des translations.

Cette assimilation fournit immédiatem< intéressants tant pour les compositions de les compositions de forces : c'est ainsi qu(

établie au paragraphe précédent et appli des déplacements élémentaires, exprimera pour que ces déplacements se réduiseï résultant à une rotation unique, à la condi %1X SS'^. S^Z les sommes des project posantes sur les axes, et par L„ L,, L, 1< tions des translations composantes ajouti rotations composantes relativement à. ces

On Toitaussi qu'un système quelconque d nés peut toujours être remplacé, et d'une î: deux rotations résultantes, et que le tétra axes représentatifs de ces deux rotations

Réciproquement, les résultats obtenus composition des mouvements simultanés qu'on peut toujours, mais d'une seule m elles les forces appliquées à. un solide de n par une force et un couple dont le plan s< direction de la force.

« A 76. ApplIcatloD à. l*équlllbr<

Un solide ayant la forme d'un tétraèdre j système de quatre forces extérieures res culaires à ses quatre faces, appliquées au ces faces supposées homogènes et propoi faces : on se propose de démontrer qi équilibre si les forces sont dirigées t( l'intérieur, soit vers l'extérieur du solide.

ms par S„, S*, S„ Sj les aires des quatre faces respectipposées aux sommets A, B, C, D, par a, b, c, d les ) gravité de ces faces et par F,, Fj, F„ Fj les quatre

ipectivement appliquées en ces points et égales par

k /cS„, kSi, k5„ k%, k représentant un facteur constant

13 trois de ces forces F», F„ Fj par exemple sur li

le la quatrième force F,, nous aurons, à cause de laper-

■ité des forces auz faces :

Project. Ft = Ftc08(FtF.)=fiStcos(StS,),

ue la somme des projections de F», F„ F^ sur la direcsera :

h [s, ces (Si Sa) + S,cos(S,S,} + SjCOs(SiS,)],

i somme des projections de trois faces d'un tétraèdn

décomposé en tétraèdres, et si le polyèdre est soumis à l'action de forces perpendiculaires à ses faces et satisfaisant aux conditions de l'énoncé précédent, on pourra toujours démontrer l'équilibre de chacun de ces tétraèdres par l'adjonction de forces fictives, égales et opposées deux à deux, appliquées aux centres de gravité des faces de séparation des tétraèdres et proportionnelles aux aires de ces faces.

Si Ton suppose actuellement que les faces du polyèdre deviennent infiniment petites, on arrive à la proposition suivante, souvent appliquée en hydrostatique :

Un solide quelconque est en équilibre lorsqu'il est soumis sur tous ses éléments superficiels à des forces normales proportion^ nelles à Vétendue de chaque élément et toutes dirigées soit vers Vintérieury soit vers V extérieur du solide.

• l'7'7. Cas où les poiats du solide sont soiimto à des forces de gnt^Andeurs et de directions constantes t asLcs d'équilibre s éipillliire astatique. — Si les forces qui agissent sur les différents points d'un solide sont indépendantes (comme dans le cas de la pesanteur) de la situation de ces points dans l'espace, on donne, d'après Mœbius, le nom Xaxe d'équilibre à toute droite telle qu'une rotation quelconque du solide autour de cette droite laisse subsister l'équilibre supposé préalablement établi.

Cherchons les conditions nécessaires pour qu'une droite donnée, l'axe OX par exemple, soit axe d'équilibre.

Les équations d'équilibre, primitivement satisfaites par le système des forces données F (X, Y,Z), étant (S 164)

(2) S2iYz~Zy) = 0 S2(Z^-Xz) = 0 S5;(Xy-Yx) = 0,

il faut qu'après une rotation quelconque a autour de OX, les six équations analogues soient encore vérifiées par les mêmes forces F dont les grandeurs géométriques ne sont pas changées

ÉTUDE DES FORCES

par hypothèse, mais dont 1« la rotation, se trouvent seul Le déplacement en ques tioQs (1), on n'aura à s'occu forme (2), et les nouvelles é

(2") SSOf^-Z!'')=0 S2

devant être satisfaites que conditions qui, en tenant C( aux trois suivantes :

SX'

Il est facile de vérifier ■ satisfaites, il en sera de mêi à une droite quelconque 0'^ vériScation de transporte] point C de cette nouvelle d

Pour que les trois axoa < faudra, d'après le résultat tioDs (1) les neuf conditions

soient satisfaites par le sys

S'il en est ainsi, il est :

l'espace est axe d'équilibre.

qoe nous venons de définir, on dit qu'il est astat. libre existe alors pour toutes les positions possi dans l'espace. En effet, un déplacement quelconqu s'obtenir par une translation qui ne change rien é conditions d'équilibre et par une rotation qui, d'aj tration précédente, ne détruit pas non plus cet é puisque l'axe de cette rotation sera toujours un e

1 "VS. Cas d*un «oUde qui n*erBt pa« Ul llt£«. — Il peut se faire qu'un solide, comme un ne soit pas libre, c'est-à-dire que parmi les forc< sur ce solide, il y en ait d'Inconnues à la connaissj on supplée au moyen de certaines conditions géo conditions consistent par exemple dans la fixi points ou dans l'ûbligation pour certains points de des lignes ou des surfaces données, ou enfin di pour certaines surfaces invariablement liées au tangentes à des surfaces fixes.

Dans ces différents cas on cherchera k déterm du solide en éliminant les forces inconnues, appt comme nous l'avons fait dans le cas d'un point : on calculer ces réactions par des procédés analogi nous avons employés dans ce dernier problème.

Nous donnerons un exemple très simple d'^ genre.

l'VO. Bqaillbre d'an «oUde pesant i planhorlxontal. — Imaginons un solide pesi plan horizontal qu'il touche par un certain nombr que a,&,c,(f,e... et cherchons à établir les conditio libre.

Nous supposerons d'abord (abstraction faite dont nous parlerons plus tard) que les forces de 1 festent par de simples réactions verticales telles c Le solide étant en équilibre sous l'action de ces "^ pesanteur, toutes ces forces qui sont paralU

/I '-TTV^I

Mais si ce mode de solution est facile à concevoir, il serût <l*une exécution très difficile, et les calculs auxquels on serait conduit présenteraient une extrême complication. On les simplifie dans une certaine mesure en opérant de la manière suivante:

Supposons qu'au premier instant considéré les axes OX, OY, OZ, dont les directions sont arbitraires, aient été choisis de manière à ce que leurs parallèles menées par le centre de gravité soient les axes principaux du solide donné. Alors les sommes ^1nx^y^^ S^Vi^u S^^i^i seront nulles et les autres coefficients s'exprimeront très simplement au moyen des moments d'inertie principaux A, B, G ; par exemple :

§m {y] + z]) sera égal à A,

j^m {y\ — z]) » » à C — B, etc.,

«n sorte que les équations (2) deviendront, conformément à un résultat déjà obtenu (§ 1 63) :

dp dï

A5r + (C-B)gr = L'.,

(3) B^- + (A-C).rp=L',,

Les équations (2) mises sous cette forme simple prennent le nom inéquations d'Euler et elles donnent à Vinstant considéré les accroissements différentiels dp, dq^ dr des composantesp,g,f de la rotation du solide, Vivant des axes de direction constata coïncidant momentanément avec les axes principaux du solide.

Pour pouvoir les appliquer d'une façon continue et les intégrer par conséquent, il faudrait supposer que les axes principaux d'inertie restent en coïncidence permanente avec les axes GXj, <iY^, GZ,, mais la rotation même du solide doit faire cesser cette <îoïncidence.

Afin de lever cette difficulté, supposons qu'au lieu de décomposer la rotation suivant les trois axes G (X^, Y^ Z,), on la décompose à chaque instant suivant les trois axes principaux d'inertie :

ÉTUDE DES FORCES — STATl

les composantes initiales p, q, r ser il reste & vérifier que leurs différei des quantités négligeables.

Ces différentielles sont dans la pr tions dp, dq, dr de dQ (différentie tionÛ) sur les axes G (X,,y,,Z,), et d différences algébriques îp, iqy dr obtenues en retranchant respectivemest les projections de Û sur lesaxe8G{X„Y„Z,}de8 projections de (Q+.dQ) sur les axes G (a, p, -j) qui sont, après un preinier élément de temps, les positions nouvelles des axes d'inertie. t

Or, le déplacement de ces axes étant dû à une rotation élémenture autour de Û, 1 G3, Gy doivent être égales h. celles par suite les différentielles 5p, Iq, 1 comme rigoureusement représentée!

sur les axes G («,|, f)-

Mais les axes G (a, 0, y) faisant av angles infiniment petits, les projec géométrique sur ces deux systèmes i géant les infiniment petits d'ordi conserve {*).

I*) Soieat en eSbt X, |i, v les angles de di. Ip = dH ces (dû, G>) = dQ [cos X cos |