V CO

«D évslaam le cosinus de l'angle des deux < angles que font ces directions avec les axeR

Ainsi les équations d'Euler peuvent être considérées comme donnant, pendant le premier instant du mouvement, les accroissements différentiels des composantes de la rotation prises d une manière continue suivant les trois axes principaux du solide. Mais alors ces mêmes équations seront encore applicables pendant l'instant suivant par rapport aux axes principaux déplacés, et ainsi de suite; en sorte qu'elles pourront être appliquées d'une manière continue sous la forme simple que nous leur avons donnée, à la condition d'entendre par i?,^, ries composantes de la rotation prises à chaque instant suivant les axes d'inertie principaux et par L'„L'„L', les moments des forces extérieures relatifs à ces mêmes axes.

Le déplacement de ces axes mobiles se trouve défini par la connaissance successive des valeurs de jo, g, r que fournissent les équations d'Euler.

Mais l'intégration de ces équations n'en reste pas moins irréalisable en général, toutes les fois que les forces extérieures sont données relativement à des directions fixes de l'espace: car alors les expressions de L'„ L'^, h\ qui entrent dans les équations d'Euler, dépendent précisément du déplacement encore inconnu du solide que ces équations doivent déterminer.

1S2. Cas particulier d'un solide qui n'est soumis à l'action d'aucune Ibrce extérieure. BUipsoïde de Poinsot. — La difficulté que nous venons de signaler se trouve évidemment écartée dans le cas très simple où le solide n*est soumis à l'action d'aucune force extérieure et se meut par conséquent en vertu seulement des vitesses initiales de ses points et de la loi d'inertie.

Or, en négligeant les infiniment petits, od a ;

CCS (GXi, Ga) = 1 cos (GYi , €a) = 0 ces (GZj, Gx) = 0.

Donc enfin

6p s dû cos X = dp.

. ~\ ^iz.-

S*^11gx, mV = Ap, SoRgy, mV = Bq, S^OÎLgz, mV=Cr,

Ces sommes sont les projections sur les axes G (X,, Yj, ZJde l'axe du moment résultant des quantités de mouvement du solide relatif au point G.

Le plan du maximum des aires, qui est perpendiculaire à cet axe, fait donc avec les trois plans coordonnés des angles dont les cosinus sont respectivement égaux à

Ap \/AV + B«q» + C«r«'

Bg V'A'p'i- B*q*-f C«r

Or, l'ellipsoïde central, rapporté aux mêmes axes, a pour équation à l'instant considéré

Axî + Byî + CzJ = l.

Considérons le point j* {x\ y\z') où Taxe instantané Gû perce y , ^ cet ellipsoïde^ et soit l la longueur

^ jti du rayon G|A : on a :

Ci>

ss *- 1

ci> désignant toujours la grandeur de vitesse atiguliaire dont j?,?,^ août lé^4rbis composantes.

TV — - y-\ ,. - - ,-^ , --.- v#i"» ^ • f

Le plan tangent à l'ellipsoïde en \l ayant pour équation : OU, d'après les relations précédentes,

(4) Kpxi + B gj/i + C rzj = j ,

est donc parallèle à l'instant considéré au plan du maximum des aires, et. comme il doit en être de même à tous les instants du mouvement, puisque cette propriété ne dépend en rien de Torientation des axes, le plan tangent à Vellipsoïde central au point oii il est percé par Vaxe de rotation conserve une direction fixe dans Vespace^

Appliquons actuellement le théorème des forces vives. - D'après ce théorème, la variation de force vive du solide pen» dant un temps donpé est égale à la somme des travaux des forces extérieures pendant le même temps. Or, dans le mouvement relatif qui nous occupe, les forces extérieures apparentes et réelles étant nulles, la somme de leurs travaux est constamment nulle, et par suite la force vive du solide doit conserver une valeur constante. Cette force vive est

w«Smr« ou w'MR»,

en désignant par R le rayon de giration relatif à l'axe 6[x. Mais, d'après la détermination même de l'ellipsoïde d'inertie,

Donc :

(5) ci>« MR* = M ^ = constante»

c'est-à-dire que ; à mesure que Vaxe de rotation G^ se déplace à Vintérieur du solide ^ la vitesse de rotation varie proportionnellement à la longueur l du rayon de Vellipsoïde central coïncidant avec cet axe de rotation.

Enfin, d'après le théorème des aires, le moment résultant des quantités de mouvement du solide^ par rapport à son centre

^."^'^m'inrî:».':

de gravité, est constant non seulement en direction, msûs encore en grandeur. Ce moment est égal, d'après ce qui précède, à :

6JV^A«x'«-h B«?/'« + C*2'« 1 •

en remplaçant p, q et r par leurs valeurs tirées des relations (3). D'ailleurs, si Ton désigne par S la distance Gd de 6 an plan

tangent en |a à Tellipsoîde d'inertie, plan dont Téquation, comme on Ta vu, est :

cette distance S est précisément égale à

v^Â«3?n^BV*Tcv«'

en sorte que la valeur du moment résultant peut s'écrire

et comme déjà — est constant d'après un résultat que nous

venons d'établir, pour que c^ moment soit constant, il faut que S le soit également, ce qui prouve que le plan tangent à l'ellipsoïde au point (&, où. il est percé par taxe instanta}ié de rotation^ conserve une position invariable par rapport aux axes

Il résulte de là que, dans le mouvement relatif rapporté à ces axes, l'ellipsoïde d'inertie reste constamment tangent à un plan fixe. De. plus il ne peut que rouler sur ce plan, puisqu'à chaque instant du mouvement son point de contact \k est situé sur l'axe instantané de rotation et a par conséquent un déplacement nuL ' Enfin,, la vitesse de rotation est à chaque, instant propor-

ÉTUDE DES FORCES — STATiQLE ET DYNAMIQUE 369

tionnelle au rayon de l'ellipsoïde qui passe par le point de contact de cet ellipsoïde avec le plan fixe.

On doit à Poinsot cette image remarquable du mouvement que prend, autour de son centre de gravité, un solide invariable abandonné à la seule action des forces intérieures.

On a donné les noms de polhodie. et d' herpolhodie aux courbes, lieux respectifs du point de contact \k sur Tellipsolde central et sur le plan fixe.

La polhodie est une courbe fermée C, lieu des points de contact de Tellipsoïde avec les plans tangents communs à cet ellipsoïde et à une sphère concentrique : cette courbe se projette suivant des coniques sur les plans principaux de l'ellipsoïde.

L'herpolhodie est une courbe G' décrite autour du point rf, projection du centre de l'ellipsoïde sur le plan fixe, et qui présente en général un contour sinueux pouvant se fermer ou ne pas se fermer, suivant les cas.

L'étude de ces deux courbes a donné lieu à d'intéressantes recherches que nous devons nous borner à signaler ici (*).

Si le solide à un instant donné tournait autour d'un des axes de son ellipsoïde central, il devrait, d'après les résultats précédents, continuer à tourner indéfiniment autour de cet axe. De là le nom à!axes permanents de rotation donné quelquefois aux axes principaux d'inertie.

(*) Dans le cas parliculier des ellipsoïdes d'inertie, qui doivent satisfaire comme nous l'ayons fait observer (§ i 1 5) à certaines conditions d'inégalité entre les grandeurs de leurs axes, MM. Hess, deSparre et Mannheim ont démontré que Therpolbodie devait être formée d'une série de boucles, sans points d'inflexion ni rebroussements, comprises entre deux circonférences concentriques.

■ "VTIV'^ — T ^ «^ ■■■

1^3. Bxamen de quelquesi ca^ motus simples. —

L'étude complète que nous venons de faire du mouvement d'un solide lorsque toutes les forces extérieures sont nulles, permet de traiter encore le cas où ces forces se ramènent à une résultante unique passant par le centre de gravité.

Dans ce cas, en effet, le mouvement du centre de gravité est celui d'un point matériel qui serait soumis à l'action de la résultante des forces, et la rotation du corps autour de ce centre de gravité doit s'effectuer d'après la loi de Poinsot, puisque, dans ce mouvement relatif, le moment de la résultante générale des forces extérieures et des forces apparentes par rapport au centre de gravité est constamment égal à zéro et que le travail de cette résultante est également nul (*).

Ce résultat s'applique au cas d'un projectile pesant lancé à la surface de la Terre (en traitant ce mouvement relatif comme un mouvement absolu et en ne tenant compte ni de la résistance de l'air, ni des variations de la pesanteur) . Le centre de gravité doit être animé du mouvement parabolique étudié au paragraphe 76.

S'il s'agit d'un boulet sphérique, l'ellipsoïde central étant évidemment une sphère, l'axe de la rotation autour du centre de gravité conservera une direction invariable et la vitesse de cette rotation sera invariable également.

Si le solide se réduit à une tige homogène À6 assimilable à une simple droite matérielle, le centre de gravité est évidemment situé

au milieu G de AB. Le mou- ^^^ vementdelatigeautourdece

- Q ^^^-^"^ g centre de gravité sera une ro-

tation uniforme s'efifectuant dans un plan de direction fixe, car le plan du maximum des aires est évidemment celui de deux positions consécutives A B,A'B' de la tige, et l'on sait que ce plan a une direction invariable. -T — — — — ■ - ■

(*) Les forces dMûertie d'entraînement ne sont pas nulles, mais elles ont une résultante unique appliquée au centre de gravité, ce qui revient au noèiDe en définitive (§142).

De plus, la somme des aires élémentaires décrites par les points de AB autour du point G, multipliées respectivement par les masses de ces points,. étant égale à :

; I i ■ ■■tir

en désignant par da l'angle dont tourne la droite AB pendant l'élément de temps considéré, cette somme ne pourra croître proportionnellement au temps, comme Texige le théorème des aires, que si

-77 = constante, dt

«'est-à-dire si la vitesse de rotation est uniforme.

D'ailleurs, en appliquant à ce cas particulier la théorie générale, on reconnaît que Tellipsolde central se réduit à un cylindre de révolution autour de AB : ^ ^^^ -r

la rotation de la tige / \ '

se ramène donc à la rotation de ce cylindre autour d*un de ses rayons Gjji, et comme ce rayon est perpendiculaire au plan tangent au cylindre en [x, cet axe de rotation est permanent. De plus, la grandeur de la rotation, qui est propor donnelle à G[a, doit être constante.

1 84. Percusslonfi appliquées à un solide. — Supposons qu'une percussion P soit appliquée à un point m d'un

solide libre.

Ecrivons l'équation géométrique du mouvement du centre de gravité

en l'appliquant à un intervalle de temps infiniment petit comprenant l'instant pendant lequel la percussion agit, nous aurons la relation

M(V-Vo) = S2;Fd^4-P,

COL'HS DE MÉCANIQUE MTIONHELLE

eant §2^*^' ^"' ***■ infiniment petit à cûté do P,

du centre de gravité subit donc une modification est la même que si ce point affecté d'une masse M i une percussion égale à P (S TO).

;tuenemeat les équations d'Euler rapportées h des dons fixes passant par le centre de gravité et colDciant considéré avec les axes principaux d'inertie, en désignant par N,, N,, N, les moments de la peratifs & ces axes :

Adp = [B— C) qrdt + V^dl + N„ Bdq = (C— A)rpd( + \.\dl + N„

Cd)-=1A-B)p3d(+ L'.dl + N,.

remiers termes des seconds membres étant infinipar conséquent négligeables à côté de N, ,N„ N„ le» bres se réduisent k ces dernières quantités; les p, ç' et r qui figurent dans les premiers membres re dès lors des valeurs finies, détenninées par les-

lantitéa sont les projections sur les trois axes da iométrique AU que subit la rotation Q par l'effet de

9 de reconnaître que la direction de cette rotation AU est conjuguée dans l'ellipsoïde central du plan 3 la percussion P relatif au centre de cet ellipsoïde, e plan de ce moment étant perpendiculaire à la

direction de son ase

^ JL — J N, "" H, ~ N.

a pour équation

Or, l'axe de ta rotation \Q est

— = JL =J- Ap Al} \r

DU, d'après les valeurs de A/>, A17, Ar :

et le plan diamétral conjugué de cette directi l'ellipsoïde est bien le plan (4).

La grandeur de la rotation Au est d'ailleurs

VNl , Ni

Dans le cas où la percussion serait appliqu repos, elle aurait évidemment pour effet de de vement initial défini par une vitesse Vducentred

MV = P et par une rotation AU autour de ce centre de g

3' CAS. SOLIDE QUI n'eST PAS LI

iS5. Mouvement d'un «ollde dom sont flxea. — Nous nous bornerons à traiter aimplea du mouvement d'un solide qui n'est pas

Supposons d'abord deux points fixes a et b. entière doit nécesswrement rester immobile et

solide ne peut être par conséquent qu'une rotation autour de cette droite. Nous connaîtrons ce mouvement si nous déterminons la vitesse a> avec laquelle cette rotation s'effectue. Pour cela, prenons les équations générales du mouvement en

choisissant pour axes trois j droites rectangulaires dont

Tune, OZ par exemple, coïncide avec ah.

Les six équations du mouvement renfermeront, outre les forces connues, les deux réactions inconnues qui maintiennent a et 6 au repos et qu'on stjppose appliquées précisément en ces points. Mais, parmi ces six équations, il y en a une qui ne contiendra pas ces réactions, c'est l'équation des moments relative à OZ.

Cette équation exprime que la somme des moments par rapport à l'axe OZ des forces extérieures et des forces d'inertie est égale à zéro.

Or, dans le mouvement de rotation, qui peut seul se produire, la force d'inertie d'un point m de masse m se composera :

1® De la force d'inertie mtù^r normale à sa trajectoire et centrifuge, dirigée par conséquent suivant la perpendiculaire nm abaissée de m sur l'axe OZ ;

2® De la force d'inertie tangentielle mr -tt dirigée suivant la

tangente m^ et avec son signe dans le sens m/' des angles négatifs.

Le moment de la force d'inertie relatif à OZ est égal à la somme des moments de ses composantes, c'est-à-dire au moment

de ^^-jT» puisque celui de wwV est nul. La somme de ces

moments se réduit donc pour l'ensemble du solide à :

mr-^xr ou -y.,M) et l'équation que nous nous proposions d'établir s'écrira :

en désignant par L^ la somme des moments des forces connues relativement à Taxe, et par I le jnoment d'inertie du solide par rapport à cet axe.

Cette équation fait connaître la rotation (o.

Les autres équations du mouvement permettent de déterminer, au moins dans une certaine mesure, les réactions inconnues.

En effet, les six équations du mouvement s'obtiennent comme on sait en écrivant :

1® Que la somme des projections des forces, y compris la force d'inertie, est nulle sur chacun des axes ;

2** Que la somme des moments de ces forces est nulle également par rapport à ces mêmes axes.

Actuellement le mouvement du solide étant connu, les forces d'inertie peuvent être calculées ; les équations en question déterminent donc complètement :

1** La somme des projections sur les trois axes des deux réactions inconnues R et R', ou, ce qui revient au même, la résultante de translation, c'est-à-dire la somme géométrique de ces deux forces ;

2^* La somme des moments de ces mêmes forces relativement aux trois axes, ou, ce qui revient au même, la somme géomé-

(*) Car si — est positif, le moment en question doit être évidemment négatif, d'après les conventions admises pour les signes des moments.

trique des moments de ces deux réactions relativement à Torigine. Il est à remarquer que les moments de ces deux réactions étant nuls par rapport à OZ, l'équation des moments relative à cet axe (c'est-à-dire celle qui a servi à la détermination de m) n'a pins d'utilité dans le calcul actuel.

Les deux autres équations suffisent pour déterminer la somme des moments de ces deux réactions relativement à. l'origine, au moyen de ses deux projections sur OX et OY (puisque les deui réactions rencontrant OZ, les axes de leurs moments sont situés dans le plan XOY, ainsi que leur somme].

Supposons que pour simpliUer on transporte l'origine, jusqu'à présent arbitrairement choisie, sur OZ, au point d'application a de l'une des deux réactions ; le moment de cette réaction devenant nul, les deux équations précédentes fourniront le moment de, l'autre réaction R' relativement au point a. L'axe fl[i de ce moment étant d'ailleurs situé dans le plan XOY, ainsi qu'on l'a fait observer plus haut, si l'on mène par aï le plan PaZ perpendiculaire à ap,, on voit que la réaction R' doit être située dans ce plan et l'on connaît de plus l'aire du triangle abr' que son extrémité r' forme avec ab. Le point / ne pourra donc que glisser sur la parallèle r'K à aZ, mais il pourra être choisi à vohAité sur cette droite. Sa position une fois fixée, si l'on mène par b la grandeur géométrique 6S égale à la somme R + H- déterminée précédemment, r'S représentera la seconde réaction R.

Il subsiste, on le voit, une indétermination dans les valeurs des réactions R et R', c'est-à-dire qu'un solide théorique étant soumis à un système de forces données, il existe différents systèmes de réactions R et R' qui, appliquées aux points a et b, sont capables de maintenir ces points au repos.

Dans les applications pratiques, il est nécessaire de faire intervenir des considérations d'un autre ordre pour achever la détermination des réactions. En effet, ces forces se développent en réalité par l'effet de déformations très petites du solide : ces déformations aux points a et b, et par suite lesréactions qu'elles provoquent, dépendent, on le conçoit, de la nature des forces extérieures agissant sur le solide et aussi de sa constitntion intime, autrement dit de son élasticité, qui le rendra aux points ffl et i plus ou moins déformabla. Ces considérations sur lesquelles nous ne pouvons insister ici, ae rattachent plus spécialement au Cours de Mécanique appliquée : on les retrouvera constamment dans l'étude de la Résistance des matériaux.

ISG. Calcul des réaetlona. — Nous compléterons l'étude théorique que nous venons de faire en établissant les équations auxquelles les réactions R et R' doivent satisfaire.

Le mouvement étant une rotation tii autour de OZ, la force d'inertie d'un point se compose comme on l'a vu ;

1° De la force centrifuge miit*r dirigée suivant le prolongement du rayon mn;

2' Delaforce d'inertie tangentiellettw--T- dirigée {avec son signe)

rfr

«n sens inverse delà direction des angles positifs.

Si l'on suppose que les angles positifs tournent de OY vers OX, les composantes de la force d'inertie d'un point suivant les trois axes seront :

-my -

et ses moments relatifs aux mêmes axes :

Àa. = Z|y — YiZ = — mti^yz^mxz — Xy = X,z — ZiX = + mco*xz — myz — X, = Y,x — Xji/ = + m (a;« + y*) •^.

Désignant comme précédemment par S2X, S 2 Y, §2^ les projections sur les axes de la résultante de translation des forces extérieures connues appliquées au solide et par L,, L„ L, la somme des moments de ces forces relativement aux axes, les six équations du mouvement seront :

S5;x + Ra,+R'a, + S^.=o S1y + r, + r', + Sy,==o

S^Z + R. +R', + SZ, = 0,

c'est-à-dire

(1) et:

U + OR/ox R + ^ïî^ox R' + S'A:, = 0 L, + OTLoz R + ^n^oz R' + s ^' = ^'

Lx + OKox ï^ + ^l"^ox R'— «-" S ^'ly- — ^S ^^' = ^

Cette dernière relation est celle dont nous nous sommes

c'est-à-dire :

servis pour déterminer le mouvement : elle ne renferme pas les réactions : on ne dispose donc en réalité que de cinq équations pour déterminer les six inconnues R„ R^, R„ R'^,, R'y, R',.

Si Ton transporte l'origine en a et si Ton désigne par l la distance ab, les cinq équations utiles se réduisent k :

Rr + R'x = Hy + R', =

Rx + R', = ZR'x =

Les deux dernières donnent immédiatement R'^ et R'^, c est-àdire la projection sur le plan XOY de R'; les deux premières, où Ton porte à la place de R',, et R'^ les valeurs trouvées, fournissent à leur tour R^ et R^, c'est-à dire la projection de R sur XOY, et Ton voit, conformément aux remarques géométriques du paragraphe précédent, que ces deux projections sont complètement déterminées.

Les extrémités r et r' de R et R' ne peu- ^VsLR

vent donc que glisser sur deux parallèles

à ab, et d'ailleurs elles ne sont assujetties r/

qu'à la condition

(|ui oblige seulement leurs projections r, et rj sur Taxe à détacher sur cet axe un segment r^i de longueur donnée.

18*7. Bxamen d'un cas particulier. — Si Ton suppose pour simplifier que le plan ZOX, jusqu'ici arbitraire, soit mené

mtre de gravité du solide, en déelgoant comme ci- Etr Ç, V), C les coordonnés de ce point, les valeurs des de projections des forces d'iDertie sur les trois axes se , ^my étant nul , à :

)lu6, l'axe de rotation est supposé axe principal en l'un 'ints, il en résulte qu'on doit pouvoir, en relevant d'une :ouvenable h le plan XOY, rendre nulles les quantités nyî. On doit donc pouvoir faire par la substitution kz:

^mx(z-h) = %my{,-h) = 0,

^mxz- hME=Swyz — hMn = 0;

1, puisque i] = 0, ^myz doit être nul.

oduisant cette hypothèse dans la valeur des moments

3 d'inertie, ces moments se réduisent aux expressions

remarquer que dans ce cas les forces d'inertie peuvent tes à une résultante unique, car la condition

1 paragraphe 174 se réduit, k cause de §Z, = 0, à

et elle se trouve satisfaite par les valeurs précédentes.

1 SS. BfTet d*une pereiuMlon appliquée ik un »olli

mobile autour d*un axe. — Supposons qu'un solide mob autour d'un axe et primitivement au repos soit soumis à l'acti d'une percussion, c'est-à-dire (S TO) d'une force agissant penda un intervalle de temps infiniment petit et dont l'impulsion éléme taire Fdt ait une valeur finie P.

Soient P,, P,, P, les projections de la percussion sur les tn axes, N„ N,, N, ses moments relatifs aux trois marnes axf L'équation

appliquée à l'intervalle de temps infiniment petit pendant leqi agit la percussion, donne ;

puisque, u étant primitivement nul, sa valeur est égale & s accroissement. On voit donc que la percussion détermine production brusque d'un mouvement de rotation dont nous savo calculer la vitesse.

Quant aux réactions, elles s'obtiennent par les équations paragraphe 180 que l'on multiplie par dt, et où l'on rempla SSXdt, SSYdt, SIXdf, par P„ P„ P.; L,d(, L,dt, L.dt par i N„ N„ du par u et wd( par zéro. Si l'on suppose d'ailleurs comi précédemment le plan ZOX mené par le centre de gravitéj §1»

^îryr.

étant nul, il reste :

P. + ïixdt + R'«d« = 0,

P„ +R„df + R',d« + coMÇ = 0,

P, + R,df 4- R',df = 0,

^x + OïiQj^Kdt + Cr^.Q^fi'dt'^taSmxz

N„ + OHoY Rdt + ortoY R'di — wSmyz

<i) étant actuellement connu, ces équations ne renferment plus que R et R' d'inconnues et elles montrent que les impulsions élémentaires Rdt et Kdt doivent avoir une valeur finie. En d'autres termes l'effet de la percussion sera de produire deux percusHonsréactions aux points fixes a et 6. Ces percussions Rdt, R'df se trouvent d'ailleurs déterminées d'une façon incomplète comme Vêtaient les réactions dans le cas des forces finies.

1S9. Conditions pour que les percuMBiona-réactions «oient nulles. — Cherchons s'il est possible de déterminer la percussion P de manière à ce que les percussions-réactions soient nulles.

Les trois premières des équations (6) font voir d'abord que, s'il en

est ainsi, P, et P, doivent être nuls. La percussion P doit donc être parallèle à l'axe des y.

D'ailleurs l'origiue y des coordonnées, dont

la position sur l'axe

OZ était jusqu'à présent quelconque, peut être fixée sur cet axe de manière à ce que le plan XOY renfenue P. Alors les moments N, et N^ étant nuls, les deux dernières équations (6) exigent que ^mxz^ S^^2/^ soient nuls, c'est-à-dire que l'axe OZ soit axe principal au point 0.

Enfin si l'on désigne par d la distance OD de P à sa parallèle

OY, réquation (5) donnera :

d'où à cause de P^ = P = M^w (2* équation 6)

MÇ

Actuellement nous avons effectivement exprimé que les réactions R et R' sont nulles.

En effet, les trois premières conditions que nous leur avons imposées exigeant que leur somme géométrique soit nulle, elles ne pourraient former qu'un couple ; or le plan de ce couple passant par OZ, son axe serait situé dans le plan XOY, et les sommes

DTlQ^Kdt + DïlQ^K'dty

qui doivent être égales aux projections de cet axe sur OX et OY ne peuvent être simultanément nulles que si cet axe est égal à zéro, c'est-à-dire si R = R' = 0.

Ainsi, en résumé, la condition demandée sera satisfaite toutes les fois que l'axe fixe OZ étant axe principal en l'un de ses points G, la percussion sera située dans le plan perpendiculaire à cet axe mené par le point 0, que de plus elle sera perpendiculaire au plan de l'axe OZ et du centre de gravité G, et qu'enfin sa distance 01 on dk 0 sera liée à la distance ^ du centre de gravité à l'axe par la relation

. I ft«-hg'it« . ,

ou k désigne le rayon de giration du solide autour de la parallèle à Taxe menée par le centre de gravité.

int d'application I ainsi déterminé est dit centre de perlu solide relatif à l'aze OZ.

. Applications. — 1° Pendule composé. — On

pendule composé un solide pesant quelconque pouvant sous l'action de la pesanteur autour d'un axe horizontal. Qs pour plan du tableau un plan perpendiculaire h l'axe ion OX et passant par le centre de gravité G du solide. Soient OY, OZ deux aies, l'un horizontal, l'autre vertical, situés dans ce plan el complétant avec OX le système des axes coordonnés.

Appliquant au solide considéré la théorie précédente, on a, pour déterminer sa mtation, la relation :

dl "

où L, représente le moment is extérieures connues par rapport à OX et I le moment

du solide relatifs ce même axe.

désigne par a la distance OG et par 0 l'angle de OG avec aie OZ, la vitesse positive u faisant tourner OZ vers OY,

lart, si M est la masse du solide, L. = — HgasmB.

équation identique à celle d'un pendule simple qui aurait TT- pour longueur.

Le solide qui constitue le pendule composé prendra donc un mouvement oscillatoire identique avec celui du pendule simple que nous venons de définir et qu'on appelle pour cette raison pendule synchrone.

Soit k le rayon de giration du solide autour d'un axe GL parallèle à OX et passant par G, on a :

I = M(fe*+a');

la longueur du pendule simple synchrone pourra donc s'écrire :

et la durée de son oscillation sera :

Portons sur le prolongement de OG une longueur GI égale à

— : tous les points du solide situés sur la parallèle IV à l'axe de

suspension menée par I oscilleront exactement comme des pendules simples. Cette droite est nommée pour ce motif Vaxe d'oscillation du pendule. Les points situés sur 01 en degà de I du côté du point 0 auront un mouvement retardé ; pour les points situés au delà de I le mouvement sera accéléré au contraire.

Vaxe d'oscillation et Vaxe de suspension jouissent de la propriété remarquable d'être réciproques* En effet, si l'on rem-

&* A* place a par — j — se change réciproquement en a.

Si l'on déplace l'axe de suspension sur le cylindre de révolu-

,xe GL ps&aant par OX, l'axe d'oscillatioD se déplace sar le 9 de môme axe passant par IV.

= k, les deux cylindres coïncident et les deux axes lés sont alors sTmétriques par rapport à G.

on peut se proposer de placer l'axe de suspension de ) à ce que l'oscillation du pendule composé ait une durée m. n faudra pour cela rendre minimum la somme

1 qu'on obtiendra, puisque le produit des deux termes est t, en faisant

a = — I c'est-à-dire a=k.

irée minimum sera :

3ut observer d'ailleurs que le point I est le centre de perdu solide relatif à l'axe de suspension OX, en admettant s que l'axe OX soit au point 0 un axe principal d'inertie.

I* Levier. — On désigne théoriquement sous le Dom de levier un so-

quilibre du levier s'exprimera ant que la somme des moments relatifs à l'axe des difléforces extérieures connues agissant sur lui, est nulle.

Ces forces étant supposées situées dans le plan mâme du levier, cette condition d'équilibre s'écrira par une équation de la forme

§FxÔp = 0,

le signe ^ s'appliquant à toutes les forces extérieures connues qui agissent sur le solide, et Jes droites Op, Op',Op^ étant les perpendiculaires abaissées du point 0 sur les directions de ces forces.

Si cette condition est satisfaite et si Ton suppose le levier primitivement au repos, il restera au repos; en effet, le seul mouvement qu'il pourrait prendre serait une rotation autour de Taxe 0 et, d'après les équations générales, l'accélération de cette rotation devrait être nulle.

La réaction appliquée en 0 sera d'ailleurs égale et de sens contraire à la résultante de translation des forces F.

Si, la condition d'équilibre des forces F étant. toujours satisfaite, le levier avait une vitesse de rotation initiale o), cette vitesse devrait rester constante, c'est-à-dire que le levier conserverait une rotation uniforme autour de son axe. Si l'on suppose d'ailleurs les forces F, F, F"... appliquées aux points p,p'p''... il est facile de voir que la somme de leurs travaux élémentaires est égale à

c'est-à-dire à zéro, puisque SFOp = 0.

Considérons en particulier le cas ordinaire d'un levier sensiblement rectiligne au-

quel sont appliquées deux forces parallèles ( P et R que nous pouvons supposer verticales, et désignons par l et t les distances respectives des points d'application de ces forces à Taxe; l'équilibre aura lieu si

c'est-à-dire si les iras de levier l et l' des deux forces P et R sont en raison ioverse des grandeurs de ces forces.

Si la force P dépasse légèrement la valeur qui lui est assignée par la relation précédente, la résistance R se trouvera vaincue et le levier prendra un mouvement de rotation dans le sens de la flèche.

On voit que pour vaincre la résistance R il faudra appliquer au levier une puissance P d'autant plus faible que le bras de levier l sera plus grand. Ainsi, on pourra toujours déterminer le bras de levier / do manière à ce qu'une puissance donnée P paisse vaincre une résistance donnée R; mais on voit aussi que dans le mouvement du levier les chemins parcourus par les points d'application de P et A sont proportionnels à. / et à T : on peut doue dire que :

Dans l'équilibre de deux forces appliquées au levier, les déplacements des points d' applicatiori des deux forces sont en raison inverse de leurs grandeurs :

Résultat qu'on exprime quelquefois en disant que ce qu'on gagne en force on le perd en vitesse.

I 192. Mouvement d'an solide de révolution an-

tour d*un point -fixe situé sur varinbles d'Buler. — Pour étudier le

son axe de flsnre i

mouvement d'un solide de révolution autour d'un point fixe situé sur son axe, nous le rapporterons à trois axes fixes rectangulaires 0 (X, Y, Z) menés par le point fixe, et nous définirons à chaque inatani sa situation par rapport à ces axes au moyeu des trois angles suivants :

0, angle que fait avec OZ l'axe de figure OZ, du solide;

t|^, angle que fait avec OX la trace OA sur le plan XOY d'un plan X, 0Y„ perpendiculaire à OZ^, où OX^ et OY^ sont deux directions rectangulaires invariablement liées au solide ;

9, angle que fait dans ce dernier plan la droite OX^ avec OÂ..

Ces trois variables introduites par Euler dans Tétude du mouvement d'un solide ont reçu le nom de variables d' Euler. La droite OA s'appelle ligne des nœuds; le plan X^OYj s'appelle le plan équatorial ou Véquateur du solide. Nous aurons encore à considérer dans la suite la perpendiculaire OB à OA, menée dans le plan équatorial f).

Ces dénominations, ainsi que celles de précession et de nuta^ tionj que nous emploierons dans la suite pour désigner les

vitesses angulaires jT ®t 37 s® rattachent aux applications à la Mécanique céleste du problème qui nous occupe.

Il est visible que lorsque les trois angles 0, (|; et 9 sont connus, la position du solide relativement aux axes fixes est déterminée. Le problème du mouvement du solide sera donc entièrement résolu si l'on arrive à calculer en fonction du temps les trois angles d'Euler.

Pour y parvenir, nous chercherons à introduire ces nouvelles variables dans les équations d'Euler que nous pouvons appliquer au mouvement actuel, bien que le point 0 ne soit pas le centre de gravité du solide.

En nous reportant en effet aux raisonnements du § ISl, nous reconnaîtrons sans peine que les propriétés du centre de gravité, où nous avions transporté l'origine, ne jouant aucun rôle dans la démonstration, les équations qui s'y trouvent éta-

(•) On peut observer que les droites 0 (X, Y, Z), 0 (Xj, Y„ Z,), 0 (A, B, Z,) forment trois trièdres trirectangles dont le premier est fixe dans Tespace, le second fixe par rapport au solide, tandis que le troisième se déplace à la fois dans Tespace et relativement au solide : les trois droites OB, OZ et 0Z| sont dans un même plan perpendiculaire à OA.

Dans tous les calculs qui suivent, les angles sont comptés positivement dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre.

blies sont applicables en général aux axes principaux d*un point quelconque, jo, q^ r représentant les projections de la rotation ù du solide prises d'une manière continue suivant ces axes. Considérons en particulier les trois axes OÂ, OB, OZ^ de

la figure précéfZj .-^f dente : le solide

^ ^ étant de révolu-

tion autour de OZj , ce seront trois axes principaux du point 0, et en désignant par À, A et G les moments dmertie relatifs à ces axes, et par La, Lb, Lz, les sommes des moments des forces extérieures par rapport & ces mêmes axes, on aura par les relations d*Euler

(j.dq ^— --"^

A^ + (C-A)<?r A^-(C-.A)pr

La Lb

Dans ces relations, ^/>, ^, V sont les différentielles de ù projeté d'une manière continue sur les axes OA, OB et OZ^, entraînés avec le solide. Ces axes occuperont ainsi après le déplacement élémentaire des positions telles que OA/, OB/ OZ/. La nouvelle ligne des nœuds OA' et sa perpendiculaire OB' dans le plan équatorial s'obtiendront évidemment en faisant tourner B'^OA'^ de l'angle + ^? ^^^s son plan.

Si maintenant, au lieu de projeter Q d'une manière continue sur OA, OB et OZ,, entraînés en 0A\, OB',,OZ\ dans le mouvement du solide, on projette constamment cette même rotation

ÉTUDE DES FORCES — STATIQUE ET DYNAMIQUE 39i

sur OA, ligne des nœuds, Ofi perpendiculaire à OA dans le plan équatorial et OZ, , en désignant par dp^ dçj dr les différentielles dep, 9,r calculées dans cette nouvelle hypothèse, ces différentielles s'exprimeront très simplement en fonction des précédentes. En effet, on aura d'abord identiquement

et la résultante de ^^-f"^ porté sur OA', et de q + ^ porté sur 0B\ devra être égale à celle de p+dp et de g-}- dq dirigés respectivement suivant OA' et OB'* En projetant ces quatre quantités sur Ok\ d*abord et sur OB'^ ensuite, on trouve :

p + dp = (p -f dp) ces d^ + (9 + dq) sin dff d'où "bp^dp + gdo, q + 'èq= {q+ dq) C08df> — (p -t-dp) sind? d*où ()g=dg — pdo.

Ces valeurs substituées dans les équations ( 1] donnent

A^ + (C«A)9r + A(ïl? = L^ (2)

Ag-(C-A)pr-Ap|î = LB

Mais d'autre part, p, 9, r et -^) ^9 -^ sont les composantes

respectives de û suivant OA, OB,OZ| et OZ|OA, OZ^. On a donc en projetant successivement sur OA,. OB, OZ^

dO (3) ç = sine^

Ces relations ayant lieu d'une manière permanente à la condition d'opérer à chaque instant la décomposition de û, suivant les

COURS DE MÉCANIQUE RATIONNELLE le la même TaçoD, donnent par leur différentiatioa :

dp iPi

i=é(ii-»»

•lî)'

ODS (2) où l'on porte ces valeurs deviennent après

+ ,C-*).,a..os.(î|)'+C.i..yfj = L.,

ions renferment la solution de la question proposée : inent le mouvement du solide à la condition toutefois évaluer à chaque instant en fonction de quantités les variables i|f, 0 et f les sommes des moments des ieures relativement à la ligne des noeuds OA, à la à l'axe de figure OZ,.

ns, à ce sujet, que la réaction inconnue qui maintient mmobile n'entre pas dans les seconds membres de s, puisque les moments de cette réaction par rapport écédemment désignés sont nuls.

'nm d*ane force unique applltinée en un point 3 figure et d'une vitesse Initiale très grand» cet axe. — Supposons qu'en dehors de la réaction soit soumis qu'à une force unique F appliquée en e l'axe OZ,, et dont nous désignerons par X, Y, Z les I suivant OA, OB, 0Z„ soit l la distanceOs, on aura:

La = - lY,

Lb = + IX, Li, = 0.

La dernière des équations (5) s*intègre alors sans difficulté et donne, en désignant par n une constante,

(^) ^ + cose^=n.

Si la rotation -^ du solide au-

tour de son axe de figure reçoit

au début une valeur très grande

et qu'au contraire — soit ini-

tialement nul, le terme cos 6

dû

conservera, pendant un certain temps du moins, une valeur négligeable à côté de -jj? et Ton aura approximativement

dcp

La vitesse de rotation autour de OZ, restera donc sensiblement constante, c'est-à-dire très grande, et les deux premières équations (5) pourront se simplifier en conséquence par la suppression

des termes qui ne renferment pas -^ et par la substitution de la

constante n à cette vitesse ; elles se réduiront ainsi à :

Cn sin 0

iY,

Cnjj:=-LB = -2X.

Supposons d'abord X=0, c'est-à-dire la force F située dans le plan Z^ OB ; Téquation (9) donne alors

iJ=»

0 = constante.

Ainsi l'axe de figure doit décrire un cône de révolution autour de OZ.

D'autre part, l'équation (8) qui donne :

d^ — JY dl Cn sine'

fait voir que la rotation de OZ, autour de OZ est d'autant plus

lente que la rotation n, ou ^i du solide autour de OZ, est pins

rapide.

Supposons en second lieu Y = 0, c'est-A-dire la force F sitaée dans le plan Z,OÂ, l'équation (8) donne dans ce cas :

-=| = 0 ou * = constante.

L'axe OZ, se meut dans le plan ZOZ, , perpendiculaire à OÂ, et sa vitesse de rotation autour du point 0 dans ce plan est donnée par l'équation (9}

Elle est d'autant plus petite que la vitesse de rotation n autonr de OZ est plus rapide.

On remarquera que si Y est négatif dans le premier cas,

-T^ aura le même signe que n, c est-à-dire que les deux rotaùont

autour de OZ, et autour de OZ s'effectueront dans le mèsae sens.

Dans le second cas, si X est négatif, -tt et n auront le même

signe, c'est-à-dire que si la rotation autour de OZ, tend à amener OB sur OA par exemple, celle autour de OA tendra à amener OZ, surOZ.

* 1 94k. Application au cas de la pesanteur. — Examinons actuellement le cas où le solide de révolution, animé toujours d'une très grande vitesse initiale autour de son axe, est abandonné à lui-même sous la seule action de la pesanteur (*).

Cette action peut être représentée, on le sait, par une force unique P appliquée au centre de gravité G, qui est évidemment un point de Taxe.

On se trouve donc dans les conditions du paragraphe précédent, et Ton a, en désignant par l la distance OG et supposant Taxe OZ vertical :

X = 0 LA = P/8ine,

Y = — Psine Lb=0, Z = — Pcose Lz, = 0.

En appliquant à ce mouvement les résultats approchés auxquels nous sommes parvenus, on reconnaît que l'angle 0 restant sensiblement constant, l'axe du solide doit décrire un cône de révolution autour de OZ.

Pour étudier le phénomène avec une approximation un peu plus grande, nous chercherons à déterminer l'écart variable, mais toujours très faible, entre 0 et sa valeur initiale 0^. Nous poserons

0 = Ôo + e,

(*) On suppoQe, comme dans le paragraphe précédent, les valeurs initiales

de-^» -. égales à zéro.

ai ai

COUaS DE MÉCANIQUE RATIONNELLE

itroduirons cette nouvelle variable dans les équations

iinent. Mais au lieu de nous servir des équations (5) qui

leuxJème ordre, nous obtiendrons directement, par l'ap-

des théorèmes généraux, deux intégrales premières de

Jons.

it qu'en désignant par V le potentiel, lorsque celte

îziste, l'équation des forces vives peut s'écrire

§mu» + 2 V = constonte.

le cas actuel, si l'on évalue ]§mv' au moyen des comde la rotation relativement à des fixes fixes coïncidant t considéré avec les axes 0(Â,B,Zi), on a (S 163} :

SmD' = A(p» + q») + Cr».

art, le potentiel est, en désignant par i; la hauteur do gravité, au-dessus du plan horizontal XOY :

Pi; = Plcosfl.

inc la relation

A {p* + q') + Cr* + 2 PJ coafl = coDstaDte,

A (p* + q*) + 8PI cos fl = constaDte,

'après la dernière des équations (2) du paragraphe 19S, itant dans le cas actuel.

lant à p et y leurs valeurs en 6 et (j- dans l'équation e, on trouve

i H |5 y + sJQ» e (^)*] + 2 PJ cos e = constante,

isant ■j- = \,et remarquant que les viileurs initiales de

db dfb

3T» rn- sont nulles :

at at

(10) r^yV + sin» e ^^y = 2 X (cose, — cos 6).

Telle est Tune des deux intégrales que nous nous proposions d'établir.

Pour en obtenir une seconde, nous aurons recours au théorème des moments des quantités de mouvement.

La force P étant constamment parallèle à Taxe OZ, son moment relatif à cet axe est nul; donc, la somme des moments des quantités de mouvement du solide relatifs à OZ est une constante.

Or cette somme est la projection sur OZ du moment résultant des quantités de mouvement relatif au point 0, et ce moment a pour composantes suivant trois axes fixes coïncidant avec 0(A,B,Z,)(S463):

Kp kq Cr.

En projetant ces dernières composantes sur OZ, nous trouverons donc la somme cherchée, qui est égale à :

kq sinO + Cr cosO.

Remplaçons r par sa valeur égale ^ -77 + cos ^ -77 , c est-àdire à n, et ? par sin 8-—, et l'équation des moments s'écrira :

d^ A sia^ 0 -TT + Cn cos 0 = constante, ai

en posant — = ja, et remarquant que \jr:) = 0>

(1 1) sin* ô ^ = fJ^ (cos 9o — cos 6).

s COURS DE HËCANIQUE RATIONNELLE

'>e3 deux équations (10) et (If) forment le système d'intégrales uières que nous substitueroQS, pour l'étude qui nous occupe, deux premières équations (5).

l'éliminatloQ de i^ entre les équations (10) et (11) est facile; trouve :

**"'* (iï) ~*^ **"*' (cosfl,-cos9) — ;*» (cose,— coe«)'C!.

lemplaçons daus cette équation 6 par i^+t, en rédnisaDt rozimatirement sin*0 à sin*0, et (cos6, — cosO) à e sinA,; il it :

variables se séparent sans difficulté et l'équation

sn obtient en posant 2 X sin 6, = n'«, donne par son intétion

' = |(f — COSf')-

ia valeur de t est donc périodique : son maximum est 2 X sine, gAPfsiaS,

) La composition même de celte équation indique bien, coafonnimcnli ue noue avons déjà admis, que 6 ne doit pas s'écarter sensiblemeoides* lur initiale. En effel, la constante fi, d'après sa détermination, dail tirt grande en mâme temps que n : si elle était infinie, on devrait tvoir ureusemeot : cos S = cos S,, d'où 0 = constante.

La nutation -yrou-j- est égale à

^ 8in (1^, c'est-à-dire — ^ — 2. s\n ^t.

Sa valeur moyenne est zéro.

La précession -^ peut être obtenue par la relation (11) qui donne

(15) £i=:fi!-I!?.fl cosan

^ ' d/ sine, Cn^' cos (ii;.

Cette expression est périodique comme les précédentes et sa

PI valeur moyenne j^ est bien égale à celle que nous donnerait

l'application de la formule approchée

dj» — ZY

dt ~~ Cn sin 9

du paragraphe précédent.

La valeur commune des périodes de la nutation et de la précession est

On voit que cette période est d'autant plus petite que la rotadon autour de Taxe de figure est plus rapide.

* 1 95. Vérlflcation expérimentale. — Gyr€HMsope8.

— La vérification expérimentale des résultats que nous venons d'établir peut se faire au moyen d'appareils auxquels on donne le nom général de gyroscopes. Ces appareils consistent essentiellement en un solide de révolution massif (ayant ordinairement la forme d'un tore) dont l'axe est porté par une chape, mobile elle-même autour d'un point fixe situé sur le prolongement de Taxe du tore.

Dans la toupie gyroscopique par exemple, Taxe du tore tourne librement dans deux tourillons e ete' qui appartiennent à un anneau

circulaire EE\ Cet anneau porte une partie saillante a dans le prolongement de ee\ et cette partie saillante peut tourner

librement dans une crapaudine fixe 0, de manière à permettre à Taxe du tore de s'incliner plus ou moins sur la verticale et de tourner autour d'elle. Dans ces conditions, si Ton imprime au tore massif T un mouvement de rotation très rapide, Tappareil réalise sensiblement les conditions du paragraphe précédent (*), et les effets de la nutation étant peu sensibles à la vue, Taxe du tore semble décrire un cône de révolution autour de la verticale.

On vérifie, de plus, que si la rotation du tore s'effectue dans un certain sens autour de Taxe e'e^ la rotation de Taxe ee s'effectue dans le même sens autour de la verticale. Dans la balance gyroscopique^ l'anneau circulaire EE, qui

soutient le tore ^ massif, comme

dans Tappareil précédent, porte dans le prolongement de la ligne des tourillons ee' une tige a a' mobile autour du point 0 et reliée en ce point à un support fixe par une suspension à la Cardan qui lui permet de s'orienter dans toutes les directions pos-

(*) Dans ces vérifications expérimentales on ne tient pas compte de ce que certaines parties de Tappareil, Panneau E par exemple, quoique mobÛes avec le tore, ne sont pas animées de son mouvement de rotation.

sibles. Un contrepoids P, qu'on peut déplacer le long de la tige aa\ permet de faire varier la position du centre de gravité du système mobile sur son axe. On arrive ainsi à changer à volonté le signe du moment VI sin 6, et on vérifie que le sens de la précession se renverse à chacun de ces changements de signe.

• lOG. Influence de la rotation de la Terre. — En

réalité, le mouvement de rotation d'un solide autour d'un point fixe, tel qu'on peut l'observer à la surface du globe terrestre, n'est qu'un mouvement relatif. En supposant que le mouvement d'entraînement se réduise à une rotation uniforme de la Terre autour de la ligne des pôles PP' et en désignant par to^ la vitesse de cette rotation, on peut chercher à se rendre compte de l'eflFet perturbateur que ce mouvement d'entraînement doit avoir sur les phénomènes observés.

Nous aurons à évaluer pour cela les forces apparentes qu'il faut adjoindre aux forces réelles dans le mouvement relatif considéré.

Remarquons d'abord que la force d'inertie d'entraînement, s'il s'agit d'un solide pesant, a simplement pour effet de substituer à la pesanteur réelle agissant sur chaque point la pesanteur apparente telle que nous l'avons définie (§ i03). Si l'on admet que dans les calculs précédents P, au lieu d'être le poids réel du corps, représente son poids apparent, et que l'axe de coordonnées OZ soit dirigé suivant la verticale apparente, on aura tenu compte par là même de la force d'inertie d'entraînement.

Il ne reste plus alors que les forces centrifuges composées. Pour les évaluer, imaginons que le solide, p mobile autour du point 0 et que nous supposerons d'abord quelconque, soit rapporté à des axes fixes dans le mouvement relatif et coïncidant à V instant considéré avec les axes principaux du point 0. Le système de ces trois axes rectangulaires OX^, OY^, OZ^ est entraîné dans une rotation autour de

PF avec une vitesse angulaire uniforme ci>^.

Soient p, g, r les composantes suivant les axes de la rotatjua relative <■> autour du point 0; p,,7,,r, les composautea suivant ces mêmes directions de la rotation u, autour de PP*.

La vitesse relative d'un point m dont les coordonnées sont a;,, y,, s, par rapport aux axes choisis, a pour projections sur ca axes :

dx.

La force centrifuge composée agissant sur le point m est égale au double produit, changé de signe, de la masse du point par la dérivée de cette vitesse relative entraînée dans le mouvement d'entraînement. Les composantes de la force centrifuge composée sont donc ;