LES TENSIONS EN CE POINT

* 236. Forme générale des relations cherchée*. —

Étaat admis, comme on l'a expliqué plus haut, que l'action qui s'exerce entre deux points d'un solide est fonction de la distance qui les sépare, mais devient insensible dès que cette distance atteint une valeur appréciable, on conçoit que les tensions en un point doivent dépendre exclusivement des déformations qui se produisent autour de ce point, c'est-à-dire, d'après l'étude précédente, des coefficients o,, a,, o,; é,, ft,, 6, qui caractérisent cette déformation.

Si l'on suppose un état initial dit état naturel pour lequel toittts les tensions seraient nulles, ces tensions, après une déformation quelconque, seront des fonctions des a et des i qui devront s'annuler avec ces lettres et qui se réduiront par conséquent à des expressions de la forme :

puisque les a et les b étant infiniment petits, leurs ''puissances supérieures peuvent être négligées. Les coefficients A, et B sont des constantes dont les valeurs dépendent de la position du poini considéré et de la direction du plan sur lequel la tension s'exerce.

En particulier, les six composantes N,,N„N,; T,,T,,T,, que nous avons définies dans l'étude des tensions, doivent dépemirf (les o et des b par des expressions de la forme (1).

* StiTt. Cas de« solides Inotfropes i réduction dex expressions des N et des T. — Ces expressions se simplifient considérablement dans le cas particulier où te solide est isotropec'est-à-dire quand sa constitution, au voisinage de l'un quel-

TTzr.

Ap A, et /i, représentant des coefficients constants.

(*) Cette définition de l'isotropie devra être complétée lorsqu'on introduira dans l'élude des systèmes matériels les notions d'atomes et de molécules.

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conque de ses points, est, avant la déformation, identiquement la même dans toutes les directions possibles ("*).

Réduction des T. — Dans ceg\ conditions, en effet, si Ton mène par un point m trois axes rectangulaires m (X,, Y,,Z,) et si Ton suppose que le solide soit soumis, à partir de Tétat naturel, à une déformation particulière pour laquelle 6^, 6, et ft, soient nuls, les surfaces S (§ 22£1) auront pour axes de figure les axes coordonnés, et par suite les déformations seront symétriques par rapport à ces axes. Mais alors, les tensions devant satisfaire évidemment à la même condition de symétrie, la surface directrice de ces tensions (S 218) se trouvera, elle aussi, rapportée à ses axes de figure et les valeurs de T^, T,,T, seront nécessairement nulles. Par conséquent, ces valeurs qui doivent s'annuler avec 6p 6„ &,, quels que soient û^|,ût„a„ ne peuvent renfermer dans leurs expressions que les trois premières de ces lettres.

Si Ton suppose actuellement que ft, et 6, soient seuls égaux à zéro, la surface S aura mZ, pour axe et X^mY, pour plan de symétrie : les déformations, et par suite les tensions, seront symétriques par rapport à ce plan. La surface directrice des tensions ayant alors mZj pour axe, T, et T, seront nécessairement nuls, ce qui prouve que ces deux tensions ne dépendent pas de &,.

On démontrerait de même, en partant de l'hypothèse b^=b^ = 0, que les valeurs de T, et T, ne renferment pas 6, : donc enfin, la tension T^ ne renferme que ft, dans son expression et, par analogie, T, et T, ne doivent renfermer respectivement que b^ et 6,. On a donc simplement :

-rt!

kv

Mais si, partant d'une déformation quelconque, on en ima^ne une autre, obtenue en permutant circulairement les a et les b de la première, à cause de Tisotropie du solide, les tensions nouvelles devront être égales aux tensions primitives permutées de la même manière. Ainsi, en particulier, la tension nouvelle T, relative à Taxe mY^ et égale d'après les formules (2) à fc,6j, devra reproduire la tension T^ égale à A, b^ de la déformation primitive. Donc, /Cj doit être égal à A;,, et en général les trois coefficients /Cj, A,, Aj doivent être égaux entre eux. En désignant par 2iJL leur valeur commune, les expressions de T,, T„ T, deviennent

T3 = 2ii5,.

Réduction des N. — L'observation que nous venons de faire sur la permutation circulaire des a et des b s'applique évidemment aussi aux expressions des tensions normales N. Mais, en outre, ces expressions doivent être indépendantes des b.

Supposons, en effet, i^ = &j = 0 et ft, ^0. Les surfaces I.

ainsi que la surface directrice des tensions et l'ellipsoïde des

tensions devront être symétriques par rapport au plan X,mYj, uil en d'autres termes, avoir wZ, pour axe. Mais alors, si Ton change le signe de &,, la surface l se transforme en une surface nouvelle symétrique de la première par rapport aux plans Z^ mX^, Z, mY^ et comme la surface directrice des tensions (S) doit subir évidemment une transformation analogue, les valeurs de N,,N, etXj dépendant des demi-diamètres de la surface (S) dirigés suivant les

axes coordonnés, ne doivent pas se trouver modifiées. Donc,

r ■ . WPP '*m* *

ÉTUDE DES FORCES — STATIQUE ET DYNAMIQUE 4o-;

les expressions deN,,N„Nj ne renferment pas 63, et, par ana»logie, elles ne doivent renfermer ni 6,, ni 6,. Ces expressions sont donc de la forme

N, = /iiai + /ija, + /i,a,,

^8=^1^3 + /lia, 4-^8^5»

puisqu'elles doivent satisfaire à la condition de permutation indiquée plus haut.

Si Ton permute actuellement a, et b^ en a, et b^ en laissant a, et b^ invariables, les surfaces S se transforment par la permutation dexeny^ et comme il doit en être de même de la surface S, N, et N, doivent se trouver permutés lun dans l'autre, c'est-àdire que Ton doit avoir, quels que soient d'ailleurs a,, a, et a„

/i,aj + /ijCj + h^a^ = /ija2 + /ijCj + /ijOi, /iiOi + /i,a, + /i8aa = /lifli + /it«s + '*»^s»

d'où l'on conclut

/i,= /ij.

On vérifie sans peine que les autres permutations analogues à celle que nous venons d'imaginer conduisent à la même égalité.

En conséquence, si l'on désigne par X la valeur commune de A, et de h^^ les expressions des N peuvent s'écrire :

N, = X (aj + a, + a,) + f/ii — X) a, = Xe + (/i, — X) a,, (4) N2 = X (a, + a, + a,) + (/i, — X) a, = Xe + (/i, — X) a,,

N3 = X (a, + aj + Os) + (/li — X) cg = Xe 4- (/ij — X) a,.

Supposons enfin que, mZ^ étant un axe de déformation, on choisisse pour les deux autres axes coordonnés mX, et mY^ les diamètres rectangulaires égaux de la conique trace d'une surface S sur le plan X, mY,, l'équation de cette surface sera de la forme :

ai (x' + y') + a,2* f 2 6, xy = K,