CONTACT DES SOLIDES NATURELS

td^kS. 1° Gllssemeiit. — Coefficient de frottement. —

Lorsque deux corps solides sont en contact et qu'on cherche à les déplacer tangentiellement l'un par rapport à Tautre, on éprouve en général une résistance ; cette résistance augmente avec l'effort qu'on fait pour la vaincre, mais elle ne dépasse pas une certaine limite au delà de laquelle le glissement se produit. On a donné le nom de frottement au départ ou d'effort de démarrage à cette résistance limite, qui se montre d'autant plus grande que les corps en contact sont plus mous et que la pression qui les appuie l'un contre l'autre est plus considérable. A partir du moment où le glissement commence, une résistance tangentielle continue à s'exercer sur les corps qui glissent, mais elle est en général plus faible que la limite précédente, et de récentes expériences sem-

(fig. l>

blent indiquer qu'au lieu d'être constante, comme on Tavait supposé d'abord, elle varie avec la vitesse relative des deux solides, Tun par rapport à l'autre (*). On donne le nom de frottement pendant le mouvement à cette résistance variable.

On s'explique assez bien ces résultats dans le cas de deux solides se touchant par un point unique, en observant que la déformation qui se produit dans les deux corps au voisinage de leur point de contact, a pour effet de les aplatir légèrement, comme l'indique la figure ci-contre, et de transformer ainsi le caractère du contact qui, au lieu de s'exercer sur le point unique a (fig. 1), se produira sur toute une portion de surface voisine de ce point (fig. 2).

Dès lors, on conçoit que le solide B ne puisse glisser sur le solide A supposé fixe sans déformer les nouvelles portions de ce solide qu'il viendra toucher. De là une résistance à vaincre d'autant plus considérable que la déformation est plus grande, c'est-à-

(fig. 2)

(*] Des dernières expériences faites par M. Marcel Deprez [Comptes rendus de C Académie des sciences du 17 novembre 1884), il semble résulter que le frollement diminuant d'abord à mesure que la vitesse augmente atteint un minimum au delà duquel ses valeurs iraient de nouveau en croissant. Du reste, comme le fait remarquer très justement M. Collignon {Traité de Méca^ nique, X. III, § 367), la loi qui lie le frottement à la vitesse doit être extrêmement complexe : car, dépendant des déformations mutuelles des corps en contact, elle doit varier suivant l'élasticité et la forme de ces corps. 11 est évident aussi que la résistance doit être plus faible lorsque la déformation produite se conserve pendant le glissement, comme cela a lieu par exemple dans le cas d'un anneau circulaire glissant sur une couronne fixe, et plus forte au contraire lorsque cette déformation disparaît au point où le contact cesse pour se transporter au point voisin où le contact se produit, comme dans le cas d'un patin glissant sur un plan fixe. Enfin il faut tenir compte également, dans ce dernier cas, de la durée pendant laquelle le contact s'exerce. Si cette durée est très courte, les déformations, n'ayant pas le temps de se produire complètement, seront moins profondes, bien que les pressions restent les mêmes. Cette dernière considération tendrait à faire supposer que, dans le cas d'une défor^

*96 COUfiS DE MÉCANIQUE RATIONNELLE

dire que la pression est plus forte et que les solides sont plus mous.

Mais cette explication ne suffit pas pour rendre compte des phénomènes du frottement d'une façon générale, car elle ue s'applique pas au cas où la déformation se produit sur toute une surface de contact et affecte un caractère permanent, ainsi que cela a lieu par exemple lorsqu'un anneau A, tourne avec frottement sur une tige fixe B. On doit donc admettre qu'en dehors de la déformation, le déplacement tangentiel des molé- ^ cules du corps qui glisse ne peut s'effectuer sans communiquer aux molécules voisines du corps fixe des déplacements qui prennent sans doute le caractère de mouvements vibratoires et auxquels on doit attribuer les phénomènes calorifiques et électriques développés par le frottement ; c'est dans la production de ces mouvements vibratoires que la majeure partie de l'effort de frottement doit être vraisemblablement dépensée.

Quoi qu'il en soit, pour transporter aux solides naturels de la Mécanique rationnelle ces propriétés physiques expérimentalement constatées sur les corps de la nature, on admet que lorsque deux solides naturels en contact tendent & se déplacer tangeutiellement l'un par rapport à l'autre, deux réactions tangentielles égales et opposées se développent aux points de contact, affectant respectivement chacun des deux solides et de direction contraire pour chaque solide au déplacement relatif que ce solide tend & prendre. Ces forces sont supposées grandir au fur et à mesure que la tendance au glissement s'accentue jusqu'au moment où elles atteignent une grandeur limite, proportionnelle à la

malion mobile, le frottement doit Être d'autant plus faible qoe la vilesn est plus grande. Bien d'autres élémeals iatervienuent encore dans rétnd« pratique du glissement, le graissage par exemple, c'est-à-dire l'interposiiJOD entre les solides eu contact d'un corps plus ou moins liquide ou visqueui: mais l'examen de ces questions rentre dans le domaine de la Mécanique appliquée, et nous n'avons pas à les aborder dans ce Cours.

réaction normale des deux solides Tun sur l'autre au point considéré et à un coefficient /", qu'on désigne sous le nom de coefficient de frottement et qui varie d'un solide à un autre, mais qu'on suppose toujours constant pour deux mêmes solides en contact.

Au moment où le glissement se produit, la résultante des . réactions tangentielle et normale appliquées au point de contact est donc une certaine force R, qui doit faire avec la normale un angle ç dont la tangente trigonométrique est égale à f. •

Cet angle #9, indépendant de la valeur de N, est dit angle de frottement.

Si les solides se touchent par plusieurs points, les mêmes considérations seront applicables à chacun de leurs points de contact. y*JV

Pour tenir plus exactement compte des phénomènes physiques observés que nous rappelions plus haut, on attribue quelquefois au coefficient f une seconde valeur plus faible /*,, applicable à partir du moment où le glissement se produit. Mais, dans les problèmes que nous traiterons nous supposerons, pour plus de simplicité, ces deux valeurs f et f^ confondues.

24*7. Z^ Roulement. — €3oeffl[eleiftt de péslfiitanee au

roulement. — Il peut se faire qu'au lieu d'un glissement simple ^ c'est-à-dire d'une translation tangentielle de l'un des solides par rapport à l'autre, il se produise un roulement simple^ c'est-àdire une rotation autour d'un axe passant par le point de contact. Enfin, le mouvement pourra se composer encore d'un roulement et d'un glissement simultanés.

Pour que le roulement simple soit géométriquement possible^ il faut évidemment que les solides ne se touchent que par un point unique ou par des points tous situés sur l'axe instantané de rotation, ce qui exige, si ces points sont en nombre infini, que les deux solides soient limités par des surfaces réglées* C'est ce qui a lieu par exemple dans le cas très simple d'un cylindre de révolution posé sur un plan.

'ww?/mmj^?M//M

ww/jTw/wifj»j>wjm/*

En général, lorsqu'un corps solide naturel tend à rouler sur un autre solide, il éprouve certaines résistances, beaucoup plus faibles que pour le glissement, mais cependant sensibles, et qui dépendent, comme dans le cas du glissement, de la nature des deux corps, de leur élasticité et de la pression qui les appuie Tun contre l'autre.

Ces résistances peuvent être encore attribuées à une déformation produite. Le phénomène devient sensible dans certains cas, par exemple pour un rouleau pesant roulant sur un sol horizontal

un peu mou. On constate qu'il se forme en avant du rouleau une sorte de bourrelet, tandis que derrière le rouleau le sol conserve l'empreinte de la compression produite.

Ce qui se passe visiblement dans ce cas peut donner une idée des déformations beaucoup moins appréciables, mais du même genre, qui doivent se produire lorsque les solides en contact sont plus résistants.

Pour tenir compte dans la théorie de ces faits d'expérience, on admet que dans le roulement d'un solide naturel B sur un autre

, solide A supposé fixe, In

réaction R, agissant sur le solide B au lieu d'être appliquée au point de contact c et dirigée suivant la verticale; est reportée en un point rf situé un peu en avant de c dans le plan perpendiculaire à Taxe de rotation et dirigée normalement à la surface de B en ce point à. Par l'eflfet de ce déplacement, le moment |de la réaction par rapport à Taxe de rotation projeté en c, au lieu d'être nul, devient égal -^

''/MM^y////////

Ncft + Tch, .

en appelant T et N les composantes de R suivant la tangente et la normale en c. Mais ch étant à la limite infiniment petit du second ordre, si le point d est assez voisin de c, le second terme est négligeable à côté du premier ; supprimons donc ce terme et désignons par S la distance ck. L'hypothèse que nous avons faite aura donc pour effet d'introduire dans Téquation des moments relative à Taxe instantané de rotation du solide un terme 5N opposé à la rotation.

C'est ce terme 8N qui représente la résistance au roulement, et le facteur S est le coefficient de cette résistance, coefficient qui pourra varier suivant la nature des solides considérés.

Remarquons que si le contact avait lieu en plusieurs points de l'axe, ce que nous avons dit pour le point c devrait être répété pour chacun de ces points : la résistance au roulement serait représentée alors par 8. j^N, en supposant que le coefficient ^ ait aux différents points de contact la même valeur.

SOLUTION DE QUELQUES PROBLÈMES SUR LE GLISSEMENT ET LE ROULEMENT DES SOLIDES NATURELS

Nous compléterons l'étude précédente en appliquant à la solution de quelques problèmes très simples les hypothèses théoriques qui viennent d'être énoncées ; dans ces problèmes, que nous avons choisis de manière à présenter des types variés de questions de ce genre, nous considérerons toujours la résistance au roulement comme négligeable, et nous ne tiendrons pas compte non plus de la différence qui existe entre le frottement pendant le mouvement et le frottement au départ.

Premier problème. — Glissement d'un solide pesant sur un plan ineliné. — Un solide pesayit auquel, pour plus de simplicité^ nous supposerons la forme d'un parailélipipède rectangle^ est posé sur un plan faisant un angle a

avec le plan horisontal. On demande quelle doit être lavaUw de a poto' que le glissement ait lieu.

Nous admettrons que les dimensiona du solide parallèles & la ligne de plus grande ^jf pente du plan sont

suffisantes et l'inclinaison du plan assez faible pourqu'aucnn mouvement de basculement autonr de l'arête projetée en b ne puisse se produire. Dans ces conditîoDS, le seul mouvement possible sera un glissement parallèle au plan incliné et si, comme la figure l'indique, le solide est symétriquement placé par rapport à la ligne de plus grande pente du plan qui passe par le centre de sa base, le glissement par raison de symétrie devra s'effectuer parallèlement à cette lipe. D'ailleurs, les forces extérieures agissant sur le solide sont : 1° La pesanteur, dont l'action peut être représentée par une' résultante unique P appliquée au centre de gravité G du solide ; 3° Des réactions normales dont nous désignerons par N la résultante ;

3° Des réactions tangentielles qui se développent au fur et à mesure que la tendance au glissement augmente et dont 1» résultante F ne peut dépasser la valeur fif, si l'on désigne par f le coefficient de frottement relatif aux deux surfaces. Décomposons le poids P en deux composantes :

Û = p COS tt.

normale au plan incliné, et

R = P sin a,

dirigée suivant sa ligne de plus grande pente.

Le mouvement du centre de gravité devant s'effectuer suivant la droite 6R et sous Faction de la résultante de translation des forces extérieures appliquées au solide, on aura d*abord la ^condition

ensuite, pour que le mouvement ait lieu, il faudra que la composante R soit supérieure à la limite /*N de N, d*où

R > fQf

•c'est-à-dire

tgoi> f.

La plus faible inclinaison pour que le glissement du solide soit possible est donc celle qui correspond à Vangle du frotte* iïïvent f .

On peut déduire de là un moyen expérimental assez simple pour déterminer la valeur de langle 9 relatif à deux surfaces données. Il suffit, en effet, de réaliser les conditions du problème précédent en s'arrangeant pour pouvoir faire varier à volonté rinclinaison a; on augmentera graduellement cette inclinaison jusqu'à ce que le glissement se produise, et la valeur •correspondante de a sera la valeur cherchée.

24IO. Second problème. — Mouvemeiit avec fk*ot» tement d^n point pesant snr nn plan incliné. —

Dans certains problèmes, on remplace fictivement le corps frottant par un simple point matériel, auquel on suppose appliquée la force finie de frottement, qui résulte en réa- A lité de la composition d'un nombre infini de forces infinitésimales ; nous citerons comme exemple le problème suivant :

Unpoint matériel m, Icmcé suivant la ligne de plus grande

pente AB d'un plan faisant un angle ol avec Vhori%ony se déplace avec frottement sur ce plan. On demande quel sera le mowmMnt du point m.

Par raison de symétrie, le point ne sortira pas de la droite ÂB. Désignons par v^ sa vitesse initiale, par v sa vitesse à Tépoque \ et par s le chemin parcouru à cette époque sur la droite ÀB, dans le sens descendant à partir de la position initiale m^.

Si Ton suppose d'abord la vitesse \\ dirigée de haut en bas, Téquation du mouvement du point m sera :

(1) m"TT5- = msr sm«— mgf cosa,

ou en appelant f Tangle de frottement correspondant au coefficient f :

d*« sin (a — 9) f»« ^ ces 9

L'intégration de cette équation donne

,£»v ds . sin (a —9). 2 i? ou ^7 = ro + g — ^ ty

Deux cas sont à distinguer selon que a est inférieur ou supérieur à ç. Dans la première hypothèse, le facteur sin (a — ç) étant négatif, on voit que v s'annulera pour

^ gsm (9— a)

 partir de ce moment, Téquation cesse d*être applicable^ et le point m se trouve dans la situation du solide d,u problèmô précédent, posé sans vitesse initiale sur un plan incliné faisant avec l'horizon un angle inférieur à ç ; il reste donc en repos, et

la position m, qu'il occupe alors est donnée par la valeur de s, où

l'on remplace t par — A-? — ^- On trouve :

grsm(<p — a)

f"\ vj ces O

* îgf sin (9—01)

Si l'angle a est supérieur à 7, la vitesse ne s'annule jamais et croit au contraire d'une façon continue ; le point m se meut indéfiniment dans le sens AB«

Supposons actuellement la vitesse initiale dirigée de bas en haut; les équations (1), (2) et (3) devront être modifiées par le changement de signe de v^ et par celui du terme mgf cosa qui représente le frottement. On aura donc :

ii'\ d'« • . i, sin(a + 9)

(1) W^^d S'^^ + gfcosa = g—^-^.