B. ÉTUDE DES DÉFORMATIONS

«221. Déformattons infiniment peitteci antour •d'un point t rotations et déforniations élémentaires t axes de déformation. — Les tensions qui se développent à Tintérieur d'un solide sont dues nécessairement, comme nous l'avons fait observer déjà, à des variations dans les distances respectives des points, c'est-à-dire à une déformation infinité- ^male du solide. Cette déformation obéit, comme les tensions elles-mêmes, à la loi de continuité. Il en résulte entre les dépla- <5ements des points les uns par rapport aux autres des relations très analogues à celles que nous venons d'établir entre les forces que ces déplacements produisent.

Considérons avant la déformation un point m (d?, y, s) île situation déterminée à l'intérieur du solide, et un point n

(a?+A, y+ft, z-f-Z) infiniment voisin du précédent, mais auquel nous attribuerons diflférentes situations autour du point m, en faisant varier les accroissements __ A, A et Z des coordonnées.

^ Imaginons trois axes rectangulaires m (Xj,Yj,Z,) menés par m T parallèlement aux axes coordon-

nés fixes, et mobiles avec le point m : les coordonnées du point n seront A, A, Z, par rapport à ces axes mobiles.

Soient actuellement u^ v, w les variations subies par les coordonnées du point m au bout du temps infiniment petit pendant lequel la déformation que nous étudions va se produire. Les accroissements analogues pour le point n seront :

du , du , . du ,

et les coordonnées du point n relativement aux axes mobiles deviendront :

dx dy dz

La forme linéaire de ces équations montre d'abord que si l'on considère tous les points tels que n appartenant à une surface du p*"* degré, rapportée aux axes mobiles m (X^, Y,, ZJ, ces points, après la déformation, appartiendront encore à une surface du même degré. Par exemple, une surface plane infiniment petite prise au voisinage de m reste une surface plane, et Ton peut même observer que des surfaces planes parallèles restent parai-* lèles.

On remarquera encore que les variations de h^k,l dépendent de A,A,i, c'est-à-dii'e de la position du point n et de neuf coefR-

f) On doit remarquer que u, v, -w étant supposés du premier ordre, c'està-dire du même ordre que h, h^ {, les différentielles du, du, dw sont du deuxième ordre de petitesse et qu'il en est de même par conséquent des accroissements (h! — /i), (h' — h), (V — /) de h, fe et / que fournissent les équations (1). ' .

du du du dv . . ■»

cients infiniment petits, --, -7-, -r? T"-« V^^ sont des cons-

^ dx dy dz dx

tantes relatives au point m à Tinstant considéré.

A la place de ces coefficients, nous introduirons neuf constantes

infinitésimales nouvelles définies par les relations suivantes :

du dv dw

* dx

-"dT

dw . dv ^'^-dy+dz

du , dw

dv du ' dx dy

dw dv ^^'-dy dz

^ du dw ^^*-dz dx

dv du

Les équations (1), où l'on porte ces nouveaux coeflBcients, deviennent :

h' = /i + (p, z — Ps ^) + («1 h + b^h + b^l),

<!') fe' = ft + (p, h — Pi O + («2 'i + bj Z + 6, /i),

V =zl + (Pi ft — p, h).4- (a3 i +b^h'^b,k},

et sous cette forme elles montrent que le déplacement du point n, relativement au point m, peut être considéré comme la somme de deux déplacements distincts.

Le premier est une rotation, c'est-à-dire un déplacement d'ensemble ne modifiant pas les distances des points entre eux et n'amenant par conséquent aucune variation dans les forces intérieures. Les coefficients jo,,p,,p„ qui représentent les comp<:»santes de cette rotation suivant les axes, sont dits rotations élémentaires : leur effet se traduit par les termes

(2) (P%l — P%h) (Pzh—p^l) (Pi^— Pf/i)

<lans les variations des coordonnées A, A;, l (*).

(*) Il est intéressant de remarquer que si u, v, w, qui sont fonctions de .X, y, z, étaient les dérivées d'une même fonction <p de x, y, z par rapport i ces trois lettres, la rotation serait nécessairement nulle. En effet, on aurait par exemple :

dw dv d*9 d'o __

dy dl ^ dzdy "" dydz ~"

Le second est une déformation définie par les six coefficients ^u^u^sj ^i>*t>*»? 9^^ reçoivent le nom de déformations élémentaires et produisent dans les valeurs de A, k, l les variations

(3) a, fe + b^ Z + 5, /i,

Nous désignerons ces variations par ÎA, 8A:, il, en appliquant la lettre 8, comme nous le ferons généralement dans la suite, à la représentation des variations produites par la déformation dans les grandeurs considérées.

Les modifications que subissent les tensions au point m sont dues uniquement aux déformations élémentaires.

Cherchons à nous rendre compte de la manière dont varie la déformation autour du point m.

Pour cela, considérons la série des surfaces homothétiques du second degré :

(2) ajX« + a^y* + a,2« + 2biy^ + 26, zx + ib^œy = K

rapportées aux axes m (XpY^,Zj). Le paramètre arbitraire K permet de faire passer une de ces surfaces par un point n (A,/c,Z), en attribuant une certaine valeur K^ à ce paramètre. Le plan tangent au point n à la surface (2J ainsi déterminée aura pour équation :

(Oj h + 5, ft + b j I) X + (a, fe + 5i Z + 63 h) y + (a, f + 6, h + 6i fe) ^ = K„, c'est-à-dire, à cause des expressions (3),

(4) (8/i)x+(8ft)y+(8Z)z=Kn.

On voit donc que le déplacement du point n dû à la déforma-

•-• Wiî^TÎVfïïW

tion est perpendiculaire à ce plan tangent et s'effectue conséquemment suivant la normale à la surface (S^).

Quant à la grandeur nn' dé ce déplacement, elle est évidemment égale à :

Or, si Ton abaisse du centre m la perpendiculaire mp sur le plan tangent en n, on a :

mp =

\/{8/i)« + (8fe)* + {80" a«'

d'où :

— > Kn^ ai/i* + qtfe*+q»f' + 2b,fef +2b,Z/t+2b,hfe

Ces relations géométriques permettent de se rendre bien compte de la manière dont la déformation agit sur le solide autour du point m. On voit notamment qu'il existe une symétrie dans les déformations par rapport à trois plans rectangulaires qui sont les plans principaux des surfaces (2). Les axes communs à ces surfaces sont dits axes de déformation au point m.

• atiîd. Dilatation linéaire. — On appelle dilatation linéaire en un point m, suivant une direction mn, le rapport de

l'allongement d'une longueur infinitésimale mn ou r, prise sur cette direction à sa grandeur primitive : 's'il y a eontractimy c'est-à-dire diminution de longueur, la dilatation est négative : c'est, en tous cas, une grandeur infiniment petite.

Il est facile de déduire des résultats précédents la valeur de la dilatation linéaire suivant les différentes directions qu'on peut considérer autour d'un point m.

En effet, si l'on décrit du point m comme centre, dans le plan mpn, l'arc de cercle n'k que l'on peut confondre avec la perpendiculaire abaissée de Tk sur «xn, on a, en désignant par ç les angles égaux knn', nmp, et tenant compte de la valeur de nn' :

—z . — ; K.coso K,

mp '■

et en désignant par a la dilatation linéaire suivant mn :

Représentons par a,|S,Y, comme au chapitre précédent, les cosinus des angles que fait la direction mn avec les axes, et la formule précédente s'écrira :

(fl) a = a, a' + a,P* + a,r' + 2 i-i Pt + 2 (>,t« + aî»,«p.

On voit ainsi que les coefficients a^,a^,a^ représentent précisément les valeurs de la dilatation suivant les axes TnX,,TnY,,mZ,.

* 2iS3. Dilatation angiulatre. — On appelle dilatation angulaire pour deux directions mn, m.n^ la variation subie par l'angle nm», par l'effet de la déformation.

L'expression générale de la dilatation angulaire est facile à obtenir au moyen des relations précédentes, mais elle est assez compliquée.

Nous nous bornerons à faire observer que cette dilatation est nulle pour les axes de déformation pris deux & deux. En effet, les points situés sur ces axes se déplacent, suivant ces axes eux-

Ainsi, il existe en chaque point du solide déformé trois directions rectangulaires qui restent rectangulaires après la défoT' •mation.

' iip^w, i^^R«3

: if 2241. Surface des dllatatlonfii i dilatations principales. — - Si Ton porte sur chaque direction à partir du point m une longueur égale à l'inverse de la racine carrée de la valeur absolue de la dilatation linéaire, suivant cette direction, divisée par une constante arbitraire infiniment petite K, les coordonnées des points ainsi obtenus seront

et leur lieu géométrique formera la surface

K = a,P + a,Tî« + a,Ç« + 2 h^ri^-h 2 b,CE + 2 5,Ç»i,

dont l'équation s'obtient en portant dans l'équation (6) les valeurs de a, g, Y déduites des relations précédentes.

Cette surface représentative est dite surface des dilatations : elle est du second degré et appartient, on le voit, à la série des surfaces (S).

S'il y a dilatation ou contraction dans tous les sens autour du point m, la surface des dilatations est un ellipsoïde.

S'il y a dilatation dans certaines directions et contraction dans d'autres, on a un système d'hyperboloïdes conjugués : le cune asymptote commun à ces deux surfaces est le lieu des directions qui ne subissent ni contraction ni allongement.

Enfin, les dilatations maxima et minima ont lieu suivant les axes de la surface de dilatation, qui ne sont autres que les axes de déformation au point m. Ces dilatations aj,a„a, sont dites dilatations principales.

, -k 225. Dilatation cubique. — On appelle dilatation cubique au point m le rapport 6 de l'accroissement d'un volume infiniment petit pris autour du point m à la grandeur primitive de ce volume. On admet que ce rapport est indépendant de la manière dont le volume infiniment petit que l'on considère se trouve déterminé.

Considérons, en particulier, un parallélipipède rectangle infinitésimal mhkl construit sur les axes <\e déformation : d'après une observation que nous avons faite (§221], les faces planes de ce parallélipipède seront encore, après la déformation, planes et parallèles; de plus, les arêtes du trièdre m (A,/c,Z) coïncidant avec les axes de déformation, resteront rectangulaires : le parallélipipède restera donc parallélipipède

rectangle, et son volume qui était primitivement, en désignant par /f,/c, l ses côtés,

deviendra après la déformation

V + 6V = h.fe.i (l + a,) (1 + a,) (1 + a,).

On aura donc, en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur,

8V = /iW (aj + a, + a,), c'est-à-dire

6 = ai -f- flg + a,.

On remarquera que dans la surface des dilatations la somme des coefficients

est un invarianty c'est-à-dire qu'elle conserve la même valeur lorsqu'on change les coordonnées ; elle est donc égale en particulier à a, + a,4-^j> c'est-à-dire à 0.

Ainsi la dilatation cubique est la somme des dilatations linéaires suivant trois directions rectangulaires quelconques.