TT

et les dilatations suivant mX, m Y étant égales, il en sera de

même des tensions normales ^x N, , N, dont la valeur commune

sera, d'après les formules (4) :

N| = N, = Xe + (/i, — X)a,.

On aura d'ailleurs

Mais alors la bissectrice mk de l'angle X,mY^ est un axe de la déformation considérée, et la dilatation a suivant cet axe sera

égale à-T|, en désignant par / le demi-axe m% de la surface; ce demi-axe s'obtient en faisant x = y=i -—^ dans la conique

trace de la surface sur le planX^mY^, et l'on trouve ainsi

Oj + à^

d'où

La tension normale correspondante est donc, d'après les for^ mules (4),

9fi^ = xe + (h, —X) a = xe + (/il — ^) K + 5,). Mais sa valeur, qui résulte aussi de l'expression générale :

N rrrNja» + N,p« -h NsT» + 2T, Pt + 2T, Ta + 2T,«P,

__^.^__.,^-. ^ . j, . . . . .__^„__ ^ T-vn . rf-. i*v .î «i-y '"iSEy* '

ÉTUDE DES FORCES — STATIQUE ET DYNAMIQUE 4o7

doit être égale à

c est-à-dire (en remplaçant N^, N, et T, par leurs valeurs respectives) &

X0 + (/ij — X) a, + 2jx6j.

En égalant cette valeur à la précédente, on trouve :

/i, — X = 2 fx,

€t en portant cette valeur de (h^ — X) dans les équations (4) on obtient pour Texpression définitive des N :

Ni = X0 + 2fJta,, <5) N, = X0+2[ia8,

Ns = XO + 2.aa3.

Les équations (3) et (5) déterminent les liaisons que nous nous proposions d'établir entre les déformations en un point d*un solide isotrope et les tensions que ces déformations produisent. En effet, la connaissance des six déformations élémentaires {a^^a^,a^ ; 6j,6„6,) définit d'une manière complète la déformation autour du point m, et celle des six tensions (N^N^N,; T^T^T,) détermine complètement toutes les tensions qui s'y produisent.

La liaison cherchée se trouve exprimée, comme on voit, au moyen des deux seuls coefficients X et {a qui caractérisent la constitution du solide isotrope et qui, en raison de Tisotropie même, doivent avoir en tout point du solide considéré les mêmes valeurs (*).

(*) On doit observer d'ailleurs que, dans un solide satisfaisant rigoureusement aux conditions du solide théorique, les coefficients X et fx devraient avoir des valeurs infiniment grandes, puisque les variations finies des tensions devraient être attribuées à des déformations infiniment petites d^ordre supérieur : dans les systèmes se rapprochant des conditions du solide théorique X et {1 doivent toujours être considérés comme ayant de très grandes valeurs.

En rétablissant à la place de 9, a, , a„ a„ A^, 6„ 6,, leurs expressions en fonction des déplacements w, v, ii; , les relations (3) et (5) s'écrivent :

/dtJ diA

-. . (du ^ dv , dw\ , - du .w»\ M ^ /^w , du , dw\ , du

«, . /du . du , dw\ . - dw

I). ÉQUILIBRE D'ÉLASTICITÉ ET MOUVEMENT VIBRATOIRE A L'INTÉRIEUR D'UN SOLIDE DÉFORMÉ

1* ÉQUILIBRE d'Élasticité d'un solide isotrope

« S22S. Transmission des forces et des tensions & l'Intérieur d'un solide. — Nous avons fait observer déjà que les forces extérieures agissant sur un solide ne pouvaient être réduites à un nombre limité de forces finies que par l'effet d'une fiction admissible seulement dans les recherches où les déformations intérieures ne jouent aucun rôle.

En réalité, chaque point du solide doit être considéré comme soumis à une résultante infinitésimale variant en intensité et en direction lorsqu'on passe d'un point à un autre à Vintérieur du solide, mais obéissant dans ses variations à une loi de continuité qui cesse seulement d'être applicable pour les points de la surface limite. Ces derniers points, en effet, en raison même de

la discontinuité du solide, peuvent être regardés comme subissant certaines actions spéciales, continues également lorsqu'on passe d'un point à un point infiniment voisin sur la surface, mais n'affectant pas les points voisins situés à Tintérieur.

Au moment où les forces infinitésimales ainsi définies commen» cent à agir sur un solide au repos, elles provoquent le déplacement individuel de chaque point et produisent généralement ainsi une déformation du système. Mais aussitôt, les tensions intérieures qui résultent de cette déformation même ont pour eflfet d*en arrêter les progrès, et leur action tend à rétablir Timmobilité des points les uns par rapport aux autres.

Le nouvel état de repos ainsi réalisable par le jeu des forces extérieures et des tensions sera absolu si, le solide étant primitivement au repos, le système des forces extérieures satisfait aux conditions d'équilibre : il sera relatif dans le cas contraire et le solide prendra, dans ce cas, un mouvement d'ensemble quenous savons déterminer. Ce qu'il importe d'observer, c'est qu'en aucun cas la nouvelle situation d'équilibre des points les uns par rapport aux autres ne pourra être identique à la situation primitive, puisqu'il doit subsister un système de tensions modifiant pour chaque point l 'eflfet que produiraient les forces extérieures si ce point était isolé, et que ces tensions cesseraient d'exister si la déformation venait à disparaître.

C'est cet état d'équilibre du solide déformé dont nous nous proposons actuellement d'exprimer les conditions analytiques ^ nous verrons ensuite dans quelle mesure cet équilibre, théoriquement possible, peut eifectivement se réaliser.

Nous supposerons, pour simplifier, que le solide primitivement au repos reste au repos, les forces extérieures satisfaisant aux conditions d'équilibre ; nous supposerons également que le solide considéré est isotrope (ou plus: exactement était isotrope avant sa déformation). Il en résulte que la densité p doit être considérée comme une constante.

* 2S9. Bquatioiui Indéflnies. — En reprenant les notations et les résultats du § 217, nous pouvons écrire pour