TU

ta?

1*^ Que le déplacement mm' d'un point quelconque est normal à la droite qui joint ce point au centre 0 ou, en d'autres termes, que les normales à toutes les trajectoires à ^instant considéré passent axe centre instanta7ié de rotation;

mui 2® Que la grandeur --7r- de la vitesse d'un

point quelconque est proportionnelle à la distance de ce point au centre instantané de rotation.

Imaginons maintenant une courbe C faisant partie du plan mobile et entraînée avec lui; soit C sa position infiniment voisine,

m' un point d'intersection de ces deux courbes. Ce point considéré comme appartenant à la courbe G' occupait sur la courbe G une certaine position m avant le déplacement. Sa trajectoire est donc tangente à G, ce qui prouve que la normale à la courbe G au point considéré passe au centre instantané de rotation 0. Il en est donc de même de la normale à l'enveloppe de G, puisque la courbe G est tangente en m à cette enveloppe [Calcul infinitésimal^ S 135).

Ainsi, la normale à une courbe mobile au point oii elle touche son enveloppe passe au centre instantané de rotation.

13. Appllcatioiis. — Ges importants théorèmes donnent lieu à de nombreuses applications géométriques dont nous fournirons immédiatement quelques exemples.

1** Normale à V ellipse. — Supposons un triangle mobile mab de forme invariable dont les sommets a et 6 décrivent deux

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droites caj cb ; on sait que le troisième sommet décrit une ellipse de centre c; la normale en un point quelconque de cette ellipse s* obtiendra sans difficulté par Tapplication de la théorie précédente. En effet, élevant en a et en 6 les perpendiculaires à ca et c6, on obtient en 0 par leur intersection le centre instantané de rotation de la figure invariable mab : mO est donc la normale cherchée.

2** Conchoïde. — Par un point fixe w, on mène une droite mobile D qui rencontre une courbe donnée C en un point n. On prolonge tùn d'une longueur constante nm : on obtient ainsi un lieu géométrique E qui est dit la conchoïde de la courbe C relativement au point co ; on demande la normale à cette conchoïde. Menons la normale à la courbe C en n et la perpendiculaire à la droite D au point o) qui est son enveloppe. Ces deux droites se coupent en un point 0 qui est le centre instantané de rotation de la figure invariable mn : mO est donc la normale cherchée.

La même solution s'appliquerait encore si, généralisant la définition précédente, on assujettissait la droite D à rester tangente à une courbe donnée û au lieu de passer par un point fixe.

3* Théorème sur V ellipse. — Étant donnée une ellipse, on lui

circonscrit un angle droit amb, et Ton demande de déterminer le lieu du sommet m lorsque les côtés de Tangle glissent sur Tellipse.

Le centre instantané de la figure invariable formée par Tangle

droit est le sommet 0 du rectangle construit sur amb : mO est donc la normale au lieu cherché, et comme elle coupe la corde aben son milieu, elle passe constamment par le centre c de Tellipse, ce qui suffit pour démontrer que le lieu cherché est un cercle ayant le point c pour centre [Calcul intégral^ § 3416) (*).

4* Enveloppe du second côté d'un angle droit dont le sommet s

glisse sur une droite D et dont le premier côté passe par un point fixe f. — On construit sans difficulté le centre instantané 0 et par suite le point de contact m.

Joignons fm et menons par m une perpendiculaire mp à D jusqu'en sa rencontre en p avec fs prolongé. A cause de

ps = mO = fs,

le point p décrit une droite P parallèle à D et comme

mp = sO = mf,

on voit que le lieu du point m est une parabole dont f est le foyer et P la directrice.

(*) En effet, les normales passant par un point fixe, le rayon de courbure de la courbe est constant.

CINÉMATIQUE 25

i4l. Mon^ement élémentaire dhine figure spliérlqpie invariable se déplaçant sur «a sphère s pôle instantané de rotation. — Tout ce qui vient d'être dit pour une figure plane mobile dans son plan peut se répéter pour une figure sphérique mobile sur sa sphère, à la seule condition de substituer aux lignes droites des arcs de grands cercles.

Ainsi le mouvement élémentaire d'un système sphérique sur sa sphère est une rotation infiniment petite autour d'un pôle instantané de rotation, et les arcs de grand cercle normaux aux trajectoires à l'instant considéré passent tous par ce pôle.

4 S. Mouvement élémentaire d^n nymtëwne invariable dont un point reste fixe t axe instantané de rotation* — Soit w le point fixe ; coupons par une sphère de centre ci> : nous obtiendrons comme section un système sphérique invariable mobile sur sa sphère, et son mouvement élémentaire sera une rotation aut(»ur d'un pôle instantané 0 qui restera immobile pendant l'élément de temps considéré. Mais alors deux points du système restant immobiles, le mouvement élémentaire de ce système (S i 1) est une rotation autour de Ow qui est dit Y axe instantané de rotation,

iO. Mouvement élémentaire d'un système inva^ riable cpii se déplace d'une manière cfueleonque dans l'espace i aine instantané de rotation et de slissement*— Soit a un point quelconque du système, a' sa position infiniment voisine : on peut donner au système une translation égale h a a' qui l'amène de sa position primitive S à une certaine position intermédiaire S,. Pour passer ensuite de la position S^ à la position définitive S', remarquons que le point a n'a plus besoin d'être déplacé. D'après le résultat obtenu au paragraphe précédent, ce second déplacement pourra donc s'ob^ tenir au moyen d'une rotation élémentaire autour d'un certain

axe instantané k passant par a\ Ainsi le déplacement définitif

résultera d'une translation élémentaire suivie d'une rotation élémentaire, et le point a par lequel passera, à la limite, Taxe de cette rotation, peut être arbitrairement choisi.

Il est facile de voir qu'on peut toujours déterminer ce point de telle sorte que l'axe de la rotation soit parallèle à la translation.

Coupons en effet par un plan P perpendiculaire à l'axe A, nous obtiendrons un système situé dans un plan que les deux déplacements consécutifs laisseront parallèle à sa direction primitive.

Une figure quelconque F prise dans ce système occupera les positions F et F' avant et après le déplacement.

Projetons la figure F orthogonalement sur le plan F. La figure F^ obtenue par cette projection étant identique à la figure F' pourra être amenée à coïncider avec cette dernière par une rotation autour d'un centre instantané 0, situé dans le plan P', ou, ce qui revient au même, par une rotation autour d'un axe X mené perpendiculairement au plan F par le point 0. On voit ainsi qu'en définitive la figure F (et avec elle le système entier qui en est solidaire) pourra toujours être amenée à sa position définitive par une translation élémentaire FF^ et par une rotation élémentaire autour d'un certain axe X parallèle à cette translation (*).

Un pareil mouvement est un mouvement élémentaire hélicoï^

(*) Il est même à remarquer que cette conclusion peut s'appliquer à un déplacement fini.

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dal: Taxe X que nous avons ainsi défini est dit Vaxe instantané de rotation et de glissement du système.

Il est d'ailleurs facile de reconnaître que cet axe est unique et que nous aurions retrouvé la même droite X en partant d'un point quelconque autre que a. En effet, dans le mouvement hélicoïdal élémentaire que nous venons de définir, il n'y a que la seule droite X qui se déplace sans cesser de coïncider avec sa position primitive. Cette remarque fait voir que Taxe A précédemment trouvé doit toujours avoir la même direction, quel que soit le point a qu'on choisisse.

Il est utile de remarquer également que le mouvement hélicoïdal élémentaire défini comme nous venons de le faire par la succession d'une translation et d'une rotation infiniment petites est le résultat de ce que nous appellerons dans la suite deux mouvements élémentaires simultanés. Nous démontrerons que l'ordre dans lequel les deux mouvements se succèdent, peut être interverti sans altérer le déplacement élémentaire final, et c'est ce que nous exprimerons précisément en disant que les deux mouvements sont simultanés ou coexistants. Le mouvement élémentaire le plus général d'un solide résulte donc de la coexistence d'une rotation et d'une translation parallèle à l'axe de la rotation.

17. Autre démonustratlon. — On peut arriver directement à reconnaître que le mouvement élémentaire le plus général d un système invariable est un mouvement hélicoïdal, en employant le raisonnement suivant.

Considérons un point m appartenant au système et soit m' sa position après le déplacement élémentaire : ce point m' coïncide avec la position occupée par un point m, du système invariable avant son déplacement, soit m\ la position que prend ce dernier point après le déplacement ; à son tour considérons le point m'^ comme un point m, du système mobile avant son déplacement : il prendra après déplacement la position m\. En opérant ainsi de proche en

proche on définira une courbé mm^m^m^m^,.. appartenant au système et qui dans le déplacement viendra occuper la position m/m\m\m\in\.,. en glissant par conséquent sur elle-même. Une pareille courbe superposable à elle-même et devant avoir par conséquent même courbure et même cambrure en tous ses points ne peut être qu'une hélice {Calcul infinitésimal , § IST).

Le mouvement élémentaire peut donc être produit par le glissement d'une hélice sur elle-même : c'est donc un mouvement hélicoïdal.

IS. Foyer et caraetéristiqae d'un plan. — Considérons un plan quelconque P faisant partie du système mobile . Ce plan est coupé par sa position infiniment voisine P' suivant une droite G qui est dite sa caractéristique [Calcul différentiel ^ S 1413). Soit une figure F prise arbitrairement dans ce plan, F' sa

position voisine dans le P' plan P'. Ramenons ce

plan P' sur le plan P par une rotation autour de la caractéristique.

La figure F' viendra alors dans une certaine position Fj et nous pourrons, d'après le théorème du centre instantané de rotation, ramener la figure F^ en F, et avec elle tout le système dans sa position primitive, par une rotation élémentaire autour d'un point f du plan P, ou, ce qui revient au même, autour d'un certain axe G perpendiculaire au plan P et passant par /. Ce point f est dit le foyer du plan.

Ainsi le déplacement du plan P et, par suite, de tout le système pourra s'obtenir par deux rotations simultanées, l'une autour de la perpendiculaire au plan menée par son foyer, l'autre autour de sa caractéristique.

C'est, comme on le voit, une seconde manière de décomposer

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le mouvement élémentaire le plus géûéral en deux mouvements élémentaires simultanés.

Il est facile de reconnaître que si Ton joint un point quelconque m du plan P au foyer /, fm sera normal au déplacement de m, car ce déplacement mm! est la somme géométrique de deux déplacements simultanés Tnmj, mm„ tous deux perpendiculaires à mf.

On a donc ce théorème :

Les plans norma/ux aux trajectoires de tous les points d'unplan passent tous par un même point de ce plan qui en est le foyer.

On remarquera Tanalogie de ce théorème avec celui relatif au centre instantané de rotation dans le mouvetnent plan.

Le foyer d'un plan d'après ce qu'on vient de voir est le seul point de ce plan qui en sorte normalement : la caractéristique par contre est le lieu des points du plan qui ne sortent pas du plan dans leur déplacement élémentaire.

19. Droites eonjusuées. — Considérons deux plans P et F menés par une droite D du ^ ^^

système. "" '

D'après le théorème précédent les plans normaux aux trajectoires des points de D doivent tous passer par les foyers / et.f des deux, plans P et P' auxquels cette droite D appartient. Ces plans se coupent donc tous suivant lamême droite ff ou A et par suite , si nous menons par D un troisième plan quelconque P", le foyer de ce plan sera nécessairement situé sur A, puisqu'il doit ôtre à l'intersection des traces des plans normaux aux points de D sur le plan P"".

On a donc ce théorème :

Les foyers des plans qui passent par une même droite D sont situés sur une seconde droite A.

Ces deux droites D et A sont dites conjuguées et jouissent de propriétés réciproques. En effet, considérons un plan quelconque mené par A, le plan f<^f par exemple, ce plan a pour foyer le point ç où il rencontre D, puisqu'il est, d'après ce qui précède, normal à la trajectoire de ce point.

Ainsi dans un déplacement déterminé, à toute droite prise arbitrairement dans le système correspond à chaque instant du mouvement une droite conjuguée, et la première droite est réciproquement la conjuguée de la seconde.

Il est facile de reconnaître d'après les propriétés démontrées

que si plusieurs droites sont dans un même plan, leurs conjuguées

passeront toutes par un même point qui sera le foyer de ce plan.

Par suite, si deux droites se rencontrent, leurs conjuguées se

rencontrent également.

On peut remarquer encore que si plusieurs droites appartiennent à un mêmehyperboloïde, leurs conjuguées sont situées sur un même

hyperboloïde qui a pour directrices les droites conjuguées des directrices du premier.

Enfin, si Ton considère les droites d'intersection D, D', D''... de différents plans P, P', P'^.. avec un même plan II, les conjuguées A, A', A"... de ces droites devant toutes concourir au foyer ç du plan II, deviendront parallèles entre elles si le plan n s'éloigne à l'infini. On en conclut que la droite conjuguée de la droite à l'infini d'un plan quelconque P a une direction indépendante du choix de ce plan. Cette droite,

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qui est dite V adjointe du plan P, peut être considérée comme le lieu des foyers des plans passant par la droite D, c'est-à-dire parallèles au plan P, puisque la droite D est rejetée à Tinfini.

Sans insister davantage sur ces propriétés des droites conjuguées, dont la théorie est due à Tillustre géomètre Chasles, nous démontrerons le théorème suivant qui a une grande importance.

Le déplacement élémentaire d'un système peut s'obtenir au moyen de deux rotations élémentaires sim/uUanées autour de deux droites conjuguées.

Considérons en effet deux positions a 6, a'V d'un même segment de droite. Je

dis qu'on peut ton- ^^'

jours amener a 6 sur ab[ par une simple rotation.

En effet menons par b une parallèle 6a, à 6' a', le triangle baa^ ainsi formé est isocèle et, par suite, si l'on projette b et b' en p et 3' sur le plan aa^a\ on a :

Il résulte alors des théorèmes précédents qu'il existe dans le plan aa^a' un certain centre 0 tel qu'on peut amener le segment ap à coïncider avec le segment égal a'p' par une rotation autour de ce point. Si nous considérons l'axe X perpendiculaire au plan aala^ mené par 0, il est visible que par une rotation convenable autour de cet axe ab viendra coïncider avec a'b\

L'axe X s'obtiendra comme le montre la figure par l'intersection des plans perpendiculaires aux cordes aa' et bV en leurs milieux.

Ces considérations, qui s'appliquent évidemment à un déplace-

ment infiniment petit, font voir qu'une droite D d'un système peut être amenée à sa position infiniment voisine D' par une rotation autour d'une droite A qui dans ce cas est bien la conjuguée de D, puisqu'elle s'obtient par l'intersection des plans normaux aux cordes infinitésimale^ ao! ^ bb\ c'est-à-dire aux trajectoires des deux points a et 6 de D.

A son tour la droite A qui n'a pas changé de place dans cette première rotation, pourra être amenée à sa nouvelle position A' par une rotation autour de D. Lorsque D et A auront été amenées à leurs positions D' et A', le solide tout entier aura reçu le déplacement qu'il doit subir, ce qui démontre le théorème énoncé plus haut.

C'est, on le voit, la troisième manière dont nous décomposons le mouvement élémentaire le plus général d'un solide en deux mouvements élémentaires simultanés : il est à remarquer d'ailleurs que la seconde décomposition rentre comme cas particulier dans la troisième, car la caractéristique d'un plan est conjuguée de la perpendiculaire à ce plan menée par son foyer.

M 20. Quelques eoi&sé4iueiices remarquables de la théorie des droites coujufniées t théorème de M. Maniilieliii. — Signalons quelques conséquences remarquables de la théorie précédente.

On peut observer d'abord que, si l'on considère un plan P perpendiculaire à la direction commune des adjointes et si Ton

désigne par X l'adjointe de ce plan, le déplacement pouvant s'obtenir par deux rotations simultanées autour de X et de sa conjuguée et cette dernière droite étant rejetée à l'infini, la rotation qui s'effectue autour d'elle se réduit à une translation parallèle à X, et le mouvement élémentaire devient alors un mouvement hélicoïdal autour de cette dernière

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droite qui est Taxe instantané de rotation et de glissement du solide.

Observons encore que si une droite G normale au déplacement d'un de ses points rencontre une droite D, comme elle doit passer au foyer 9 du plan qu'elle détermine ayec D, elle rencontre aussi la conjuguée A de D, puisque le point 7 appartient à cette dernière droite : il en résulte également que la droite G est normale à la trajectoire de tous ses points*

Réciproquement si une droite G rencontre deux droites conjuguées D et A, elle passe au foyer 9 du plan (GD) et est par conséquent normale à la trajectoire de tous ses points.

Ces deux lemmes conduisent très simplement à la démonstration du beau théorème de M. Mannheim sur le déplacement d'une figure invariable assujettie à quatre conditions.

On a vu que le déplacement d'une figure invariable, pour être entièrement déterminé, devait être assujetti à cinq conditions. Si la figure n'est assujettie qu'à quatre conditions, son déplacement est indéterminé dans une certaine mesure, c'est-à-dire qu'à par* tir d'une situation donnée, chaque point peut recevoir une infinité de déplacements élémentaires qui appartiennent tous à un même élément de surface. Considérons en particulier quatre points a, &, c, e de la figure et soient (a), (&}, (c), (e) les surfaces élémentaires sur lesquelles ces points doivent se mouvoir et A, B, G, E les normales à ces quatre surfaces en ces points. Si Ton prend trois de ces normales A, B, G par exemple, pour déterminer un hyperbololde, la quatrième E rencontre cet hyperbololde en deux points réels ou imaginaires, et par ces deux points passent deux génératrices D et A du second système qui rencontrent les quatre droites A, B, G, E et qui sont les seules droites satisfaisant à cette condition.

Mais dcms tcyas les déplacements possibles les quatre droites

A, B, C, E sont normales aux trajectoires des points a, ft, c, e et, par conséquent, rencontrant D, elles doivent aussi rencontrer sa conjuguée; cette conjuguée ne peut donc être que la droite A, puisqu'il n*y a que les deux droites D et A qui rencontrent à la fois les quatre normales. Il existe donc deux droites D et A qui Qont conjuguées dans tous les déplacements compatibles avec les

liaisons imposées au système. Mais alors si Ton considère un point quelconque i du système et si l'on mène par ce point la droite I s'appuyant sur D et A, cette droite , rencontrant deux droites qui sont conjuguées dans tous les déplacements possibles, sera normale à toutes les trajectoires possibles du point t, c'est-à-dire normale à la suâ-face-trajectoiresxxT laquelle se déplace ce point; d*où le théorème suivant qui se rattache bien par son caractère à ceux que nous avons précédemment démontrés :

Dans un déplacement assujetti à quatre conditions, pour une position de la figure, les normales auœ su^* faces-trajectoires de tous les points du système rencontrent deux mêmes droites H et L.

On peut remarquer encore que les différents déplacements du système pouvant tous s'obtenir par deux rotations élémentaires simultanées autour des droites D et A, ces déplacements ne doivent différer que par la grandeur relative de ces rotations élémentaires.

Enfin le lieu des conjuguées F d'une droite G dans tous les déplacements possibles est l'hyperbololde déterminé par les trois droites G, D et A.

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En effet, une génératrice quelconque L du second système de cet hyperbblolde rencontrant D et A sera normale à la trajectoire

de tous ses points dans un déplacement quelconque, et dès lors, rencontrant G, elle doit rencontrer la conjuguée F de G dans ce déplacement.

! Si