MOUVEMENT ÉLÉMENTAIRE D'UN SYSTÈME INVARIABLE

1 1 . Nous étudierons d'abord le mouvement élémentaire {"*) d'un système invariable, c'est-à-dire que nous chercherons les liaisons qui doivent exister entre les déplacements simultanés infiniment petits des différents points qui le composent; ces liaisons seront évidemment de deux natures : liaisons entre les directions des déplacements, liaisons entre leurs grandeurs.

Translation et rotation élémentaires. — Supposons d'abord que nous définissions le mouvement élémentaire en donnant aux trois points a,b,c des déplacements infiniment petits a a', bb', ce' de mftme grandeur et de même direction : il est facile de reconnaître qu'un point quelconque m devra prendre un déplacement infiniment petit mm' égal et parallèle à ceux de a,b et c.

{'] Il ne peut y avoir incertitiide sur celui des deux points d'inlersection qui doit fitre adopté, car la connaissance de la position primitive des points fait voir de quel c4té du plan abc doit se trouver le point m.

[**] En Mécanique, on emploie généralement le mot d'élémentaire dane an MM équivalent à celui d'infiniment petit. '

br^

Le mouvement est dit alors de translation : la vitesse de tous

les points du système est la même et ria* cette vitesse est dite la vitesse de

translation du solide. :

in

ai

Supposons maintenant que nous vîî fixions deuxpoints du solide, les points a et 6 par exemple, et que nous donnions au troisième c un déplacement infiniment petit ce', qui sera nécessairement perpendiculaire au plan abc ; un point quelconque m du système recevra un déplacement mm' perpendiculaire au plan abmet Tangle infiniment petit m|jLWi' p> ou rfa dont tournera le plan

77iba pour venir en m'ba sera xa'^.. / égal à l'angle cyc' dont le plan

cba aura tourné pour venir en c'ba.

Le mouvement est dit alors de rotation, la droite ab s'appelle Vaxe de rotation : le quotient de Tangle da par l'élément de temps correspondant dt est ce qu'on appelle la vitesse angulaire de rotation du solide.

Une rotation est généralement représentée par une grandeur égale à sa vitesse et portée sur son axe dans un sens qui dépend de celui de la rotation. La grandeur géométrique ainsi définie est Vaxe représentatif de la rotation considérée.

12. Mouvement élémentaire d'une figure plane invariable' se déplaçant dans son plani centre instantané de rotation. — Avant de passer au mouvement élé-

CINÉMATIQUE

mentaire le plus général, étudions d'abord le cas particulier d'un système invariable plan mobile dans son propre plan.

Tout ce que nous venons de dire sur un système en général est applicable à ce cas particulier : le système plan que nous considérons pourra recevoir un mouvement de translation ou un mouvement de i^otation; seulement la translation devra avoir lieu dans le plan du système et la rotation s'effectuera autour d'un axe perpendiculaire à ce plan ; on pourra aussi considérer cette rotation comme s'effectuant dans le plan et autour d'un point de ce plan qui sera le pied de Taxe.

Il est d'ailleurs facile de voir que la connaissance des positions de deux points suffit pour fixer celle de tout le système.

Nous allons démontrer que pour un pareil système le déplacement le plus général peut s'obtenir par une rotation. Nous ferons la démonstration pour un déplacement fini quelconque: le raisonnement s'appliquera bien entendu au cas particulier d'un déplacement infiniment petit.

Soit a un point quelconque du plan : ce point considéré comme appartenant au système avant son .

déplacement viendra après le déplacement en a^. Désignons par b^ ce même point a considéré maintenant comme point du système déplacé : avant le déplacement, le point b^ occupait une certaine position 6.

Soit 0 le centre du cercle des trois points baa^ : les cordes ba, b^ aj, positions d'un même segment de droite avant et après son déplacement, étant évidemment égales, les angles bOa, b^Oa^ sont égaux et l'on voit qu'en faisant tourner le système de l'angle 60a autour de 0, on amènera les points a .et b en a^ et b^ et avec eux le solide plan tout entier de sa position primitive dans sa position nouvelle.

Appliquons ce résultat à un déplacement infiniment petit : le point 0 prendra le nom de centre instantané de rotation^ et le

déplacement élémentaire pouvant s'effectuer par une rotation autour de ce point, on reconnaît :