MOUVEMENT CONTINU D'UN SYSTÈME INVARIABLE

2 1 . Mou veinent continu d'un système plan taàobile danci 0on plan t base du roulement» roulette. — Après avoir étudié d'une manière complète le mouvement élémentaire d'un système invariable, nous nous occuperons maintenant de la succession de mouvements élémentaires consécutifs qui constitue le mouvement continu d'un pareil système.

Prenons d*abord le cas le plus simple, celui d'un système plan mobile dans son plan.

Nous pouvons considérer :

1^ La série des points du plan fixe qui deviendront successivement centres instantanés de rotation : ces différents points 0, Oj, 0,..., etc., sont les points consécutifs d'une courbe fixe G qui est dite la base du roulement;

2* La série des points du plan mobile 0, 0\ , 0',. . ., etc. , qui vien-

dront en coïncidence avec les précédents au moment où ceux-ci seront centres instantanés de rotation : ces points forment une seconde courbe G' invariable de forme comme la première, mais mobile avec le plan auquel elle appartient et qu'on nomme roulette.

La roulette et la base du roulement sont tangentes entre elles au point 0 ; en effet, par la rotation infiniment petite qui s'eflFectue

Q, autour de ce point, le point 0'^ doit venir coïncider avec Oj ; donc Tangle 0, 0 0\ est Tangle infiniment petit dont tourne tout le système autour du centre 0 pendant l'élément d.e temps dtj ce qui démontre le contact des deux courbes, puisque 00^ et 00\ sont leurs tangentes respectives.

Do plus, dans le mouvement continu du plan mobile, la roulette roule sans glisser sur la base, car ses éléments consécutifs tels que 0 0\ viennent s'appliquer successivement sur les éléments égaux et correspondants tels que 0 0, de la base.

On obtient ainsi une image très nette du mouvement continu de la figure plane mobile dans son plan : ce mouvement peut toujours se réaliser par le roulement d'une courbe mobile sur une courbe fixe, la courbe mobile étant supposée entraîner avec elle tout le système.

Le mouvement sera complètement défini si à la connaissance de ces courbes on joint celle de la vitesse avec laquelle le point de contact 0 se déplace sur l'une d'elles.

On conçoit maintenant que deux problèmes peuvent se présenter dans l'étude du mouvement d'une figure plane :

1^ Le mouvement étant défini d'une manière quelconque, par exemple par la connaissance complète du mouvement de deux de ses points, on demande de déterminer la roulette et la base du

CINÉMATIQUE

ronlement ainsi que les conditions du roulement de la première de ces courbes sur la seconde ;

2* Étant connues la roulette et la base du roulement, ainsi que les conditions du roulement de la première de ces courbes sur la seconde, on demande de déterminer tous les éléments du mouvement d'un point mobile quelconque (trajectoire, vitesse, accélérations).

Ce dernier problème complète le précédent et en est en quelque sorte la réciproque ; nous le résoudrons d'une manière générale, tandis que pour la première question, qui peut se présenter sous des formes très diverses, nous nous bornerons à traiter quelques cas particuliers.

22. Premier problème s recherche des courbes du roulement* — a) Mouvement elliptique. — Supposons par exemple que deux points a et 6 du plan mobile décrivent deux droites Ga ou A, Ci ou B. Nous avons déjà vu que le centre instantané de rotation était en 0 à rintersection des perpendiculaires aO, 60 aux deux droites Ca, Cb.

L'angle aOb étant constant, comme supplément de Tangle en G, le point 0 se trouve constamment sur le cercle capable

de l'angle (ic — G) décrit sur ab.

Ce cercle, invariable de grandeur, est par conséquent la roulette du mouvement que nous étudions.

Quant à la base du roulement, lieu du point 0 dans le plan fixe, il est facile de voir qu'elle n'est autre que le cercle de centre G décrit avec GO comme rayon, car la longueur GO, diamètre du cercle roulette, est évidemment invariable.

On voit ainsi que le mouvement étudié peut être obtenu par le roulement d'un cercle dans un cercle de rayon double. Dans

ce mouvement tout point a du petit cercle décrit un diamètre du grand cercle. En effet la normale à sa trajectoire étant aO, son déplacement est constamment dirigé suivant le rayon aC.

Un point jx quelconque décrit une ellipse facile à déterminer ; en effet, en menant par ce point jx le diamètre Py du petit cercle,

on reconnaît immédiatement que les diamètres Cp, Cy du grand cercle décrits par les

points ^et Y so^^ l^s axes de cette ellipse en direction, et que [jlP, jjly sont leurs grandeurs.

Il est à remarquer que les diamètres, trajectoires des points du petit cercle, doivent être considérés comme des ellipses infiniment aplaties. On peut donc dire que dans le mouvement étudié tout point décrit une ellipse^ et Tellipse se présente ainsi comme une variété d'épicycloïde.

b) Mouvement réciproque du précédent. — Supposons, comme second exemple, que deux droites A et B du plan mobile soient assujetties à passer par deux points fixes a et b. Le mouvement ainsi défini peut être considéré comme réciproque du précédent : en effet, les mêmes données s'y appliquent; seulement dans le cas actuel c'est le système des deux droites A et B qui se déplace tandis que les deux points aetb restent fixes.

La détermination des courbes du roulement se fait encore très simplement : les perpendiculaires oO, bO aux deux droites aux points où elles touchent leurs enveloppes — qui sont les deux points fixes — déterminent le centre instantané de rotation 0 et les lieux géométriques de ce point sont le cercle décrit sur C 0 comme diamètre dans la figure fixe, et le cercle décrit du point C comme centre avec GO pour rayon dans la figure mobile. Les courbes du roulement sont donc, comme dans le cas précédent, deux circonférences, dont les rayons sont dans le rapport de un

rrr.

CINÉMATIQUE 39

à deux ; mais actuellement, c'est le grand cercle qui roule sur le petit cercle tracé dans son intérieur.

Le point C décrit évidemment le petit cercle lui-même.

Une droite D de direction quelconque, menée par C dans la figure mobile, rencontre ce petit cercle en un point d qui est fixe parce que Tangle aCdest constant.

Par suite, toute droite A du plan mobile enveloppe une circonférence, dont le centre est le point d'Intersection du cercle, base du roulement, avec la parallèle D à A menée par G.

Un point quelconque m entraîné dans le mouvement peut être considéré — et d'une infinité de manières — comme le sommet d*un angle de grandeur constante dont les côtés glissent sur deux cercles. Il suffit pour cela de mener par le point m dans le plan mobile deux droites quelconques, par exemple les parallèles mA! et mB' à A et B. Ces deux droites enveloppent deux cercles de centres a et 6.

Il est facile de reconnaître dans le lieu géométrique que nous trouvons ainsi pour la trajectoire du point m, la concholde d'un

cercle relativement à Tun de ses points, c'est-à-dire un limaçon de Pascal.

Joignons en effet le point m au point C : le prolongement de cette droite ira couper le cercle de base en un point o) fixe sur ce cercle, et comme la longueur mC, distance de deux points de la figure mobile, est évidemment invariable, le lieu du point m pourra, comme on voit, s'obtenir en menant par un point w d'un cercle fixe une sécante quelconque w G et prolongeant cette sécante à partir du point G où elle rencontre le cercle d'une longueur constante G m.

Tous les points du plan mobile décrivent donc des limaçons de Pascal.

23. Second problème i détermiiiatton du mouvement d'un point connaissant les courbes du roulement. — Le second problème précédemment énoncé peut se présenter sous deux formes différentes :

1** On peut se proposer de déterminer les éléments géométriques de la trajectoire d'un point donné m, et pour cela la connaissance des courbes du roulement est seule nécessaire ;

2® On peut se proposer de déterminer, outre la trajectoire d'un point m, la vitesse et les accélérations de ce point. Pour résoudre cette dernière question il est nécessaire de faire intervenir la vitesse et les accélérations du centre instantané 0 décrivant la base, ou du moins des éléments équivalents caractérisant la rapidité avec laquelle la roulette roule sur la base du roulement.

Il est clair d'ailleurs que cette seconde question renferme implicitement la première : car lorsqu'on connaît le mouvement d'un point, c'est-à-dire sa vitesse et ses accélérations successives, on a vu (§ 8) que les éléments de sa trajectoire étaient par là même déterminés.

Résolvons d'abord la première question.

24l« Première question t Trajectoire d'un point mobile» tangente» courbure. — Nous supposons connues la roulette et la base du roulement.

CINÉMATIQUE

Dans ces conditions, la tangente à la trajectoire d'un point mobile ^n est facile à déterminer, puisqu'il suflBt de joindre ce point au centre instantané 0 pour avoir la^normale :

Soit maintenant 0^ la position infiniment voisine du centre 0 sur la base. Par la rotation infiniment petite qui fait tourner toute la figure de Tangle d6 autour de 0, le point m vient en m^ et O^m, est la nouvelle normale à la trajectoire. Le point (x, intersection de Om et de O^wi,, est donc le centre de courbv/re de cette trajectoire.

Pour en .déterminer la position, désignons par l et l' les longueurs Om et 0|x, et par 9 Tangle que fait Om avec la normale OC à la base.

On a dans le triangle Om^jx :

d'autre part, si Ton abaisse Op perpendiculaire sur m, [x^ le

triangle OPO^ donne :

OOt cos 9(*) = Op = Z' sin jx = l sin m,

A ys.

OU, les angles [t. et m^ étant infiniment petits :

d'où

1 cos

9 — Z> — Zm„

00, cos r

ys

OOjCOSf

portant ces valeurs dans la relation précédemment établie, il vient :

1,1 de

l ' V OOjCOS?

Or do est Tangle dont tourne toute la figure autour du centre

0; c'est donc aussi l'angle dont doit

,t' tourner la tangente 0/*/ au point 0/ de

^. la roulette infiniment voisin de 0 pour

venir s'appliquer sur la tangente O^t^

0 ^ZT^ fc — ^au point correspondant 0, de la base.

En d'autres termes, comme Tindique

clairement la figure, d^ est la somme

algébrique des angles de contingence

de la base et de la roulette. Désignant

alors par R et par R' les rayons de courbure de ces courbes

et par d^s les arcs élémentaires égaux 00^,00/ , on a :

(*] Car l'angle 0|0p est égal à «p, à un infiniment petit près.

CINÉMATIQUE 43

et la formule précédente devient :

elle détermine la position du centre de courbure.

35. €k»n0tractioii de Savary. — On traduit géométriquement la relation que nous venons d'établir au moyen de la construction suivante qui porte le nom de Savary, bien qu'elle soit réellement due à Ëuler.

Soient y, y' ^^^ centres de courbure de la base G et de la roulette C On joint le point mobile m ky'y on mène en 01a perpendiculaire Od à la normale mO. Ces deux droites my et Od se coupent en d, et yd coupe la normale en \i, qui est le centre de courbure cherché.

Cette construction est facile à justifier en s'appuyant sur le lemme suivant :

Lorsqu'une sécante mm' pivote autour d'un point 0 dans un angle fixe mSm', la quantité

M . M ^ , \0m Oin'/ sln ta

où <a désigne l'angle SOm, est constante pour toute position de la sécante. Pour le démontrer, rapportons les droites Sm, Sw' à des coor-

données polaires avec le point 0 comme pôle et la droite OS comme axe. Leurs équations seront de la forme :

^ '~m CCS CD + n sia w*

* T m ces Cl) -h n' sin a»'

p et p' étant les rayons vecteurs tels que Om, Om' correspon(^ant à un même angle co.

Les coefficients de cos co doivent d'ailleurs être les mêmes dans les deux équations, puisque les deux droites se coupent sur Taxe OS.

Il en résulte que

et, p' étant négatif dans la disposition de la figure, cette équation revient à

-: — ( 7j — h TT-, ) = n--n' = constante, sm co \0m ' OmJ

ce qu'il fallait démontrer.

Appliquant ce résultat aux sécantes 77' et m|x et à l'angle md-^, on en conclut immédiatement la relation ;

\0m + 0{ij "" cos ? \R"^ R'j

qui est bien celle du paragraphe précédent.

26. Conséquences de la formule et de la coustructlon précédentes t cercle de roulement» circonférence des Inflexions. — L'examen de la relation précédemment établie

V+r)~"cos?U"^R7

fait voir que pour la détermination de la courbure des trajectoires

TT

CINÉMATIQUE

la connaissance de la courbure des courbes G et G' est suffisante. On peut donc pour cette recherche substituer sans inconvénient aux courbes G et G' leurs cercles bsculateurs en 0, ce qui revient à remplacer le mouvement réel par un mouvement ^picycloldal (*).

On peut môme substituer aux deux cercles de courbure deux autres cercles tangents aux deux premiers en 0, pourvu que la quantité

reste la même.

Si Ton remplace le cercle fixe par un cercle de rayon infini, c'està-dire par une droite OT, l'autre cercle devra avoir un rayon .p défini par la relation

le cercle K ainsi déterminé a reçu le nom de cercle de roulement.

La construction de Savary appliquée à ce cercle et à la droite OT se simplifie comme l'indique la figure. Remarquons encore que, d'après cette construction môme, le cercle décrit sur .OK comme diamètre est le lieu des points dont les trajectoires présentent à l'instant considéré un rayon de courbure infini : cette circonférence a

(*) On sait que Tépicycloïde générale est la courbe décrite par un point invariablement lié à un cercle qui roule sur on autre cercle.

reçu pour ce motif le nom caractéristique de circonférence des inflexions.

27. CSnveloppe d^ne courbe mobile i point» «le l'enveloppei courbure — On a vu précédemment comment se déterminent les points ot^une courbe mobilejtouche son enveloppe. Cherchons actuellement le rayon de courbure de cette enveloppe. Soient M et Mj deux positions consécutives de la courbe mobile, 0 et 0^ deux points consécutifs de la base C du roulement. Les droites Oa; O^a^ perpendiculaires abaissées de 0 et 0,

sur les courbes M et Mf sont deux normales consécutives à l'enveloppe de la courbe M ; leur intersection pt est le centre de courbure cherché. Or la courbe M a été amenée de sa position première en Mj par une rotation dO autour de 0. Dans cette rotation, Oa est venu en Oa', et les deux droites Oa', Ojttj qui sont deux normales consécutives à la courbe M^ se coupent en un point m^ qui est le centre de courbure de cette courbe situé sur la normale Oa'. Ce point, considéré comme entraîné dans le mouvement, se trouvait en m sur Oa avant la rotation, et Ton voit par l'inspection seule de la figure que le point \k est précisément le centre de courbure de la trajectoire de ce point.

Ainsi le problème de la courbure des enveloppes se ramène au problème déjà résolu de la courbure des trajectoires.

CINÉMATIQUE

On en conclut immédiatement que des courbes parallèles ont pour ervoeloppes des courbes parallèles^

Examinons le cas particulier d'une droite mobile D. Soit E sa courbe enveloppe. Pour déterminer la courbure de cette enveloppe, nous aurons à chercher, d'après ce qui vient d'être dit, le centre de courbure de la trajectoire d'un point situé à Tinfîni dans la direction perpendiculaire à D. Appliquons la construction de Savary, simplifiée par l'emploi du cercle de roulement,

et nous trouverons que le centre cherché 8 a pour lieu géomé trique la circonférence symétrique de celle des inflexions par rapport à OT.

On peut encore faire au sujet des enveloppes de droites une remarque assez intéressante.

En effet, le système des normales telles que 0^ à leurs enveloppes forme un faisceau de sommet 0 et de forme invariable : en appliquant à ce nouveau système de droites le résultat qu'on vient d'établir, on trouvera que le heu des centres de courbure des développées des courbes E est encore un cercle, et ainsi de suite.

S8. Évaluation du i^ssement d'une courbe mobile sur son enveloppe* *^ Lorsqu'une courbe M, entraînée dans le mouvement, enveloppe une courbe N, elle roule et glisse simultanément sur cette enveloppe.

L'évaluation de ce glissement est utile dans l'étude de plusieurs questions pratiques ; elle est d'ailleurs facile à faire. Reportonsnous en effet à la première figure du paragraphe précédent : le

point de contact a qui vient en a, décrit l'arc a'â, sur la courbe M,

et rare aa^ sur son enveloppe. La différence entre ces deux arcs mesure le glissement élémentaire cherché. Cette différence est d'ailleurs égale, en négligeant des infiniment petits d'ordre supérieur, à Tare aa' décrit par le point mobile a, c'est-à-dire à

ÔflT. dO.

Ainsi le glissement ne serait nul que si le point a coïncidait avec le point 0.

29. Applicatioiui* — a) Mouvement épicycloïdal. — La théorie précédente donne la construction immédiate du centre de

courbure d'une épicycloïde quelconque.

On peut aisément reconnaître que la' développée d'une épicycloïde

est toujours une épicycloïde semblable (*).

En effet, du centre c du cercle fixe, menons les tangentes au cercle roulant G', puis dans Tangle de ces tangentes inscrivons le cercle G" tangent au cercle G', enfin menons le cercle G^ concentrique au cercle fixe et tangent extérieurement au cercle G".

Si nous supposons que les cercles

n Cet énoncé ne s'implique qu'à répicycloîde proprement dite, c'est-à-dire à la' courbe décrite par un point d'un cercle roulant sur un autre cercle.

CINÉMATIQUE

Cet C" roulent respectivement sur les cercles G et Gj, de manière à ce que leurs centres soient toujours en ligne droite avec le point c, et si nous considérons sur ces cercles roulants deux points m et ji. en ligne droite avec le point 0, il est aisé de voir que dans le roulement les points m, |jl et 0 resteront constamment en ligne droite.

Mais la droite wO est la normale à l'épicycloïde du point m, tandis que la droite jaO est la tangente à Tépicycloïde du point jx, et comme ces épicycloïdes sont semblables, le théorème se trouve démontré.

Dans le cas particulier de la cycloïde, la développée est une cycloïde égale, comme on Ta déjà reconnu dans le Cours d'Analyse.

Dans le cas de la développante de cercle, la développée est le cercle lui-même, qui doit être considéré comme cas limite d'épicyclolde.

b) Chaînette. — La chaînette, que nous avons définie par son équation en Analyse, se retrouve en Cinématique comme le lieu du foyer d'une parabole qui roule sur une droite.

On vérifie aisément Tidentité de cette dernière courbe avec la chaînette. Remarquons en efifet que 0 étant le centre instantané de rotation, la tangente à la trajectoire du foyer /'est la perpendiculaire fq kfO. Si nous abaissons l'ordonnée fp et du point p la perpendiculaire pq sur la tangente, il suffira de prouver que pq a une longueur constante pour démontrer par là même l'identité de la courbe décrite avec une chaînette.

Or, d'après une propriété de la parabole, le point p appartient à la tangente pa au sommet a de cette courbe. D'ailleurs la tangente j^O étant également inclinée sur le rayon vecteur /O et sur la direction de l'axe, les angles /Op, fpa sont égaux. Mais les angles /pp, pfq sont aussi égaux conmie ayant leurs côtés perpendicu-

laîres : Tégalité des angles fpa, pfq^ comme par suite celle des triangles rectangles fpd^pfq^ se trouve ainsi démontrée; ces triangles étant égaux,

pq=ifa = constante,

ce qu'il fallait prouver.

Cette nouvelle définition de la chaînette permet de retrouver

facilement la construction connue de son centre de courbure. On se rappelle en effet que le cercle Ofh, tangent à la parabole et

CINÉMATIQUE 51

passant par son foyer, a pour diamètre le demî-rayon de courbure de la courbe. Le cercle de roulement a donc son centre en /c, tel que 0& = 2 OA, et la construction de Savary appliquée à ce cercle et au point /* décrivant la chaînette conduit alors au point <p, tel que /ip =/0, à cause des parallèles Od et /*A, OA et dç qui donnent :

fO" fk~ kh"

30. Seconde ^piestion t Détermination de la vitesse et des acseélérations des points mobiles | centres des accélérations I triangles caractéristiques. —

Abordons actuellement la seconde des deux questions que nous nous sommes précédemment posées, celle qui consiste à trouver la vitesse et les accélérations géométriques d'un point connaissant la base et la roulette ainsi que la loi du roulement de cette dernière courbe sur la première.

Le calcul géométrique nous permettra de traiter directement la question dans toute sa généralité.

Soient en effet deux points mobiles m et n, u et t; leurs rayons vecteurs» La distance nm sera une quantité géométrique de la forme

I(cosa-|-t sin a), OU

en désignant par { la longueur de cette quantité et par a l'angle qu'elle forme avec la direction origine. Dîfférentions l'équation

(1) u^v — le^f

en remarquant que la longueur l est constante et que

da

-Tj est la vitesse angulaire a> du système ; il vient :

du dv . , .

et en général après n dérivations on sera conduit à une relation de la forme :

(3) 5^-5^=^e*'0H=(u-r)eH,

©((o) représentant une fonction géométrique déterminée de la vitesse w et de ses dérivées.

L* équation (3) peut s'écrire :

et Ton voit ainsi que la quantité

a la même valeur pour deux points quelconques m et n du système. Désignons par

-UneH

cette constante géométrique : nous définirons ainsi un certain point Oh de rayon U^ et nous pourrons écrire :

(4) g^ = eH(u-Un).

Cette équation exprime que V accélération d'ordre n — i d'un point quelconque m s'obtient en multipliant la grandeur' O.m par une quantité géométrique ©(w), la msme pour tous les points du système, c'est-à-dire en construisant sur O^m un triangle Ojnr^a semblable à un triangle détermina.

Le point O^J pour lequel l'accélération d'ordre n — 1 est nulle, sera dit le centre des accélérations de cet ordre.

Nous appellerons triangle caractéristique d'ordre n — 1 le triangle auquel O^Ym Omy\..,. sont semblables.

La connaissance du centre et du triangle caractéristique d'un

ordre donné suffit, on le voit, pour construire les accélérations de cet ordre pour tous les points du système.

L'image extrêmemeat simple fourme par cette coastniction montre bien comment sont liées entre elles les accélérations de mâme ordre des différents points.

En appliquant ce résultat aux vitesses et remarquant que le triangle caractéristique correspondant est rectangle, OD retrouve la propriété déjà démontrée du centre instantané de rotation.

''SI. E)x:teiuloii des rémaltatm précédent* an cas d'une fflgnuw plane qui se déplace en se déformantj mais en restant semblable & elle-même* — Les relations

que nous venons d'établir entre les vitesses et les accélérations des différents points d'une figure plane invariable mobile dans son plan s'étendent sans difficulté au cas d'une figure plane qui se déforme en se déplaçant dans son plan, mais qui reste semblable à elle-même. Dans ce cas, la relation

qui nous a servi de point de départ, conduit par différentiation (le module l n'étant plus constant) à :

'■''> dt dt-'^ Vwt d'/

Mais d'après l'hypothèse que nous avons faite, pendant le temps dt, la distance l de deux points doit s'augmenter ou se réduire d'une quantité proportionnelle à l, en sorte qu'on a dl = kldt,

en désignant par k un coefficient de. contraction ou de dilatation qui doit être le même pour tous les points de la figure. L'équation (2') peut donc s'écrire :

du dv . . r. . .-|

et conduit à des conclusions tout à fait semblables à celles du paragraphe précédent, avec cette seule différence que les fonctions 0, au lieu de renfermer seulement (o et ses dérivées, renferment aussi k et les dérivées de k par rapport au temps.

Cette extension de la théorie des centres instantanés est due à M. Grouard.

32.' Mouvement continu d'une fiipire sphértcfue sur sa sphère* — On peut appliquer à ce mouvement les considérations relatives au mouvement plan que nous venons d*étudier, à la condition de substituer, comme nous Tavons déjà fait pour le mouvement élémentaire, des arcs de grands cercles aux lignes droites.

33. Mouvement continu d'un système invariable qui a un point flxe« — Ce mouvement, qui se déduit immédiatement de celui d'une figure sphérique sur sa sphère revient au roulement d'un cône mobile sur un cône fixe.

341. Mouvement continu le plus général d^un système invariable. — Ce mouvement se compose d'une succession de mouvements hélicoïdaux. Si l'on considère les deux surfaces réglées qui sont les lieux géométriques des axes instantanés dans le système fixe et dans le système mobile, on reconnaît que ces deux surfaces sont de raccordement par un raisonnement très analogue à celui qui a servi à démontrer le contact des courbes de roulement dans le cas d'une figure plane.

En effet, soit X l'axe à un instant donné, X^ la droite qui sera l'axe à l'instant suivant, X'^ la droite du système mobile qui doit

CINEMATIQUE

venii* en coïncidence avec X^ : un point m de X\ viendra en m^ sur Xj par un déplacement hélicoïdal, c'est-à-dire par une translation infiniment petite m/m! parallèle à X et une rotation infiniment petite m'm, autour de X. Mais la distance du point w! à X étant elle-même infiniment petite, l'arc m'm^ (ou sa corde) sera du second ordre. Menons par mm^ le plan m*m^iù perpendiculaire à X, X\ percera ce plan en un point n, et comme l'angle m'm/i (*) est infiniment petit, mn est comme m'm^ du deuxième ordre. Donc m^n est aussi du deuxième ordre, c'est-à-dire que l'angle m^iùU est infiniment petit. En d'autres termes, les deux surfaces réglées ont, en un point quelconque w de leur génératrice commune, deux tangentes confondues wn,(i>m^, ce qui prouve bien qu'elles se raccordait.

Le mouvement continu pourra être obtenu par un roulement de la seconde surface sur la première, roulement accompagné d'un glissement parallèle à la génératrice commune.