CHOC DES SOLIDES NATURELS

243. Défliiltloii du choc. — Sans préciser absolument la forme de la fonction <p (r) qui exprime (S 54) l'action mutuelle de deux points matériels en fonction de leur distance, on admet que dans les solides naturels cette fonction est de telle nature que l'action réciproque de deux points, assez faible pour pouvoir être négligée quand la distance conserve une grandeur appréciable, devient répulsive et très considérable lorsque les points se rapprochent jusqu'à devenir très voisins.

Gela posé, si deux solides naturels, d'abord éloignés l'un de l'autre, se rapprochent par l'effet de leur mouvement et tendent à se pénétrer, il se produit entre eux un choc; les actions mutuelles des points des deux solides qui arrivent à être voisins deviennent à un moment donné appréciables, puis rapidement très grandes et assimilables à des percussions ayant pour effet de modifier brusquement le mouvement des deux solides (S 1S4I).

Ces percussions résultant d'ailleurs de forces intérieures pour le système matériel formé par l'ensemble des deux solides, on

n'aura pas en tenir compte dans Tapplicàtion à ce système des théorèmes où les forces intérieures ne figurent pas.

Ainsi, pendant la durée du choc, il n'y aura pour l'ensemble des deux solides aucune variation brusque ni dans la somme géométrique des quantités de mouvement , ni dans le moment résultant de ces quantités de mouvement relativement à un point quelconque.

Au contraire, les théorèmes où figurent les forces intérieures devront être appliqués en tenant compte des réactions du choc et en faisant abstraction des forces extérieures, négligeables à côté des percussions : par exemple, dans l'équation des forces vives, on n'aura à inscrire que les travaux des réactions mutuelles des points, représentées au signe près par le potentiel S^(r) où le signe j^ doit être étendu à toutes les combinaisons deux à deux des points du système ; l'équation des forces vives pendant la durée du choc sera donc

^ j^ mu* + j^ ^/ (r) = constante.

2414. Théorème de Carnot. — Perte de forée vive dans le eas de solides parfaitement mous. — Soient

A et B les deux solides qui viennent se choquer. Pendant un instant très court 0, les points des deux solides exercent les uns sur les autres des réactions très grandes assimilables à des percussions; leurs vitesses se trouvent brusquement modifiées et des déformations se produisent. Si nous supposons les solides parfaitement mous, ces déformations ont pour effet de déterminer un nouvel état d'équilibre dans lequel les percussions ont disparu, les deux solides formant à cet instant un système unique de forme invariable.

Désignons par P la percussion appliquée & un point, par V, la vitesse de ce point à l'instant où le choc se produit, par V^ celle qu'il a prise au moment où les réactions du choc ont cessé d'exister: on aura (S VO)

OU

en appelant W la différence géométrique des vitesses V^ et V^.

L'équation (1) exprime qu'il y a équilibre pour chaque point entre la quantité de mouvement perdue et la percussion P.

Nous pouvons exprimer cet équilibre par le théorème du travail virtuel, en attribuant à chaque point du système un déplacement virtuel arbitraire. Mais si nous choisissons pour ce déplacement celui qui résulte pour chaque point de la vitesse V^ ce dernier déplacement étant par hypothèse un déplacement d'ensemble^ les percussions P qui sont deux à deux égales et opposées à la manière des forces intérieures fourniront pour l'ensemble du système un travail nul, et il ne subsistera par conséquent dans l'équation du travail virtuel que le seul travail dû aux quantités de mouvement mW. Ce travail sera pour un point m, en désignant par les lettres minuscules les grandeurs des vitesses W et V„ Vi

mwuj cos (W, Vi) dty

- Vo

c'est-à-dire

en appelant pq la projection de W sur Vj ; et pour l'ensemble du système, on aura :

Mais, dans le triangle mnq formé par les trois vitesses V^,, V^ et W, on a :

d'où

et par suite l'équation du travail virtuel deviendra :

Le théorème de Camot est l'expression de cette égalité. Il peut s'énoncer en disant que la somme des forces vives après le choc des solides parfaitement mous est égale à la som/me des forces vives avant le choc^ dim,inuée de la somme des forces vives dues aux vitesses perdues,

245. Choc de deux solides sphériiiaes. — Etudions le cas très simple du choc de deux solides sphériques S et S', animés de mouvements de translation qui font parcourir la même droite XX à leurs centres.

Soient m et m' les masses des deux sphères, v et v leurs

vitesses. Nous supposerons ces vitesses dirigées dans le sens de la flèche et v supérieur à v\ de sorte qu'à un moment donné le choc des deux sphères devra se produire.

En raison de la symétrie du système autour de la ligne des centres, le mouvement de ces centres continuera à s'effectuer suivant la droite XX et le mouvement de chaque sphère sera, après comme avant le choc, une translation suivant cette droite. Les réactions qui se produisent au moment du choc entre les points des deux sphères doivent avoir pour résultat de ralentir la vitesse de la sphère S et d'accélérer celle de la sphère S', et cet effet se continuera jusqu'au moment où les deux sphères, ayant pris une vitesse commune u, n'auront plus de tendance à se pénétrer.

L'application du théorème des quantités de mouvement permet de déterminer très simplement cette vitesse commune.

En effet, la somme des quantités de mouvement qui sont tontes parallèles à XX devant rester constante, puisqu'il n'y a pas

ÉTUDE DES FORCES — STATIQUE ET DYNAMIQUE 49i

de forces extérieures agissant sur le système des deux sphères, on aura:

(m + m*)u = mv + m'v% d'où

mv + m'y' m + m'

A ce moment, la perte de force vive éprouvée par le système et déterminée par le théorème de Camot doit être

c'est-à-dire, d'après la valeur de u et après réduction,

1 mm' , -.,

résultat confirmé d'ailleurs par le calcul direct de la différence

^ {mv* + mV*) — ô (^ + ^') ^*

de ces deux forces vives.

 partir du moment où les deux sphères ont pris la même vitesse, les choses se passent différemment suivant la nature attribuée aux solides.

Si l'on suppose ces solides parfaitement mous, les déformations produites deviennent permanentes et le système des deux sphères continue à se mouvoir comme un solide unique avec la vitesse de translation u.

Au contraire, si les deux sphères sont supposées parfaitement élastiques, les déformations doivent complètement disparaître.

Dans ce cas, l'équation des forces vives

- V mi?' + % ^l* (r) = constante

appliquée à toute la durée dii choc, c'est-à-dire depuis Tinstant où les déformations commencent à se produire jusqu'à Tépoque où ces déformations ont complètement disparu, se réduit à

(Sm»«-Sm»î) = 0.

En effet, pendant cet intervalle de temps très court, le travail des forces extérieures, qui est en général négligeable, est rigoureusement nul dans le cas actuel, puisque ces forces n'existent pas, et la somme ^^ (r) qui représente le travail total des forces intérieures se compose de trois termes provenant :

1® Des actions mutuelles des points de la sphère S ;

2* Des actions mutuelles des points de la sphère S' ;

3® Des actions des points de la sphère S sur ceux de la sphère S' et des réactions correspondantes.

Or, les deux sphères étant supposées reprendre exactement après le choc leur forme primitive, les deux premiers termes doivent être nuls, et il doit en être de même du troisième, puisqu'aux époques limites entre lesquelles on applique l'équation, les sphères sont assez éloignées pour que les réactions entre leurs points soient négligeables ainsi que le potentiel qui fournit par ses dérivées les valeurs de ces réactions. Si donc nous désignons par w et w les vitesses prises par les deux sphères lorsqu'elles se séparent, on aura par l'équation des forces vives:

D'autre part, l'équation des quantités de mouvement qui ne cesse pas d'être applicable donne entre w et m/ la seconde relation

(3) mw + m'w' = mîJ + m't?'.

Les équations (2) et (3) peuvent s'écrire ;

et, en les divisant membre à membre, on trouve

c'est-à-dire (4)

On tire sans difficulté des équations (3) et (4) les valeurs de w et ta qui sont :

{m! — m) v' -f 2 fnv

Supposons comme cas particulier les deux sphères de masses égales et la sphère S' au repos, les valeurs dewetu/ se réduiront alors à

Ainsi, le choc dans ce cas produira l'arrêt de la sphère S qui communiquera à la sphère S' sa vitesse. Si la sphère S' rencontrait à son tour une troisième sphère S" égale aux précédentes et au repos, elle lui transmettrait par choc sa vitesse v et ainsi de suite.

On réalise expérimentalement ces conditions en suspendant une série de billes pesantes et égales A,B,C,D,E à côté les unes des autres, comme l'indique la figure.

ôôôô

Si l'on écarte la première bille  et qu'on la laisse re- A tomber ensuite, elle vient choquer la bille suivante B avec une certaine vitesse horizontale v qu'elle lui

transmet et que celle-ci transmet à son tour à la bille G et ainsi de suite ; cette vitesse v se trouve communiquée finalement et intégralement à la bille extrême E, ce que Ton constate en vérifiant que cette bille s'élève dans son mouvement pendulaire

jusqu'à une position E' correspondant à une hauteur A = 0"

égale à la hauteur de chute de la bille A.

Examinons encore le cas où la masse m' de la sphère S' supposée immobile deviendrait infiniment grande par rapport à la masse m de la sphère S. Alors, m étant négligeable à côté de m', les formules (1) et (5) se réduisent à

On voit que la sphère S' ne sortira pas du repos, tandis que la sphère S sera animée finalement d'une vitesse égale et de sens contraire à celle qu'elle possédait avant le choc : c'est ce qu*on exprime en disant qu'il y a réflexion du corps choquant sur le corps choqué.